Giải tích nhiều biến số
Bài 7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Chương II. TÍCH PHÂN BỘI
§ 1. Tính thể tích bằng tích phân lặp

 Tính diện tích bằng tích phân lặp
 Tính thể tích bằng tích phân lặp (mục 20.1)

 Trong giải tích một biến số chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định
( )
b
a
f x dx
∫
.
 Liệu có thể mở rộng khái niệm trên cho hàm hai biến số trên miền phẳng nào
đó của mặt phẳng?

1. Tính diện tích bằng tích phân lặp
a)
R: y
1
(x) ≤ y ≤ y
2
(x), a ≤ x ≤ b
Các hàm y
1
(x), y

 
∫ ∫

Hay
2
1
( )
( )
y x
b
a y x
S dy dx
=
∫ ∫
Hình 20.2 (trái)
ở đó thứ tự lấy tích phân được xác định bởi thứ tự các vi phân
Ví dụ 1.
Sử dụng tích phân lặp tính diện tích của Ellip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ ≤
, a > 0, b > 0.
 E:
2 2
2 2
1 1 ,
x x

a
x
b dx
a
−
−
∫
=
2
2
0
4 1
a
x
b dx
a
−
∫

 Đặt
x
=
a
sin
t
, 0
≤

t


ab t
π
 
+
 
 
2
0
2
2
2
=
ab
π
 
+
 
 
2 0
2
=
π
ab
.
b)
T
ươ
ng t
ự
ta c

y
),
c

≤

y

≤

d
,
các hàm
x
1
(
y
),
x
2
(
y
) liên t
ụ
c trên [
c
;
d
]
•

ó th
ứ
t
ự
l
ấ
y tích phân
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i th
ứ
t
ự

các vi phân.
Hình 20.2 (ph
ả
i)
2. Tính thể tích bằng tích phân lặp

Ta
đ
ã bi
ế
t công th
ứ
c tính th

ng t
ạ
o b
ở
i v
ậ
t th
ể
và m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc
v
ớ
i tr
ụ
c
Ox
t
ạ
i
x
.

Khi v
ậ
t th
ể
trong không gian ba chi

c
Oz
, m
ặ
t cong

z = f
(
x, y
) sao cho m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i tr
ụ
c
Oz

đề
u c
ắ
t nó t
ạ
i
không quá m
ộ

f
(
x, y
),
y
1
(
x
)
≤

y

≤

y
2
(
x
),
a

≤

x

≤ b
.

Theo m

 
 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 1Ví dụ 2.
Sử dụng tích phân lặp để tính thể tích tứ
diện giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ và mặt
phẳng
x + y + z
= 1.
 0
≤

z

≤
1 –
x – y
,
R
: 0
≤

y

≤
1 –

 
 
 
 
∫ ∫ ∫
1
1 1 1
2
0 0 0
0
1
2

( ) ( )
x x x x dx
 
= − − − − −
 
 
∫
1
2
0
1
1 1 1
2

Hình 20.3

( ) ( ) ( )

z

≤

f
(
x, y
),
x
1
(
y
)
≤

x

≤

x
2
(
y
),
c

≤

y ≤



≤
1 –
x – y
, 0
≤

x

≤
1 –
y
, 0
≤

y

≤
1.

( ) ( )
y y
V x y dx dy x y dx dy
− −
 
= − − = − −
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

y y dy y dy
 
= − − − = −
 
 
∫ ∫
1 1
2 2 2
0 0
1 1
1 1 1
2 2( ) ( )
y d y
= − −
∫
1
2
0
1
1 1
2
( ) ( )
y
= − = + =
1
3
0

1
3
2
0
3
y
x dx
−
 
 
=
 
 
∫

( )
( )
x dx
= − −
∫
1
0
1
27 8
3

•
x dx
=
∫

 
 
∫ ∫
2
1
0
2
x
x
y dx
=
∫
2
1
2
0
( )
x x dx
= −
∫
1
2 4
0


x x
 
= −
 
 

0
2

•

( )
y
y
xy dy
=
∫
1
0
2
y y dy
 
= −
 
 
∫
1
3
2
2
0
2 2

•

/

) có đủ các điều kiện cần thiết)
( )
,
x
I f x y dy dx
−
=
∫ ∫
2
2 4
1

•
Miền lấy tích phân:
R
:
x
2

≤

y

≤
4,
−
1
≤

x

( ) ( )
, ,
y y
y
I f x y dx dy f x y dx dy
−
−
= +
∫ ∫ ∫ ∫
1 4
0 1 1Chú ý
 Cần nắm vững miền lấy tích phân để chọn thứ tự thích hợp cho việc tính
tích phân lặp
 Để tính tích phân lặp, ngoài việc chọn thứ tự để tính, còn cần thiết nắm
vững cách tính tích phân xác định
 Khi tính thể tích cần chú ý cách sử dụng các công thức: Tích phân xác
định và tích phân kép. § 2. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP

 Tích phân bội hai (mục 20.2)
 Cách tính

1. Định nghĩa
 Cho hàm f(x, y) liên tục trên miền R bị chặn (giới nội), đóng trong mặt
phẳng xOy

=
=
1
{
đườ
ng chéo c
ủ
a hình ch
ứ
nh
ậ
t th
ứ
k}
N
ế
u t
ổ
ng
( )
,
n
k k k
k
f x y A
=
∆
∑
1
ti

ọ
n (x
k
; y
k
) thì hàm f(x, y) kh
ả
tích trên R và ta b
ả
o gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó là tích phân b
ộ
i
c
ủ
a hàm f(x, y) trên R và vi
ế
t
( ) ( )
, lim ,
n
k k k
k
R
f x y dA f x y A

ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c to
ạ

độ
chia mi
ề
n
R
thành
các hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích là ∆
A
k
, k =
,
n
1


L
ấ

k k
f x y A A
= =
∆ = ∆ =
∑ ∑
1 1
2


Ta có
( )
lim ,
n
k k k
k
f x y A
=
∆ =
∑
1
2
, không ph
ụ
thu
ộ
c vào phép chia mi
ề
n
R
và

x, y
) liên t
ụ
c trên
R
gi
ớ
i n
ộ
i thì t
ồ
n t
ạ
i
( )
,
R
f x y dA
∫∫


Do
∆A
=
∆x
.
∆y
nên th
ườ
ng s

,
R
f x y dx dy
∫∫2. Tính chất:
Có các tính chất tương tự như tích phân xác định
a)
Tuyến tính:

( ) ( )
, ,
R
f x y g x y dx dy
α β
 
+
 
∫∫
( ) ( )
, ,
R R
f x y dx dy f x y dx dy
α β
= +
∫∫ ∫∫b)


c)
Bảo toàn thứ tự:
N
ế
u f(x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x ; y) ∈ R thì có
( ) ( )
, ,
R R
f x y dx dy g x y dx dy
≤
∫∫ ∫∫

Nói riêng: N
ế
u m và M t
ươ
ng
ứ
ng là giá tr
ị
bé nh
ấ
t và l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm

ộ
t
đ
i
ể
m (x
0
; y
0
) ∈ R sao cho có:
( ) ( )
, ,
R
f x y dx dy f x y S
=
∫∫
0 0

ở

đ
ó S là di
ệ
n tích mi
ề
n R

3. Cách tính
a)
N

( ) ( )
( )
(
)
, ,
y x
b
R a y x
f x y dx dy f x y dy dx
=
∫∫ ∫ ∫
2
1
Ví dụ 2.

Tính
R
xy dx dy
∫∫
2
,
ở

đ
ó R gi
ớ
i h

=

20 c
1
hoÆ
= =

⇔

=

y y
x y
0
0
x
y
=

⇔

=

ho
ặ
c
1

xy dx
=
∫
( )
1
2
0
x x x dx
= −
∫
( )
1
2 3
0
x x dx
= −
∫



1
3 4
0
3 4
x x
 
= −
 
 
1 1

ẳ
ng x
−
y = 2

Tìm giao
đ
i
ể
m:
2
2
x y
x y

=

− =

2
2
2 0
x y
y y

=

⇔

− − =


Hình 20.8

Hình 20.10



( )
1 2
R
x dA
+
∫∫

( )
1
0
1 2
x
x
x dy dx
−
= +
∫ ∫
( )
4
1 2
1 2
x
x

1
3 2
0
2 4
/
x x dx
= +
∫
( )
4
3 2
1
2 2 2 2
/
x x x x x dx
 
+ − + + − −
 
∫



( )
1
4
3 2 5 2 3 2 2
0
1
2 2
2 4 2 2 3 2

   
   

136 108 4 3
30
5 3 5 2
= + − − −

132 3
30 36
5 2
= + − −
132 3
6
5 2
= − −

264 15 60
10
− −
=
189
10
=

b)
N
ế
u R là mi
ề

x y
d
R c x y
f x y dx dy f x y dx dy
=
∫∫ ∫ ∫Hình 20.11

Ví dụ 4.
Ta tính tích phân trong ví d
ụ
3 theo mi
ề
n n
ằ
m ngang
đơ
n gi
ả
n
y
2
≤ x ≤ y + 2, −1 ≤ y ≤ 2
•
( ) ( )
2
2
2

2 2
y y y y dy
−
 
= + − + + −
 
∫

( )
2
4
1
6 5
y y dy
−
= + −
∫
2
2 5
1
5 1
6
2 5
y y y
−
 
= + −
 
 


n
•
2
1
0
2 2
y
R
y
xy dA xy dx dy
=
∫∫ ∫ ∫

•
2
1
2
0
y
y
yx dy
=
∫
( )
1
2 4
0
y y y dy
= −
∫

e dx dy
∫ ∫

• Không th
ể
tính
2
2
2
4
x
y
e dx
∫

• C
ầ
n thay
đổ
i th
ứ
t
ự

để
tính
đượ
c tích phân
• V
ẽ

y
e dx dy e dy dx
=
∫ ∫ ∫∫

•

2
2
2
0
0
4
x
x
e y dx
=
∫
2
2
0
4
2
x
x
e dx
=
∫
2
2

Nhận xét
N
ế
u
R
không có c
ả
d
ạ
ng
đứ
ng l
ẫ
n n
ằ
m ngang thì tính nh
ư

th
ế
nào? Ví d
ụ
tính tích phân sau
(
)
2 2
R
x y dx dy
+
∫∫

•
Tu
ầ
n t
ớ
i h
ọ
c lý thuy
ế
t các m
ụ
c 20.4 và 20.9 (
đổ
i bi
ế
n s
ố
trong tích
phân kép).
•
Bu
ổ
i h
ọ
c lý thuy
ế
t 15/3/08 chuy
ể
n sang 12/3/08 (theo k
ế

oàn
đ
i thi Olympic toán qu
ố
c gia.