BÀI GIẢNG TOÁN II :
GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN
PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO
Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T
Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI
Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các hàm
nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn
TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều
biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm
tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả
tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân
đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với các kiến thức được
học ở trường phổ thông . Các bài toán cực trị hàm nhiều biến cùng với các vấn đề
của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho một kỹ sư trong tương lai

Tuần 1
Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN
Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều :

Không gian R
3
đã được học ở chương trình phổ thông . Ký hiệu P=( x,y,z ) để
chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này . Hệ 3 véc tơ trực chuẩn
i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông . Khi đó , véc tơ R=
OP
uuur
sẽ viết dưới dạng:
R = x.i + y.j +z.k
Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều
như ở phổ thông đã được học
Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc

−
= -8i – j – 5k
tức là =
64 1 25
+ +
= 3
10
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG
3
R
Đường thẳng đi qua điểm P
0
= ( x
0
,y
0
,z
0
) có 2 dạng :
Dạng tham số : x = x
0
+ at , y = y
0
+ bt , z = z
0
+ ct
Dạng Đề các :
0 0 0
x x y y z z
a b c

+
,z ) = 0
Mặt ellípoid :
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
Mặt nón elliptic :
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ =
Mặt elliptic parabolid : z = ax
2
+ by
2
Và nhiều mặt cong khác , xem trong giáo trình
Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R
3
1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R
3
như sau :
x = rcos
θ
, y = rsin
θ
, z = z , trong đó r = x

Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R
3
như sau :
x =
ρ
sin
ϕ
cos
θ
, y =
ρ
sin
ϕ
sin
θ
, z =
ρ
cos
ϕ
,
trong đó
2
ρ
= x
2
+ y
2
+ z
2
, tan

2
ρ
- 2a
ρ
cos
ϕ
=0
⇔
ρ
(
ρ
-2acos
ϕ
) = 0 tức là
ρ
=0 hoặc

ρ
-2acos
ϕ
= 0 . Nhưng
ρ
=0 chỉ là trường hợp riêng của
ρ
-2acos
ϕ
= 0 nên ta có thể
kết luận là phương trình cần tìm là
ρ
-2acos

0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y
→
→
đ ược hiểu là giới hạn của hàm 2
biến f (x,y ) khi biến điểm (x,y) tiến dần đến điểm ( x
0
, y
0
) , tức là x
→
x
0
và
y
→
y
0
đồng thời .
4. Tính liên tục : Hàm 2 biến f(x,y) đuợc gọi là liên tục tại điểm (x
0
, y
0
)
thuộc miền xác định của nó giá trị của hàm f (x,y) đ ủ gần giá trị f(x
0

là
z
x
∂
∂
hoặc z
x
,
f
x
∂
∂
, f’
x
(x,y) . Hoàn toàn tương tự với đạo hàm riêng theo biến y
8. Đạo hàm riêng cấp 2 và cấp cao hơn 2 : Vì
f
x
∂
∂
,
f
y
∂
∂
đều là các hàm 2 biến
nên ta có thể lấy các đạo hàm riêng của chúng và ta có các đạo hàm riêng câp 2 :
(
x
∂

xy
,tương tự ta có
f
yy
và f
yx
và các đạo hàm riêng cấp cao hơn 2
Ví dụ : Cho f(x,y) = x
3
e
5y
+ y. sin2x . Tìm các đạo hàm riêng tới cấp 2 của nó
Giai: f
x
= 3x
2
e
5y
+ 2ycos2x , f
y
= 5x
3
e
5y
+ sin2x,
f
xy
= 15x
2
e

2
2
f
x
∂
∂
dz
2
+2
2
f
x y
∂
∂ ∂
dxy +
2
2
f
y
∂
∂
dy
2
Các ví dụ luyện tập:
Tuần 3 Đạo hàm hàm hợp , hàm ẩn
Quy tắc dây chuyền tính đạo hàm riêng :
1. Giả sử w = f(x) , x= g(t) Khi đó .

∂
+
.
w dz
z dt
∂
∂
4. Giả sử ư = f( x,y,z ) và x,y,z là các hàm 2 biến của t và u Khi đó . . .
w w x w y w z
t x t y t z t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
. . .
w w x w y w z
u x u y u z u
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Và khi đó vi phân toàn phần của w là:
dw =
. . .
w w w
dx dy dz

= ( 6cost + 2sint )( -sint) +(2cost – 2sint )(cost) = 2cos2t – 4sin2t
2. Cho w = f( x,y ) , trong đó x = r cos
θ
, y = r sin
θ
. Chứng minh rằng :

2 2 2 2
2
w w w 1 w
( ) ( ) ( ) ( )
x y r r
θ
∂ ∂ ∂ ∂
+ = +
∂ ∂ ∂ ∂

Giải: Dựa vào công thức
. .
w w x w y
t x r y r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
;
. .
w w x w y
t x y
θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= f(x
0
)thỏa mãn ;
F[x, f(x)] = c . Hơn nữa , cách tính đạo hàm của hàm ẩn này trong lân cận điểm
(x
0
,y
0
) như sau :

x
y
F
dy
dx F
= −
Ví dụ : Cho hàm ẩn y = f(x) xác định từ
F(x,y) = x
2
y
5
– 2xy + 1 = 0
Tim đạo hàm f’(x)
Giải: Rõ ràng là hàm F(x,y) xác định tại điểm (1,1) và ta có F
x
= 2xy
5
- 2y ,
F
y

x
z
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂

F
z
y
F
y
z
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
Ví dụ : Cho z là hàm ẩn của 2 biến x và y thỏa mãn
x
2
z + yz
5
+ 2xy
3

x
z
∂
∂
∂
= −
∂
∂
∂
=
3
2 4
2 2
5
xz y
x yz
+
−
+
Tuần 4 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG & GRADIENT
CỦA HÀM 3 BIẾN

Cho f(x,y,z) là một hàm 3 biến xác định trong 1 miền nào đó cua R
3
và P là 1
điểm trong miền này . Tại đó tốc độ biến thiên của hàm f sẽ như thế nào nếu ta di
chuyển điểm P theo một hướng nhất định ? Theo hướng dương của các trục
Ox, Oy, Oz ,tốc đọ biến thiên của hàm f được xác định bởi các đạo hàm riêng của
nó
f

khoảng cách
s∆
= |
R∆
| của P và Q và dần tới 0 . Gọi u là véc tơ đơn vị của PQ . Khi đó

0
lim
s
df f
ds s
∆ →
∆
=
∆
Được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng u tại điểm P của hay gọi đơn giản là đạo hàm
theo hướng u của hàm f
Chú ý: Trong giáo trình đã chứng minh :
df f dy f dy f dz
ds x ds y ds z ds
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
và

( ).
df f f f
i j k u
ds x y z
∂ ∂ ∂

0
là:

0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
P P P
f f f
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
− + − + − =
∂ ∂ ∂
Ví dụ ứng dụng các tính chất trên:
Ví dụ 1: Cho f( x,y,z ) = x
2
– y + z . Tính đạo hàm theo hướng véc tơ 4i – 2j + 4k tại
điểm ( 1,2,1 )
Giải: Tại điểm ( 1,2,1 ) ta tìm được véc tơ gradf là 2i – j + 2k . véc tơ đơn vị của véc tơ
4i – 2j + 4k là 2/3i + 1/3j + 2/3k và vì vậy đạo hàm cần tìm là :

( ).
df
gradf u
ds
=
= ( 2i – j + 2k )(2/3i – 1/3j + 2/3k) = 3
( chú ý là ở đây hương của gradf trùng với hướng của u nên
( ).
df


∇
=
( )i j k
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
Thì có thể viết: gradf =
∇
f ,
df
ds
=
∇
f.u
Tuần 5: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN
1. CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM 2 BIẾN
Đặt vấn đề :
Bài toán khảo sát cực trị hàm nhiều biến là một trong các bài toán quan trong
nhất trong các nhiên cứu kỹ thuật và vì vậy , đây là kiến thức cơ bản nhất mà một
kỹ sư tương lai cần phải có . Để gọn nhẹ cho các trình bày , chúng tôi chỉ xét tới hàm
2 biến , việc mở rộng cho hàm nhiều biến hơn là không có gì khó khăn và hoàn toàn
có thể tự tìm hiểu.
Giả sử z = f(x,y) xác định trong một miền D nào đó . Điểm ( x
0
,y
0
) được gọi là
điểm cực đại nểu f(x,y) đạt giá trị cực đại tại điểm đó , tức là f(x,y)

∂
2. Giả sử tìm được các điểm dừng là M
0
(x
0
,y
0
) , M
1
(x
1,
y
1
) …Tính các đạo hàm
riêng cấp hai : f
xx
, f
xy
, f
yy
tại các điểm dừng nói trên và gọi
A = f
xx
(x
0
,y
0
) , B = f
xy
(x

đó hàm z = f(x,y) không có cực trị
Nếu B
2
– AC = 0 thì phải xét tiếp , chưa thể có kết luận gì
Ví dụ áp dụng :