Bi giảng GiảI tích nhiều biến Năm học 2007-2008 Tiến sĩ:

Nguyễn Hữu Thọ
Nguyễn Hữu ThọNguyễn Hữu Thọ
Nguyễn Hữu Thọ
1

Chơng 2: tích phân bội
Bi s 7
TNH TH TCH BNG TCH PHN LP.
TCH PHN BI HAI V TCH PHN LP

1. TNH TH TCH BNG TCH PHN LP

Mt hm hai bin liờn tc
( , )f x y
cú th
l

y tớch phõn trờn m

t mi

n ph



n m

t s

g

i l
tớch phõn bi hai ca hm f(x,y) trờn R v kớ hiu
bi
( , )
R
f x y dA

hay ( , )
R
f x y dxdy

.

a. Mụ t phng phỏp tớnh th tớch bng tớch phõn lp:
Trong Gii tớch mt bin chỳng ta ó s dng "Phng phỏp phõn hoch"
tỡm th tớch.
Xột mt vt th trong h ta Oxyz c mụ t nh hỡnh v: õy
( , ) 0z f x y= , n

u ( )A x l di

n tớch c


c
( )
b
a
V A x dx
=

(1)
cho ta th

tớch c

a v

t th

gi

i h

n
gi

a hai m

t ph

ng
x a=
v

i
x
l
b

t kỡ c



nh gi

a
a
v
b
, bi

n
y

thay

i t


1
( )
y x
(cú


t
ph

ng
xy
), v di

n tớch c

a ti

t di

n ny l :

( ) ( )
2
1
( )
( )
,
y x
y x
A x f x y dy
=

, (2) Th

NguyÔn H÷u ThäNguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u Thä
2Giá trị này chính là thể tích V của vật thể.
Để ý rằng ở đây:
{ }
1 2
( , ) , ( ) ( )x y D a x b y x y y x∈ = ≤ ≤ ≤ ≤
, D là miền lấy tích
phân.

Nếu cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy, khi đó :

{ }
1 2
( , ) ( ) ( ),x y D x y x x y c y d∈ = ≤ ≤ ≤ ≤

và dạng của tích phân lặp sẽ theo một thứ tự khác, đầu tiên theo x sau đó theo y,

( )
( )
2

∫ ∫
và
2
1
( )
( )
( , )
x x
d
c x x
f x y dxdy
∫ ∫
,

Thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp là rất quan trọng: Chúng ta luôn luôn làm
việc từ bên trong ra. Hơn nữa chúng ta còn phải quan tâm đến quy luật lấy cận trong
tích phân này (Câu hỏi ?).

Ví dụ 1 Sử dụng tích phân lặp để tìm thể tích
của tứ diện bị chặn bởi những mặt phẳng toạ độ
và mặt phẳng
1x y z+ + =
.

Giải:
Thi
ế
t di
ệ
n c

ng 1y x= − .
Di
ệ
n tích c
ủ
a nó là

Bài gi¶ng Gi¶I tÝch nhiÒu biÕn – N¨m häc 2007-2008 TiÕn sÜ:

NguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u ThäNguyÔn H÷u Thä
NguyÔn H÷u Thä
3

( )
1 1
0 0
(1 )
x x
A x zdy x y dy
− −
= = − −
∫ ∫
.

∫
.
Kết quả này có thể được kiểm tra bởi hình học sơ cấp: thể tích của một tứ diện bất kì
bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Ví dụ 2. Xác định miền lấy tích phân trong mặt
phẳng Oxy của tích phân lặp
( )
2
2 4
1
,
x
f x y dydx
−
∫ ∫

Giải: Ở tích phân bên trong, với x cố định giữa
-1 và 2, y biến thiên từ đường cong
2
y x= lên
đến đường thẳng
4y = . Mi
ề
n l
ấ
y tích phân
{ }
2
1 2, 4D x x y= − ≤ ≤ ≤ ≤

y x=
có hai
giao điểm
1 2
(0,0), (1,1)
M M
khi
0 1x≤ ≤ , và
trong mi
ề
n D hàm
2
y x= có hàm ng
ượ
c
1/ 2
x y= . Lúc này ta có:
2
1
0
2
x
x
ydydx
∫ ∫
2
1
2
0
x

i cách xác
đị
nh mi
ề
n l
ấ
y tích phân
nh
ư
sau:
{ }
1/ 2
, 0 1
D y x y y
= ≤ ≤ ≤ ≤ . Do
đ
ó tích phân
đ
ã cho có th
ể
tính:
1/ 2
1
0
2
y
y
ydxdy
∫ ∫
[ ]

u tích phân không âm nên c
ả
hai tích phân l
ặ
p
d
ẫ
n
đế
n th
ể
tích c
ủ
a cùng m
ộ
t v
ậ
t th
ể
nào
đ
ó.
Chú ý:
1. N
ế
u hàm s
ố
d
ướ
i d


cũn mt mt l th hm s
( , )z f x y=
, cũn m
t xung quanh l ph

n m

t tr

cú

ng chu
N
n l biờn c

a D cỏc

ng sinh cựng ph

ng v

i tr

c Oz.
2. Khi ( , ) 1z f x y= thỡ giỏ tr

tớch phõn l

p chớnh l giỏ tr

ó bi

t trong tớch phõn

n.

2. TCH PHN BI HAI V TCH PHN LP

a. Tớch phõn bi hai.
Giỏ tr ca tớch phõn n ( )
b
a
f x dx

c xỏc nh bi hm ( )f x v
o

n [a,b].
Trong tr

ng h

p c

a tớch phõn b

i hai,

o


( , )
R
f x y dA

(1)
Xột m

t
hm s liờn tc
( , )
f x y
xỏc

nh trờn mi

n
R
trong m

t ph

ng
Oxy
.
C

n thi

t ph



n v k

t thỳc

vụ cựng theo m

i h

ng; núi cỏch khỏc, nh

trong
tr

ng h

p c

a tớch phõn

n



ú
a
ho

c
b


c,



ú kho

ng cỏch gi

a cỏc

ng th

ng song song liờn ti

p
nhau

c phộp b

ng nhau hay
khụng b

ng nhau. Nh

ng

ng
th



t

1

n
n
, kớ
hi

u b

i
k
A
l di

n tớch c

a hỡnh
ch

nh

t th


k
. Bõy gi


,
n
k k k
k
f x y A
=


(2)
N

u
tng ú tin n mt gii hn duy nht
khi n
tin n vụ vựng
(v giỏ tr

l

n
nh

t c

a

ng chộo c

a cỏc hỡnh ch


trong hỡnh ch

nh

t) thỡ
giỏ tr

gi

i h

n

ú

c g

i l
tớch phõn bi hai :

( ) ( )
1
, lim ,
n
k k k
k
R
f x y dA f x y A
=
=

ế
t tích phân b
ộ
i vì
đ
ó là m
ộ
t ch
ủ

đề

khó, và
đẹ
p; sinh viên mu
ố
n tham kh
ả
o s
ẽ
t
ự
nh
ậ
n
đươ
c trong phép tính vi phân nâng
cao.
Ở


a chúng
đố
i v
ớ
i hình h
ọ
c và v
ậ
t lí.

b. Tích phân bội hai trong tính thể tích vật thể:

Gi
ả
s
ử
r
ằ
ng ( , )z f x y= : xác
đị
nh, liên t
ụ
c trên R và là ph
ươ
ng trình c
ủ
a m
ặ
t
trong không gian O

ẽ
; t
ổ
ng (2) là t
ổ
ng c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các th
ể
tích
đ
ó và do v
ậ
y x
ấ
p
x
ỉ
th
ể
tích toàn ph
ầ
n c
ủ
a v
ậ

tích kh
ố
i tr
ụ
có m
ặ
t
đ
áy
R

còn m
ộ
t m
ặ
t là
đồ
th
ị
hàm s
ố
( , )
z f x y
= , còn m
ặ
t xung quanh là ph
ầ
n m
ặ
t tr

ng s
ố
,
ngh
ĩ
a là ( , )
f x y c
= , thì
( , )
R
f x y dA cA=
∫∫
,
ở

đ
ó
A
là di
ệ
n tích c
ủ
a mi
ề
n
R
.
+ N
ế
u ( , ) 1

và mặ
t ph
ẳ
ng-xy là d
ươ
ng
khi ( , ) 0f x y > và là âm khi
( , ) 0f x y < .
Vì di
ệ
n tích c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t
v
ớ
i các c
ạ
nh song song v
ớ
i các tr
ụ
c to
ạ

độ
có th

ng
đồ
ng v
ớ
i tích phân l
ặ
p, và khi mi
ề
n R có
hình d
ạ
ng
đơ
n gi
ả
n nào
đ
ó tích phân b
ộ
i hai (1) luôn luôn b
ằ
ng m
ộ
t tích phân l
ặ
p
đượ
c ch
ọ
n m