ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
Bài 5: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2
A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + =
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC+ + = +
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+=++
+
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
=++
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
. . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b)
33
++
tgCtgBtgA
dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3
..3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA

1
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:


+
=+
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[
)( CB


] khai triển suy ra đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:






+++
=++

2
cot
2
cot
2
cot.
2
cot.
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
++=
áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222

.
B
tg
A
tgtgBtgA
=
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có

a
cb
CB
+
=+
coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb

=
+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông

=
+
+=+
2
4
2
sin
cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2
+




Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
++=++
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1

CtgBtgAtg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
CBA
M
2cos2
1
2cos2
1
2cos2
1

+
+
+
+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu thức
)cos(cos3cos3 CABP
++=
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
3
Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2
=+++
CBACBB