O
x
y
y

=

f
(
x
)Định nghĩa tiệm cận
Định nghĩa tiệm cận
Cho đồ thị (C) có nhánh vô tận.





±∞→∧±∞→
±∞→
±∞→
⇔±∞→∈∀
yx
y
x
yxMCM );(),(
(d) là 1 đường thẳng
là tiệm cận thẳng của (C)

lim y y
→−∞
=
O
O
y = y
0
y = y
0
Đường thẳng y=y
0
là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi )
+∞→
x
Đường thẳng y=y
0
là tiệm cận
ngang của đồ thị ( khi )
−∞→
x
y = f(x)
y

=

f
(
x
)

→
= +∞
0
x x
lim y
−
→
= −∞
0
x x
lim y
+
→
= −∞
Đường thẳng x=x
0
là tiệm cận đứng
của đồ thị (khi )
Đường thẳng x=x
0
là tiệm cận đứng
của đồ thị (khi )
−
=
o
xx
+
=
o
xx

=

f
(
x
)
y

=

f
(
x
)
3
22
+
−−
=
x
x
y
Giải
3
22
+
−−
=
x
x

2
lim
−=
−∞→
y
x
=> Đg thẳng y= - 2 là TCN của đồ thị khi và khi
−∞→
x
+∞→
x
2
2
523
1
xx
xx
y
−−
++
=
+∞=












−−
++
−=
−+
−+
→→
−→−→
2
2
5
3
2
2
5
3
2
2
1
2
2
1
523
1
523
1
523
1








−−
++
−∞→
+∞→
xx
xx
x
x
Vậy ĐTHS có TCN là y = -1/5
Vậy ĐTHS có 2 TCĐ là x = 3/5 khi và
+
−→
1x
−
−→
1x
+
→
5/3x
−
→
5/3x
III. Đường tiệm cận xiên:

y

=

a
x

+

b
y

=

a
x

+

b
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi )
Đường thẳng y=ax+b là tiệm cận
xiên của đồ thị ( khi )
+∞→
x
−∞→
x
2
13

−
=+−
−∞→−∞→
x
xxf
xx
2
13
73
2
13
2
−
++=
−
−+
=
x
x
x
xx
y
Ta có:
=> Đg thẳng y= 3x+7 là TCX của đồ thị khi và khi
−∞→
x
+∞→
x
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)

axaxa
xfy
m
m
n
n
∈
+++
+++
==
TCN TCX
n < m y = 0 Không có
n = m Không có
n = m+1 Không có Có ( viết dạng y = ax+b+
với
m
n
b
a
y =
0)(
lim
=
±∞→
x
x
ε
)(x
ε
=> Đg thẳng y = x-1 là TCX của (C) khi và

)1(23)1()23(
33
)1()(
0
)1(23)1()23(
33
)1()(
2
3
23
3
223
23 23
3
223
limlim
limlim
=
−++−−++−
+−
=−−
=
−++−−++−
+−
=−−
−∞→−∞→
+∞→+∞→
xxxxxx
x
xxf

x
lim
0
=> Đg thẳng x = 0 là TCĐ của (C) khi và
+
→
0x
−
→
0x
[ ]
[ ]
0
2cos
)(
0
2cos
)(
limlim
limlim
==−
==−
−∞→−∞→
+∞→+∞→
x
x
xxf
x
x
xxf

1541215412
154144
15412
22
22
2
limlim
lim
=
+−−−
=
+−−−
−+−+−
=
+−+−
−∞→−∞→
−∞→
xxx
x
xxx
xxxx
xxx
xx
x
=> ĐTHS có TCN: y = 1/4 khi
(
)
bxxxx
a
x

f
(
x
)