1
BỘ MÔN TOÁN HỌC
CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH
(Toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế)
+ Giới hạn của hàm số.
+ Các dạng vô định.
3 + Vô cùng bé- Vô cùng lớn.
+ Khử các dạng vô định bằng VCL – VCB.
+ Tính liên tục của hàm số.
4 + Đạo hàm và ý nghĩa trong kinh tế.
+ Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản.
+ Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định.
5 + Vi phân của hàm số và ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân.
+ Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao.
+ Một số định lý về hàm khả vi.
6 + Khai triên Taylor và ứng dụng.
+ Ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
+ Ứng dụng trong kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, quyết định tối ưu.
7 + Hàm hai biến và ví dụ.
+ Giới hạn của hàm hai biến.
+ Tính liên tục.
8 + Đạo hàm riêng.
+ Vi phân toàn phần.
+ Đạo hàm riêng của hàm hợp.
3
9 + Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn.
+ Vi phân toàn phần cấp cao.
+ Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế.
10 + Cực trị tự do và ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng trong kinh tế.
11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc.
+ Cực trị trên miền đóng và bị chặn.
+ Một số ví dụ trong kinh tế.
12 + Hàm cầu Marshall và hàm cầu Hick.
4
LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus)
Buổi Nội dung bài tập (2 tiết / 1 buổi)
1 Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số
2 Đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng
3 Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn.
4 Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng
5 Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick. Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng.
6 Tích phân hai lớp và phương trình vi phân
7 Chuỗi số, chuỗi hàm
CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC
Môn học: TOÁN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế)
Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút)
Câu 1 (2 điểm) Giới hạn, hàm số và đạo hàm
+ Tính giới hạn.
+ Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược.
+ Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế.
Câu 2 (2 điểm) Hàm nhiều biến
+ Tính đạo hàm riêng hàm 2 biến.
+ Cực trị hàm 2 biến và ứng dụng trong kinh tế.
Câu 3 (2 điểm) Tính tích phân
+ Tích phân 1 lớp.
+ Tích phân 2 lớp.
Câu 4 (2 điểm) Phương trình vi phân
. Mỗi số dương r được ấn định với một giá trị duy nhất của S, ta
nói S là hàm của r.
B. Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t. Bảng sau đây ghi lại
giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t.
Chẳng hạn
. Nhưng chắc chắn rằng với mỗi
t cho trước thì chỉ có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng. Ta nói P là
hàm của t.
C. Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng w của
bưu phẩm. Mặc dù không có một công thức đơn giản xác lập mối quan
hệ của C theo w nhưng bưu điện vẫn có một quy tắc để xác định được
duy nhất một giá trị của C khi đã biết w. Như thế, C là hàm của w.
D. Gia tốc chuyển động thẳng đứng a của bề mặt trái đất được đo bởi
máy ghi địa chấn trong một trận động đất là một hàm của thời gian t.
Hình 1 là đồ thị được tạo ra bởi máy đo địa chấn trong suốt trận động
đất tại Los Angeles vào năm 1994.
Hình 1
Với mỗi giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm được duy nhất một giá trị a tương ứng.
Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc, mà theo đó cứ mỗi giá trị được cho trước (r, t, w hoặc t) ta xác
định được duy nhất một số tương ứng (S, P, C hoặc a). Trong mỗi trường hợp đó ta nói số sau là
hàm của số trước. Tổng quát ta có định nghĩa.
6
Định nghĩa hàm một biến số
(Lưu ý, đây chính là cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị của f là tập gồm các điểm
(x, y) trên mặt phẳng tọa độ với y = f(x) và x thuộc tập xác định của f. Đồ thị của hàm f cho ta một
bức tranh tổng thể về đặc điểm của hàm số. Bởi vì tung độ y của điểm (x,y) trên đồ thị là số sao cho
y = f(x) nên ta có thể thấy giá trị của hàm số là khoảng cách đại số từ điểm đó đến trục hoành (xem
Hình 4). Hình chiếu của đồ thị trên trục hoành chính là tập xác định và hình chiếu của nó trên trục
tung là tập giá trị (xem Hình 5).
Hình 4 Hình 5
7
VÍ DỤ 1 Đồ thị của hàm f được cho ở Hình 6.
Hình 6
(a) Tìm giá trị của f(1) và f(5).
(b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f.
Giải
(a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm trên đồ thị của hàm số, nên giá trị của hàm tại 1 là f(1) =
3. Khi x = 5, điểm nằm trên đồ thị tương ứng nằm phía dưới trục hoành và cách trục hoành
khoảng 0,7 đơn vị vì thế, ta ước đoán giá trị .
(b) Hình chiếu của đồ thị hàm số trên trục hoành là [0, 7] và trục tung là [-2; 4] nên ta có
Tập xác định là [0, 7] và tập giá trị là
Biểu thức
trong Ví dụ 2, chẳng hạn ta sẽ xét nó ở bài 2, nó biểu thị tỷ lệ thay đổi trung
bình của hàm f giữa hai giá trị x = a và x = a + h.
Đồ thị của một hàm số là một đường trong mặt phẳng tọa độ. Vấn đề được đặt ra là một
đường có đặc điểm như thế nào thì là đồ thị của một hàm số. Để trả lời câu hỏi này, ta dùng
tiêu chuẩn sau đây.
VÍ DỤ 3 Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên với thể tích là 10m
3
. Chiều dài
của đáy bằng hai lần chiều rộng. Nguyên liệu để làm đáy là 10$ một m
2
; nguyên liệu làm các mặt
bên là 6$ một m
2
. Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy
biểu thị hàm này bằng một công thức.
Giải Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, thì chiều dài của
mặt đáy là 2w; và đặt h là chiều cao của container.
Diện tích của mặt đáy là
nên giá nguyên
liệu để làm mặt đáy là
$.
Hai mặt bên có diện tích là và hai mặt bên còn lại
có diện tích là nên giá nguyên liệu để làm các mặt
bên là 2
Thay vào công thức tính C, ta được
Vậy, giá nguyên liệu được biểu thị theo chiều dài cạnh đáy bởi công thức sau
Một hàm số cho bởi công thức, nếu không nói gì thêm thì quy ước tập xác định của hàm số là tập
các giá trị của biến độc lập làm cho công thức có nghĩa. Tuy
nhiên: y = sinx với
(b)
có nghĩa khi và , nên tập xác định là
.
Hàm xác định trên từng khoảng
9
Xét hàm cho bằng lời: C(w) là chi phí vận chuyển bưu phẩm có cân nặng là w. Ngành bưu điện đưa
ra quy tắc tính như sau: 39 cents nếu cân nặng không quá 1ounce, mỗi ounce tiếp theo có chi phí
vận chuyển là 24 cents và bưu phẩm chỉ được có cân nặng tối đa là 13 ounce.
Hàm này được trình bày ở dạng bảng thì sử dụng thuận tiện hơn, bảng các giá trị như bên lề.
Từ bảng giá trị, thì được dạng công thức của hàm như sau:
ế
ế
ế
ế
ế
2. Hàm số chẵn – Hàm số lẻ
• Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số chẵn.
Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần
sau đó lấy thêm hình đối xứng qua trục tung ta được toàn bộ đồ thị.
• Nếu hàm f thỏa mãn f(-x) = - f(x) với mọi x thuộc tập xác định thì f được gọi là hàm số lẻ.
Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, do đó chỉ cần vẽ đồ thị ứng với phần
sau đó lấy thêm hình thu được bằng cách lấy đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm chẵn Hàm lẻ
10
3. Dáng điệu của hàm số
Đồ thị của hàm f trong hình dưới đây đi lên từ A đến B, đi xuống từ B đến C, và lại đi lên từ C đến
với
ở trong I.
Một hàm số f được gọi là nghịch biến trên khoảng I khi:
với
ở trong I.
Lưu ý rằng bất đẳng thức
trong đó n là số nguyên dương và
là các hằng số và ta gọi là các hệ số của đa thức.
Tập xác định của một đa thức bất kỳ là . Nếu
thì ta nói P là đa thức bậc n.
Chẳng hạn, ta đã học đa thức bậc 1:
. Tập xác định là tập các giá trị của x
làm cho . Ta đã học về phân thức: bậc 1 / bậc 1 và bậc 2/bậc 1.
v) Hàm lượng giác: . Mỗi hàm đều là hàm tuần hoàn.
là hai hàm có tập xác định là và tập giá trị là [-1; 1].
Hàm có tập xác định là
} và tập giá trị là .
vi) Hàm mũ là hàm có dạng
Giả sử c là số dương, thì đồ thị
hàm y = f(x) + c thu được bằng cách
tịnh tiến đồ thị hàm y = f(x) lên trên c
đơn vị (bởi vì hoành độ giữ nguyên
còn tung độ thì tăng lên c đơn vị).
Tương tự, nếu g(x) = f(x – c), thì giá
trị của g tại x bằng giá trị của f tại x –
c(c đơn vị về phía trái của x) do đó đồ
thị của y = f(x - c) thu được bằng
cách dịch chuyển đồ thị của y = f(x)
về phía phải c đơn
vị. Xem Hình vẽ
13
Tổng quát ta có.
Cho c > 0. Ta nhận được đồ thị của hàm
, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm
lên trên đơn vị
ế
ế
ế
ế
đều có nghĩa.
Một cách tương tự, tích và thương của các hàm được định nghĩa như
sau:
Tập xác định của hàm là . Tuy nhiên, ta không thể chia cho
Thủ tục tìm ra hàm mới này được gọi là phép hợp thành bởi vì hàm mới được tạo thành từ hai hàm
đã cho.
Một cách tổng quát, cho trước hai hàm bất kỳ lấy một số bất kỳ x nằm trong tập xác định của
hàm và tìm được . Nếu nằm trong tập xác định của hàm , thì ta lại tính được
. Kết quả là ta được một hàm mới
, hàm này nhận được bằng cách thế g
vào f . Ta gọi hàm mới này là hàm hợp của và ký hiệu bởi (đọc là “ o tròn ”)
Định nghĩa Cho trước hai hàm , hàm hợp của là một hàm được ký hiệu là và
được xác định như sau:
. Hãy tìm hàm và .
Giải Ta có
Và
0,8 60
Lượng cầu là hàm của Giá cả
Đặt Q
d
là lượng cầu(Quantity Demanded) và P(Price) là giá một chỉ vàng vào thời điểm đang
xét, ta thấy bảng trên cho ta thấy Q
d
là một hàm của P: Q
d
= f(P) và lượng cầu tăng khi giá giảm.
Nhà kinh doanh có thể quan tâm đến việc P phụ thuộc vào Q
d
như thế nào, nói cách khác người
này có thể xem P là hàm của Q
d
, hàm này được gọi là hàm ngược của hàm f, được ký hiệu bởi
đọc là nghịch đảo. Như vậy
là mức giá tại lượng cầu Q
d
. Giá trị của
có thể được
tìm từ bảng trên bằng cách đặt tương ứng từ phải sang trái, để cho tiện ta có thể xây dựng bảng như
dưới đây bằng cách đảo hai cột trong bảng ở trên. Chẳng hạn
trong khi đó
nếu
. Các hàm có tính chất như hàm đều được gọi là hàm
tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá trị.
Định nghĩa Một hàm được gọi là tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá trị (gọi tắt là hàm
1-1) nếu nó không lấy một giá trị nào đó của nó hai lần; tức là,
có phải là một hàm 1-1 không?
Lời giải 1: Nếu
thì
(Hai số khác nhau không thể có cùng một lũy thừa bậc ba).
Lời giải 2: Từ đồ thị của hàm số ta thấy, không tồn tại một đường nằm ngang nào cắt đồ thị hàm số
tại hai lần, theo dấu hiệu đường nằm ngang ta được hàm đã cho là hàm 1-1.
VÍ DỤ 7 Hàm
có phải là một hàm 1-1 không?
Lời giải1:Ta có
nên hàm này không phải là hàm 1-1.
Lời giải 2: Từ đồ thị của hàm số ta thấy có một đường nằm ngang cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt nên hàm
có thể được viết lại là
.
VÍ DỤ 8 Cho hàm 1-1 f, biết
Tìm
.
Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy rằng, với mọi x và , thì
.
Biểu đồ mô tả hiện tượng này
16
Tiếp theo, ta tìm hiểu cách xây dựng hàm ngược. Nếu ta có hàm và là hàm mà ta có thể
giải phương trình để tìm được x theo y, theo định nghĩa về hàm ngược ta có hàm ngược là
. Nếu ta muốn gọi biến độc lập là x và biến phụ thuộc là y, thì ta phải hoán đổi x và y cho
nhau, ta được
.
Cách tìm hàm ngược của hàm 1-1
Bước 1 Viết .
.
Nguyên tắc đổi chỗ x và y để tìm viết hàm ngược theo biến x làm cơ sở cho ta có một phương pháp
để tìm đồ thị của hàm
từ đồ thị của hàm . Ta có: thuộc đồ thị hàm khi và chỉ khi
khi và chỉ khi
, tức là điểm thuộc đồ thị hàm
. Nhưng ta thu được
điểm từ điểm bằng cách lấy đối xứng qua đường y = x. Xem hình dưới đây
Đồ thị hàm
nhận được từ đồ thị hàm f bằng cách lấy đối xứng qua đường y = x.
Một số hàm ngược của hàm đã học
i) Ta có
Từ cách tìm hàm ngược, ta được:
ớọ
ì
ọ
Ta được hàm ngược của hàm đã cho là
với tập xác định là [-1; 1] và tập giá trị là
. Ta còn ký hiệu
.
17
Đồ thị hàm
Hàm này có tập giá trị là
và tập xác định là
Đồ thị hàm
v) Hàm ngược của hàm với là hàm được ký hiệu là
hoặc , và
được xác định như sau
Hàm này có tập giá trị là và tập xác định là
.
Hình dưới đây cho thấy sự “ăn khớp” rất tốt giữa và .
Hàm như thế được gọi là mô hình toán học cho sự tăng trưởng dân số.
Đó là một ví dụ cho khái niệm sau đây:
Một mô hình toán học là một mô tả toán học(thường là bằng một hàm số hoặc phương trình) cho
hiện tượng trong thực tế, chẳng hạn như dân số, lượng cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một
vật, tỷ lệ sống của trẻ sơ sinh.
Tên gọi của một số biến trong phân tích kinh tế
Trong phân tích kinh tế người ta phải xem xét các đại lượng như là: Lượng cung, lượng cầu, giá, chi
phí, doanh thu, tổng chi phí, tổng doanh thu, lượng lao động, lượng vốn, để cho tiện người ta dùng
các tiếp đầu từ của từ tiếng anh tương ứng để làm biến số biểu thị đại lượng đó.
Như vậy, ta có các biến kinh tế như sau:
Tên tiếng Việt Tên tiếng Anh Ký hiệu
Lượng cung Quantity Supplied Q
s
Lượng cầu Quantity Demanded Q
d
Giá hàng hóa Price P
Lượng chi phí,Lượng tiêu dùng Cost, Consumption C
Tổng chi phí Total Cost TC
Doanh thu
Revenue
Income
I19
i) Hàm cung và hàm cầu.
Hàm cung là hàm số được dùng để biểu diễn (mô hình toán ở dạng hàm số) sự phụ thuộc của
lượng cung một loại hàng hóa nào đó vào giá của nó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi.
Như vậy, hàm cung có dạng Q
s
= S(P). (lượng cung là lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán
ở mỗi mức giá.)
Hàm cầu là hàm số được dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cầu một loại hàng hóa nào
đó vào giá của nó trong điều kiện các yếu tố khác không đổi. Như vậy, hàm cầu có dạng Q
d
=
D(P).(lượng cầu là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá.)
Quy luật thị trường trong kinh tế học phát biểu rằng: Trong điều kiện các yếu tố khác không thay
đổi, hàm cung là hàm đồng biến; hàm cầu là hàm nghịch biến. Nghĩa là khi các yếu tố khác giữ
nguyên, giá hàng hóa tăng thì người bán sẽ muốn bàn nhiều hơn còn người mua sẽ mua ít đi.
Các nhà kinh tế gọi đồ thị của hàm cung, hàm cầu lần lượt là đường cung và đường cầu. Giao điểm
của hai đường được gọi là điểm cân bằng của thị trường. Tại điểm cân bằng của thị trường, ta có:
với mức giá cân bằng
thì người bán bán hết và người mua mua đủ, không có hiện tượng khan
hiếm và dư thừa hàng hóa.
Từ quy luật trên, ta thấy nếu muốn dùng mô hình tuyến tính cho hàm cung ta phải có:
iv) Hàm tiêu dùng và hàm tiết kiệm
• Hàm tiêu dùng là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của lượng tiền dành cho mua sắm hàng hóa
C (Consumption) của người tiêu dùng vào thu nhập I:
• Hàm tiết kiệm là hàm để biểu diễn sự phụ thuộc của biến tiết kiệm S vào biến thu nhập:
20
Đọc thêm: Mục đích của mô hình là nhằm hiểu biết về các hiện tượng trong thực tế và có thể đưa
ra dự đoán cho tương lai.
Hình sau đây mô tả quá trình của việc mô hình hóa toán học cho một hiện tượng trong thực tế Một bài toán thực tế được đặt ra, nhiệm vụ của ta là đưa vào một mô hình toán học bằng cách xác
định và đặt tên biến độc lập, biến phụ thuộc và sử dụng giả thiết để đơn giản hóa hiện tượng thực tế
nhằm dễ vận dụng toán học. Sau đó vận dụng những hiểu biết của mình về lĩnh vực có liên quan và
kỹ năng toán học để liên kết các biến để nhận được phương trình. Trong tình huống không có
những kết luận về lĩnh vực đang xét ta buộc phải dùng cách thu thập số liệu và lập bảng giá trị, vẽ
đồ thị điểm để thấy xu hướng của các biến. Từ đó có thể nhận thấy được dùng hàm số nào(trong
những hàm đã biết) để làm mô hình toán cho hiện tượng đang xét. Giai đoạn thứ hai là áp dụng kiến
thức toán học(như là các kiến thức sẽ được trình bày trong giáo trình này) vào mô hình toán học để
thu được các kết luận toán học. Sau đó, ở giai đoạn thứ ba, ta giải thích các kết luận toán học thành
các thông tin về bài toán ban đầu từ đó đưa ra sự giải thích cho thực tế hoặc đưa ra dự đoán cho
hiện tượng. Bước cuối là kiểm tra các dự đoán bằng các số liệu thực tế mới. Nếu dự đoán không
thực sự tốt, thì ta có thể phải thực hiện lại quá trình để tìm ra một môt hình phù hợp hơn.
ứ
c
Mô hình
toán học
Gi
ả
i
Kết luận
toán học
Giải thích cho
thực tế
Dự đoán
cho vấn
đề thực tế
Ki
ể
m tra l
ạ
i
21
$2. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
2.1 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
còn được ký hiệu bởi
ặc
VÍ DỤ 1 Một số dãy được xác định bằng cách đưa ra công thức tổng quát cho số hạng thứ n. Trong
các ví dụ sau đây, chúng ta đưa ra ba cách trình bày một dãy số: Dùng cách viết như đã nói trên,
cách khác là đưa ra số hạng tổng quát, và cuối cùng là liệt kê ra các số hạng đầu tiên trong dãy. Lưu
ý rằng, số n trong các ví dụ dưới đây không nhất thiết phải bắt đầu là 1.
(a)
■
VÍ DỤ 2 Dưới đây là một số dãy có sự xác định không đơn giản như những dãy trên.
(a) Dãy
, trong đó
là dân số của thế giới tính đến ngày 01 tháng Một của năm thứ n.
(b) Nếu ta đặt
là số thứ n sau dấu phẩy khi viết số e ở dạng thập phân, thì
0
r).
Nhận xét: Số tiền có được sau n kỳ là a
n
= v
0
+ nv
0
r trong đó v
0
và r đã biết nên ta được một dãy số,
dãy này có đặc điểm là mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với một số cố định v
0
r.
Các dãy như thế được gọi là cấp số cộng.
VÍ DỤ 4 (Bài toán lãi gộp) Nếu ta cho vay một số tiền là v
0
(gọi là vốn) với lãi suất mỗi kỳ là r.
Cuối mỗi kỳ lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho kỳ sau(gọi là lãi gộp hoặc
lãi kép). Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu?
Giải Sau một kỳ thì số tiền lãi là v
0
r, nên số tiền có được là: v
1
= v
0
+ v
0
r = v
0
= v
0
(1 + r)
3
.
22
Tổng quát, sau n kỳ thì số tiền thu được là: v
n
= v
n-1
+ rv
n
-
1
= v
0
(1 + r)
n -1
+ rv
0
(1 + r)
n - 1
= v
0
(1 + r)
n
.
Nhận xét: Số tiền có được sau n kỳ là một dãy số với đặc điểm số đứng sau bằng số đứng liền
20
1485,95USD.
2. Giới hạn là số thực của dãy số
a) Định nghĩa
Với mỗi dãy, chẳng hạn như dãy trong Ví dụ 1 (a),
, đều có thể biểu diễn hình học
bằng cách biểu thị các số hạng của dãy trên đường thẳng thực, như Hình 1, hoặc bằng cách vẽ đồ
thị, như Hình 2. HÌNH 1 HÌNH 2
Lưu ý rằng, một dãy chính là một hàm số với tập xác định là tập các số nguyên dương, đồ thị của nó
là tập các điểm có tọa độ như sau
hoặc
khi
nếu ta có thể làm cho trị tuyệt đối của hiệu số giữa
và L nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.
Nếu tồn tại
, ta nói dãy
hội tụ. Trong trường hợp ngược lại, thì gọi là phân kỳ.
Một cách chính xác, ta có định nghĩa sau:
23
ĐỊNH NGHĨA Cho
là một dãy, nếu có số thực L mà với mọi số đều có một số nguyên
dương N sao cho
VÍ DỤ 6 Chứng minh rằng
.
Giải -Với mọi số , cho trước. Ta có
tương đương với
. Từ đó thấy rằng cần
chọn số tự nhiên N >
để có được n > N thì
.
-Từ đó, Với mọi số ta chọn số tự nhiên N sao cho N
, ta được:
khi n > N thì
tức là
.
Vậy,
b) Tính chất
+ Tính duy nhất
Định lý 1. Nếu dãy
có giới hạn là L, thì giới hạn đó là duy nhất.
+ Tính bị chặn
Định lý 2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, nghĩa là tồn tại số dương M sao cho
với mọi n.
+ Tính bảo toàn thứ tự
Định lý 3. Nếu
24
Nhận xét:
với mọi k là số tự nhiên.
VÍ DỤ 8 Tìm
Như vậy, ta có thể tìm giới hạn dãy số bằng cách phân tích dãy đã cho thành tổng, hiệu, tích,
thương của các dãy hội tụ và đã biết giới hạn.
Vấn đề được đặt ra là: Khi nào thì dãy số hội tụ?
Phần tiếp theo sẽ cung cấp cho ta các điều kiện nhận biết một dãy có hội tụ hay không.
d) Các điều kiện hội tụ
Điều kiện đủ 1. (Đơn điệu và bị chặn)
+ Dãy
được gọi là tăng nếu
với mọi , tức là
. Nó được gọi
là dãy giảm nếu
với mọi . Một dãy là tăng hoặc là giảm thì được gọi chung là dãy
đơn điệu.
+ Một dãy
Giải Trước tiên ta tính toán và liệt kê các số hạng đầu tiên trong dãy đã cho
suy ra
Ta đã chỉ ra được rằng
là đúng với k = n+ 1. Ta được điều phải chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
bị chặn bằng cách chỉ ra rằng
< 6 với mọi n.(Vì dãy đã cho là
dãy tăng nên nó đã bị chặn dưới bởi a
1
Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta được
< 6 với mọi n.
Như vậy, dãy đã cho đơn điệu và bị chặn. Theo Định lý dãy đơn điệu thì dãy này hội tụ. Tuy nhiên,
Định lý đó không cho ta biết giới hạn bằng bao nhiêu. Ta chỉ biết rằng
là tồn tại, ta
dùng đẳng thức truy toán đã cho để có được
Hệ quả. Nếu
, thì
.
VÍ DỤ 10. Tìm
.
Giải Ta có
. Như vậy, ta chọn N là số tự
nhiên nào đó thỏa mãn
khi đó cứ đều được
.
Tóm lại, ta được
kéo theo
.
Điều kiện cần và đủ 3.(Dãy Cô-si)
Dãy
số lẻ và đều lớn hơn N và
. Vậy dãy đã cho không phải là dãy cô-si nên dãy này
phân kỳ.
3) Giới hạn là vô cực của dãy
Trong số những dãy phân kỳ, có những dãy mà cứ cho trước một số dương thì kể từ một số hạng
nào đó mọi số hạng của dãy đều lớn hơn số dương đó chẳng hạn như dãy
, những dãy như
thế được gọi là dãy có giới hạn . Có những dãy mà cứ cho trước một số âm thì mọi số hạng của
Copyright: Tài liệu đại học ©