Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 1
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN
HÀM CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
I=
2
x
2
11
x x x x x
00
ex
1e
1
e x e x e dx e x.d e x
0
22
2x
Bài 2: Tính tích phân I =
2
2x
2
1
1 x 1 x 1
e . dx
xx
Bài 3: Tính tích phân I =
e
2x
1
1
e .lnx lnx dx
x
Giải
I=
2
x
x 2e
ee
Giải
I=
2
x
11
x x x x x
22
00
1
e 1 x
1 e 1
e 1 x e 1 x e dx e 1 x.d e 1 x
2
2 4 2
2 1 x
0
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 3
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
I=
2
2
ee
22
x 1.lnx
lnx x 1 e 1 ln 2
e
x 1.lnx dx x 1.lnx.d x 1.lnx dx
2
x 2 2
2 x 1
2
ee
2 2 2
22
2
2
2
22
xlnx x 1
I x 1.lnx dx x 1.lnx.d x 1.lnx
x
x1
x 1.lnx
e 1 3ln 2
e
2
22
Bài 7: Tính tích phân I=
2 2x
6 2 3 6 5
xe
I x 1.e 2 x 1.e dx x 1.e .d x 1.e
x1
x 1.e
e 2 .e
2
33
5
Bài 8: Tính tích phân I =
2
2 2x
2
5
x
x 1 . 1 .e dx
x1
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 4
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Bài 9: Tính tích phân I =
2
4
sinx
x.sinx cosx dx
2x
Bài 10: Tính tích phân I =
2
3
cosx
x.cosx sinx dx
2x
Giải
22
33
2
3
cosx
I x.cosx x sinx dx x.cosx.d x.cosx dx
2x
x.cosx
2
2
1
2
0
5x 3x 20
dx
x 2x 3
=
1
2
0
7x 5
5 dx
x 2x 3
7x 5 A B A(x 3) B(x 1)
(x 1)(x 3) x 1 x 3 (x 1)(x 3)
x 1 x 3
x 2x 3
=
11
00
3ln x 1 4ln x 3
Tuyn tp 200 bi tp v Tớch phõn v Nguyờn hm cú li gii chi tit nm 2015.
Lu hnh ni b! 5
Ch biờn: Cao Vn Tỳ
Email:
= 3ln2 + 4ln2 + 4ln3
Vaọy: I =
1
0
5x
+ 3ln2 + 4ln2 + 4ln3 = 5 + 7ln2 + 4ln3
2
4 4 A B
(2 x)(2 x) 2 x 2 x
4x
=
(A B)x 2A 2B
(2 x)(2 x)
ẹong nhaỏt 2 veỏ ta ủửụùc :
A B 0
2A 2B 4
A1
2
0
x1
dx
9x 6x 1
Gii
I=
2
1
2
0
x1
dx
9x 6x 1
=
1
2
0
2 10
dx
9(3x 1)
9(3x 1)
22
11
10 10 1
dx dx
9
9(3x 1) (3x 1)
=
0
1
10 1 5
.
9 3(3x 1) 14
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 6
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Vaäy I=
2
1
1
3
2
2
1
3 lnx dx lnx
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)
Đặt u = lnx
dx
Vậy :
3
I (1 ln3) ln2
4
Bài 15: TÝnh
1
ln
e
x xdx
Giải
§Æt
lnux
dv xdx
2
2
dx
Bài 16: Tính tích phân Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 7
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
§Æt
5
4
ln
1
1
4
dx
ux
du
x
dv dx
v
x
x
.
Bài 17: Tính tích phân
2
0
cosx xdx
Giải
§Æt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
. Do ®ã:
22
00
cos sin sin cos 1
22
22
00
x xdx x x xdx x
11
00
x x x x
xe dx xe e dx e e e e
.
Bài 19: Tính tích phân
2
0
cos
x
e xdx
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 8
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
§Æt
cos sin
xx
u e du e dx
dv xdx v x
22
2
00
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx
.
22
2
2
00
1
2 cos 1 cos .
2
xx
e
e xdx e e xdx
2
00
1
cos x.dx (1 cos2x).dx
2
=
11
x sin2x
2
2 2 4
0
Mặt khác xét I
1
=
22
54
00
cos x.dx cos x.cosx.dx
– I
2
=
8
15 4
Bài 21: Tính tích phân
1
23
0
5I x x dx
Giải
Ta cã
3
3 2 2
5
53
3
dx
d x x dx x dx
3 3 9
1
2
x
x d x x x
4 10
65
39
.
Bài 22: Tính tích phân
2
4
0
sin 1 cosJ x xdx
Giải
Ta cã
Giải
Đặt:
tan , ;
22
x t t
. Khi
0x
th×
0t
, khi
1x
th×
4
t
.
Ta có:
2
tan
cos
dt
x t dx
t
Bài 24: Tính tích phân
1
23
0
5I x x dx
Giải
§Æt
3
( ) 5u x x
.Tacã
(0) 5, (1) 6uu
.
Tõ ®ã ®-îc:
6
5
6
1 2 2 4 10
6 6 5 5 6 5
5
3 9 9 9 9
I udu u u
Bài 25: Tính tích phân
2
1
2
ln ln2 ln1 ln2
1
ln
e
e
dx du
u
x x u
.
Bài 26: Tính tích phân
3
dx
1
x
x
Giải 3
dx
1
x
x
Bài 26: Tính tích phân
4 7dxxx
Giải
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 11
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x
3 5 3
1
2 2 5
xx
x
x x x
xx
d
dc
Bài 28: Tính tích phân
3
1
2
2
dx
E=
x - 1 x - 2x + 2Giải
Đặt
2
12
3
2
1
22
21
dt t
dx
E
1
x-1 x 2x 2
t 1 t 1
22
tt
t
1
1
2
Giải
1
1
2
0
2 3 d
1 2 2
xx
F
x x x
11
22
00
dx dx
2 2I J
x 2x 2 x 1 x 2x 2
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 12
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Bài 30: Tính tích phân
1
2
0
1 2 2
dx
J
x x x
Giải
Đặt
2
01
1
1
1
2
22
12
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J ln t t 1 ln
15
1
t1
11
1 2 1 2
tt
t
F
1
2I + J
2 5 2 2 2 2 9 4 5
5
1
21
22
2 1 4 3
x
dx
x x x
-3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F=
2x + 1 -x - 4x - 3
3 2 3 2
22
22
1 dx 5 dx 1 5
IJ
2 2 2 2
xx
32
32
2
2
2
dx
arcsin x 2
6
1 x 2
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
21
22
2
2
xt
t
xt
x x ;
tt
dt
dx
t
2
t
55
Vậy
2
5
5
1 2 1
. Khi đó:
7
77
1
22
2
1
11
3 4 7
1 tdt 1 dt 1 1 4 t 1
G ln ln
6 2 2 8 4 t 16
4t
16 t
5 4 7
t
3
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
Giải
3
22
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
xx
3
1
22
2
4x + 3 dx
I=
2
22
2
32
33
t tdt
t u u udu
14
2 14 14
2
2
22
1
55
5
udu tdt dt 1 t 17
J ln
2 17 t 17
t 17
t 17 t
u 5 3u 2
uu
. Đặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
Đặt
2
2
2
3
3
3
3
7
2
2
xt
x
xt x t
x
2
2
2
2
2
3tdt t 1
dx xdx dt
x xt
t1
3t t 1
x3
. Khi đó ta có:
23
1
2
72
dt
25
H
t
15
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
2
2
22
2
2
2
2tdt t 3
2tdt du udu dt
udu
u ut
t3
2t t 3
3u 2
t3
14 2
2
1 1 17 t 5
ln
5 2 17 17 t 5
1 70 2 17 2 5 17
ln
2 85
70 2 17 2 5 17
1
17 14 17 5
4 7 70 2 17 2 5 17
I 4J 7L ln ln
2 17 2 85
17 14 17 5 70 2 17 2 5 17
1 5 2 1 3
x dx
xx
6 -1
2
22
2-1
2x + 1 dx
I=
x + 2x + 6 2x + 4x - 1
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 du udu du
2 2J L
u 5 2u 3 u 5 2u 3 u 5 2u 3
2
22
11
2
udu tdt dt 2 3 1
J arctg arctg
t 13
13 13 13
t 13 t
u 5 2u 3
Xét L
6
22
2
5 2 3
du
uu
. Đặt
2 2 2 2 2
2t
3t 2 t
2u 3
. Khi đó:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 16
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
3 6 3 6 3 6
6
2
22
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
du dt dt 1 dt
L
13
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg ln
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
Bài 38: Tính tích phân
1
3
dx
B=
x 3x
1
3
dx
B=
x 3x
Bài 39: Tính tích phân
2
73
dx
B=
x 10xGiải
ln c
10 2 20
xx
10 x 10
x 10
Bài 40: Tính tích phân
4
12
4
x dx
C=
x + 1Giải
17
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Bài 41: Tính tích phân
2
13
4 3 2
x - 1 dx
C=
x 5x 4x 5x+ 1Giải
2
2
13
4 3 2
x - 1 dx
C=
x 5x 4x 5x+ 1
Bài 42: Tính tích phân
14
42
dx
C=
x + x + 1Giải
2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
d x d x
11
xx
xx
11
24
11
x 1 x 1
x 3 x 1
xx
xx
dx
D=
x1Giải
2
2
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
1
3
dx
D=
x1
22
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3
2
2
1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c
6
x x 1
2 3 3
Bài 44: Tính tích phân
2
3
dx
D=
x + 1
22
2
22
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
2
22
1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2
3
t 3t 3
3
t
2
4
3
xdx
D=
x1Giải
2
2
22
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
3
3
xdx
D=
2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c
32
3
Bài 46: Tính tích phân
4
3
xdx
4
3
xdx
D=
x + 1
2 2 2
2
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
dx
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
22
dx
E=
x1Giải
12
33
33
dx 1 dx dx 1
DD
22
x 1 x 1
x 1 x 1
1
6
dx
E=
x1
Bài 48: Tính tích phân
2
6
xdx
E=
x1Giải
2
1
33
2
1 d x 1 du 1
D
2 2 2
u1
x1
6
x dx
E=
x1Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 20
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
22
63
2
1 x d x 1 udu 1 udu
2 2 2
x 1 u 1
u 1 u u 1
x1Giải
4 2 2
2 4 2 6
2 4 2
x x 1 x 1 2 dx dx dx
dx 2
x 1 x x 1 x 1
x 1 x x 1
4
5
6
x dx
E=
x1
2 2 2
22
P x 3x 5x 7x 8
34
2 3 4
4 4 4 4
44
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1! 2! 3! 4!
2 3 4
4
P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
1
100
dx
G=
3x + 5x
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 21
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
Giải
99 99 98
99
99 99
1 3 5 3 1 3
55
35
3 5 3 5
Bài 53: Tính tích phân
2
2
50
dx
G=
x 2x +7Giải
50 50 49
22
2
2
50
dx
G=
x 2x +7
dx
H=
x+ 3 x+5Giải
5 5 6 2
8
dx 1 1 dx
x 3 x 3
x 5 x 5
x5
x 5 x 5
3
53
dx
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ! 22
Chủ biên: Cao Văn Tú
Email:
6 5 4 3 2
75
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1
du
2u
1
15 20 15 6
1
u 6 du
u
2 u u u u
1u
20 15
21
6u 15ln u c
7
2 3 4
7
1 1 x 3
x 3 x 3
6 15ln
x 5 x 5
2 x 5
2
1
x 5 15 x 5 x 5 x 5
1
20 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
2
3
23
11
1 cos2x dx 1 3cos2x 3cos 2x cos 2x dx
44
1 3 1 2cos4x cos3x 3cosx
1 3cos2x dx
4 2 4
11
7x 6sin2x 3sin4x sin3x 3sin x c
16 3
Bài 56: Tính tích phân
2 4 6 8
3 5 7 9
1
1 4cos 5x 6cos 5x 4cos 5x cos 5x d cos5x
5
1 4 6 4 1
cos5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c
5 3 5 7 9
Bài 57: Tính tích phân
24
1
B = sinx cosx dxGiải
22
1
Bài 58: Tính tích phân
9 111
2
B = sin5x cos5x dxGiải
111 8
5 5 5cos x sin x sin x dx
9 111
2
B = sin5x cos5x dx
4
3
5
4
sin3x
B = dx
cos 3xGiải
44
3
6
2
55
1
cos3 sin3 sin3 cos3 1 cos 3 cos3
3
x x xdx x x d x
7
3
5
Bài 60: Tính tích phân
4
35
dx
B=
sinx cosx Giải
3
3 3 2 2
8
11dx dx
tg x cos x cos x
sinx
3
3
24
2
3
1 3 1
tgx 3tgx tg x
d tgx 3ln tgx tg x tg x c
tgx
24
2tg x
Bài 61: Tính tích phân
6
3
5
3
33
2
1u
sin x cosx d sinx u 1 u du u du
u
Đặt
2
3
2
1 u
v
u
32
2
1 u 3 3 3
B u du dv v c tgx c
2 2 2
u
Cách 2:
52
33
7
2
5
3
1 dx 3
B tgx d tgx tgx c
2
cos x
cotg 1 tg cotg 1 tg
kk
x co x x co x
2k
3
C = cotgx dx
k 1 k
2k 6 0
22
cotgx 1 cotg x 1 cotgx 1 cotg x 1 dx
6
tgx
D = dx
cosxGiải
44
4 2 3
2
1
sinx cos xdx sin x
d sin x
cos x cos x
sin x
4
6
tgx
D = dx
cosx
2
2 2 2
1
1
1 du
du
1u
u
u
cc
1
1u
1
1
u
u
u
u
u
u
33
2
1 1 1 3 1 1
du
8 1 u 1 u
1 u 1 u 1 u
u
Copyright: Tài liệu đại học ©