Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính det( A)
100
, với I là ma trận đơn vò cấp 3 và A =



2 1 −1
3 0 4
−2 5 2



.
Câu 2 : Trong không gian IR
3
với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con
F = {( x
1
, x
2
, x
3
) |x
1
+ 2 x
2




x + y + z + t = 0
2 x + 3 y + 4 z − t = 0
3 x + 5 y + 7 z − 3 t = 0
4 x + 7 y + 1 0 z − 5 t = 0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
2
−→ IR
2
, biết
f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ;
f( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) .
Tìm cơ sở của IR
2
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
thoả
∀( x
1
, x
2
, x
3
) ∈ IR
3


.
Tìm ma trận B sao cho B
2010
= A.
Câu 8 : Chứng minh rằng A là ma trận vuông cấp n khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 không là trò riêng
của A. Giả sử λ
0
là trò riêng của ma trận A, chứng tỏ
1
λ
0
là trò riêng của A
−1
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0
Môn học : Đại số tuyến tính.
Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN
CA 1
Câu 1 : C ho ma trậ n A =



7 4 1 6
2 5 8
−2 −2 −5


− 5 x
4
= 0
3 x
1
+ x
2
− 5 x
3
− 8 x
4
= 0
5 x
1
+ 3 x
2
− 7 x
3
− 1 2 x
4
= 0
Câu 3 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b ie át ma trận của f tron g cơ sở chín h tắc là
A =





1 −2 3
−2 5 1
3 1 m



có ba trò ri êng dư ơng (c ó thể trùng n hau).
Câu 7 : T rong h ệ trụ c toạ độ Oxy cho đư ờng cong ( C) có ph ương trìn h 5 x
2
+2 xy+5 y
2
−2
√
2 x+4
√
2 y = 0 .
Nhận d ạng v à vẽ đường c ong ( C) .
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1 .5đ) . Chéo hóa m a trận ( 1đ) A = P DP
−1
; P =



−2 −1 −4
−1 1 0
1 0 1



; D
2010
=



1 0 0
0 3
2010
0
0 0 3
2010



.
Câu 2 (1. 5đ). T ìm một cơ sơ û tùy ý của khôn g gian n ghiệm : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trình Gram -Schm id t đưa về cơ sở tr ực giao: E
1
= {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Ch uẩn hóa, có cơ sở tr ực chuẩn: E
2
= {
1
√
6
( 2 , −1 , 1 , 0 ) ,
1
√

, x
2
, x
3
)
T
. Khi đó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ]
E
= 0 ⇔ A·[x]
E
= 0
⇔



2 1 −1
3 2 4
4 3 9






x
1
x
2
x
3

0
là TR của A,
thì λ
10
0
là TR của A
10
. A ch éo hóa được ⇔ A = P · D ·P
−1
, D là ma tr ận 0 nên A = 0 .
Câu 6 ( 1.5 đ). M a trận đối x ứng thực có ba trò riêng dương , suy r a dạng toàn p hươn g tươn g ư ùng xác
đònh dương ( h ay ma t rận đ ã c ho xa ùc đònh dương ). Th eo Sylves ter, A xác đòn h d ương khi v à chỉ kh i
các đònh th ức con chín h dương ⇔ δ
1
= 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ
3
= det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .
Câu 7(1. 0đ) . Xét dạ ng toàn ph ương 5 x
2
1
+ 2 x
1
x
2
+ 5 x
2
2
có m a trận A =

5 1

2
,
1
√
2

là:
6 ( u +
1
6
)
2
+ 4 ( v +
3
4
)
2
=
11
12
. Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv t hu đươ ïc từ hệ Oxy b ằng cá ch
quay 1 góc 4 5
o
ng ược chiều kim đồn g hồ.
2
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0
Môn học : Đại số tuyến tính.
Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu.




3 2 2
−3 −2 −3
2 2 3



. Tìm tr ò r iêng, cơ sơ û của các k hôn g g ian con r ie âng của
ma trận A
6
.
Câu 4 : T ìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m)
T
là véctơ r iêng của m a tr ận A =



−5 3 3
−3 1 3
−3 3 1



.
Câu 5 : T ìm m để ma trận A =




2 0
0 1

.
Ta co ù A = P · D · P
−1
. Giả sư û B = Q · D
1
· Q
−1
, ta có B
20
= Q · D
20
1
· Q
−1
= A. Chọn Q = P và
D
1
=

20
√
2 0
0
20
√
1




Câu 3 (1. 5đ). Giả sử λ
0
là trò riên g của A ⇔ ∃x
0
: A · x
0
= λ
0
·x
0
. Kh i đó
A
6
· x
0
= A
5
· A · x
0
= A
5
· λ
0
· x
0
= λ
0
·A

1
= 1
6
, δ
2
= 2
6
, Cơ sở của: E
δ
1
: {( −1 , 1 , 0 )
T
, ( −1 , 0 , 1 )
T
}, của E
δ
2
: {( 2 , −3 , 2 )
T
}.
Câu 4 ( 1.5 đ). x là VT R cu ûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔



−5 3 3
−3 1 3
−3 3 1




6 x
1
x
2
− 4 x
1
x
3
− 8 x
2
x
3
. Đưa ve à chính tắc b ằng biến đổ i Lag rang e f ( x, x) = ( x
1
+ 3 x
2
− 2 x
3
)
2
+
2 ( x
3
+ x
2
)
2
+ ( m −1 1 ) x
2
3

3
2
,
−x
√
3
2
+
y
2
)
Câu 7 (1. 0đ). A kh ả ngh òch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 kh ông là T R của A. Giả sử λ
0
là TR của A
⇔ ∃x
0
: A · x
0
= λ
0
·x
0
⇔ A
−1
· A · x
0
= A
−1
· λ
0

, x
3
, x
4
) |x
1
+x
2
−x
3
−2 x
4
= 0 & 2 x
1
+x
2
−3 x
3
−5 x
4
= 0 & 3 x
1
+x
2
−5 x
3
−8 x
4
= 0 }
Tìm ch iều và một cơ s ở TRỰC CHUẨN của F .



.
Tìm cơ s ở và số chiều của Imf .
Câu 4 : C ho A và B là hai m a trận đồn g d ạng. C hứn g to û rằn g A chéo hoá được k hi v à chỉ khi B ch éo
hoá đươ ïc.
Câu 5 : T ìm m để ma trận A =



1 4 −1
4 m 2
−1 2 4



có ít nhất m ột trò riêng a âm.
Câu 6 : C ho án h x ạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết f( x) = f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( −x
2
+ 2 x

1
√
67
( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
Câu 2(1. 5đ) . Ch éo hóa ma tra än (1. 0 đ) A = P · D · P
−1
, P =



2 1 1
3 1 3
3 1 4



. D =



2 0 0
0 1 0
0 0 3



.
Cơ s ở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma tr ận của f tr ong B là D. Các cột cu ûa P
là các VTR của A, p hải đổi sang cơ sở chính tắc!!
Câu 3(1. 5đ) . Dim( Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f( E) >=< f( 1 , 0 , 1 ) , f( 1 , 1 , 0 ) , f( 1 , 1 , 1 ) >=

2
2
+ 4 x
2
3
+
8 x
1
x
2
− 2 x
1
x
3
+ 4 x
2
x
3
. Đưa v ề chính tắc bằn g biến đổi L agr ang e
f( x, x) = ( x
1
+ 4 x
2
− x
3
)
2
+ 3 ( x
3
+ 2 x