BÀI GIẢNG TOÁN GIẢI TÍCH 12
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
:
:
•
Câu hỏi 1
Câu hỏi 1
:
:
Tìm đạo hàm của các hàm số:
Tìm đạo hàm của các hàm số:
2
1. y = x
2

3x - 1
2. y =
3
2

3. y = x + 5
y' = 2x
y' = 2x
y' = 2x
Nhận xét
Nhận xét
:
:
Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm.
Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm.

:
§
§
1
1
.
.Nguyên hàm và tích phân
Nguyên hàm và tích phân
1.
1.
Định nghĩa
Định nghĩa
.
.
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên khoảng (a; b) nếu: ∀x∈(a; b) ta có:
F’(x) = f(x).
-
+
F'(a ) = f(a), F'(b ) = f(b)
- Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên đoạn [a; b] nếu: F(x) là nguyên hàm
của f(x) trên khoảng (a; b) và:
Tìm mối liên hệ giữa các hàm số
1
g (x)
và

g x - g x
= 0
⇔
 
 
x (a;b)∀ ∈
F(x) = c,
x (a;b)∀ ∈
(ở đó, c là hằng số).
Bài toán:
Bài toán:
Chứng minh rằng, nếu hàm
Chứng minh rằng, nếu hàm
số y = F(x) có F’(x) = 0 với
số y = F(x) có F’(x) = 0 với
thì
( ) ( ) ( )
1 2
' '
x x x
x (a; b): g = g = f∀ ∈
( ) ( )
2 1
' '
x x
g - g = 0
⇔
( ) ( )
'
2 1

- Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số là một bài
toán đa trị.
toán đa trị.
- Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) ký hiệu là:
f(x)dx
∫
- Mỗi hàm số có một họ các nguyên hàm.
- Mỗi hàm số có một họ các nguyên hàm.
:
∫
Dấu tích phân.
f(x): Hàm số dưới dấu tích phân.
f(x)dx: Biểu thức dưới dấu tích phân.
(Đây chính là vi phân của F(x): f(x)dx = dF(x))
Như vậy:
Với F(x) là một nguyên hàm
của f(x), c là hằng số
∫
f(x)dx = F(x) + c
Một số ví dụ:
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ
nguyên hàm của các hàm số:
1/
2xdx
∫
2/
x
e dx
∫

2/
2
1
dx
sin x
∫
x
x
3
3 dx = + c
ln3
∫
2
1
dx = - cotgx + c
sin x
∫
Một số ví dụ:
Một số ví dụ:
Ví dụ 3:
Đáp số:
3
x - 4
F(x) =
3
2
y = f(x) = x
Thỏa mãn: đồ thị của F(x) cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng -1.
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: