Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I - LÝ THUYẾT
1) Qui tắc cộng và qui tắc nhân
: a) Qui tắc cộng
• Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn
đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào thì thì có
m+n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
• Dưới dạng tổng quát: Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, m
2
cách chọn đối
tượng x
2
m
n
cách chọn đối tượng x
n
và nếu cách chon đối tượng x
i
không
trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng x
j
nào (i≠ j; i, j = 1, 2, 3 n) thì có m
1
+ m
2

có m
3
cách chọn đối tượng x
3
Cuối cùng với mỗi cách chọn x
1
, x
2
, x
3
, ,
x
n-1
có m
n
cách chọn x
n
, thì ta có m
1
m
2
m
n
cách chọn dãy x
1
, x
2
, , x
n
.

4) Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n)
phần tử của A được gọi là một tổ thợp chập k của n phần tử đã cho.
Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi. Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo.
Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?
b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là
k
n
C
thì ta có:
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì
hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?
c) Các hệ thức:
•
kn
n
k
n
CC
−
=

−−
=
∑
=
−
n
0k
kknk
n
baC
b) Các tính chất:
• Số các số hạng của công thức là n + 1
• Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức n.
• Số hạng tổng quát có dạng:
kknk
n
baC
−
. Đây là số hạng thứ k + 1 trong
khai triển của nhị thức.
• Các hệ số trong khai triển cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng
nhau.
•
n
n
k
n
1
n
0

6. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội
diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi
đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng các
vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau.
7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau.
b) bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau.
8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau?
9. Cho các số 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên
sao cho:
a) Chữ số đầu tiên là 3.
b) Các chữ số khác nhau.
c) Các chữ số khác nhau và đều chia hết cho 2.
d) Các chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
10. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số có 5 chữ
số, các chữ số khác nhau thỏa mãn:
a) Các số là số lẻ.
b) Các số đều chia hết cho 5.
c) Trong đó nhất thiết phải có số 5.
d) trong đó nhất thiết phải có số 0.
11. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần.
12. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó
có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
13. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
Hỏi trong đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu từ số 1.
b) Bắt đầu bởi 23
c) Không bắt đầu bởi 345
d) không nhỏ hơn 234.

21. ĐHQG TPHCM - 2000
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách
văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6
cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
a) Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách
thuộc hai thể loại văn học và âm nhạc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tặng.
(6048 cách)
b) Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 thể
loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có tất cả
bao nhiêu cách.(579600 cách)
22. QGTPHCM - 98
Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một
đoàn đại biểu có 5 người ( gồm trưởng đoàn, thư kí và ba thành viên) đi dự
trại hè quốc tế. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đoàn đại biểu nói trên.(15840
cách)
23. ĐH LUẬT - 99
Một đoàn tàu có 3 toa chở khách, toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chuẩn
bị đi tàu. Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
4
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên 3 toa.(81 cách)
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 vị khách lên tàu để có 1 toa có 3 trong 4 vị
khách nói trên.(24 cách)
24. ĐH HUẾ - 99
Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó sắp xếp thứ tự
ngẫu nhiên thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành.(288 số)
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành.(312 số)

đó có đủ mặt 3 chữ số trên.(150 số)
32. ĐHSP II - 2000
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các
chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, còn các chữ số khác có mặt một lần.(10080 số)
33. HVKTQS - 2000
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
5
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở
địa điểm A, hai người ở địa điểm B, còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công.(1260 cách)
34. ĐHGTVT - 2000
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có hai cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu
cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó
có ít nhất một cán bộ lớp.(324 cách)
35. ĐHCS - 2000
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9.(50.000 số)
36. ĐHQG TPHCM - A - 2000
a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số
đầu tiên là chữ số lẻ.(42.000 số)
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có đúng 3 chữ
số lẻ và 3 chữ số chẵn( Chữ số đầu tiên phải khác 0).(64.800 số)
37. ĐHQG TPHCM - A - 2001
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu
tiên phải khác 0), Trong đó có mặt chữ số 0, nhưng không có mặt chữ số 1.
(33.600 số)
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số ( chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng
chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn
lại có mặt không quá 1 lần.(11.340 số)
38. ĐH HUẾ - A - 2001

2
, , A
2n
(với n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn O.
Biết rằng tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, , A
2n
nhiều gấp 20
lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, , A
2n
. Tìm n?( n
= 8)
45. TSĐH - B - 2004.
Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề
kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có
đủ 3 loại câu hỏi trên(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
III - BÀI TẬP NHỊ THỨC NEWTON
1. Chứng minh rằng:
1k
1n
k
1n

b) Tính tổng:
15210
a aaaT ++++=

1521o
a aaaS −−+−=
4. Khai triển:
100
100
2
21o
100
xa xaxaa)2x( ++++=−
a) Tính hệ số a
97
?
b) Tính T =
10021o
a aaa ++++
c) Tính S =
10021
a100 a2a +++
5. Khai triển:
20
20
2
2x1o
102
xa xaaa)x3x21( ++++=++
a) Tính hệ số a

c) Chứng minh rằng
3992
3992
2
2
10
a2 a2a2aS ++++=

2401.
8. ĐHTL - II - 2000
Cho đa thức: P(x) =
14109
)x1( )x1()x1( ++++++
. Có dạng khai triển là: P(x)
=
14
14
2
21o
xa xaxaa ++++
. Hãy tính hệ số a
9
.
9. Đa thức P(x) =
2032
)x1(20 )x1(3)x1(2)x1( ++++++++
được viết dưới
dạng: P(x) =
20
20

18
3
3
)
x
1
x( +
số hạng độc lập đối với
x?
13. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton của:
12
)
x
1
x( +
14. Hãy tìm số hạng đứng giữa của các khai triển sau:
a)
313
)aba( +
b)
303
)aba( +
15. Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển:
6
)153( −
17. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
124
4
)53( +
18. Tính hệ số của

n
hạng tử thứ 11 là
số hạng có hệ số lớn nhất.
24. Tìm số nguyên dương n sao cho hạng tử thứ 5 của khai triển:
6
n4
n 1
)
4
4
22(
−
−
+
là 240.
25. Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:
n3
2
nx2
1
nx2






+
là
64. Tìm hạng tử không chứa x.

hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối là
6
1
.
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
8
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel:
016.55.25.25.99
28. Tìm các giá trị thực của số thực x, sao cho trong khai triển của:
m
1x
x
2
1
2








+
−
tổng các hạng tử thứ 3 và 5 là 135 và tổng hệ số 3 hạng tử cuối
là 22.
29. Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ 3 của khai triển:
5xlg
)xx( +

n
++++=
32. Xét khai triển:
m
5
3lg)2x()x310lg(
)22(
−−
+
Cho biết hạng tử thứ 6 là 21 và các hệ số thứ 2, 3 và 4 của khai triển là các số
hạng thứ 1, 3 và 5 của 1 cấp số cộng. Tìm x?
33. Tìm hệ số của x
m
trong khai triển:
n1kk
)x1( )x1()x1( ++++++
+
Xét các trường hợp m < k và m ≥ k
34. Khai triển:
12
)x21()x(P +=
thành dạng:
P(x) =
12
12
2
21o
xa xaxaa ++++
. Tìm max(
)a, ,a,a

3
n
1n
2
n
1
n
C
C
n
C
C
3
C
C
2C
−
++++
d) D =
n
n
4
n
4n2
n
2n0
n
n
C C2C2C2 ++++
−−

n
C2)1( C2C2C21 −++−+−
h) H =
17
17
173
17
1432
n
1521
17
160
17
17
C4 C34C34C3.4C3 −+−+−
i) I =
n
n
n2
n
21
n
0
n
C3 C3C3C ++++
k) K =
n2
n2
4
n2

a)
nn
n
n
n2
n
2
1
n
0
n
n
2C.
3
1
.)1( C.
3
1
C.
3
1
C[3 =−+++−
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
9
Biên soạn : Trần Đại Tel: 04.292.0398 – 0979.877.188
b)
n
n2
2n
n

e)
1C.2 C.2.)1( C.2.)1(C.)1(
n
n
nk
n
kk1
n
1n0
n
n
=++−++−+−
−
f)
1n2n2
n2
4
n2
2
n2
0
n2
2C CCC
−
=++++
g)
n
n
n1
n

C2.n C.2.2C
−
+++
i)
n2
n2
4
n2
2
n2
0
n2
C CCC ++++
=
1n2
n2
5
n2
3
n2
1
n2
C CCC
−
++++
k)
1n1n
n
1n
n

1n3
n
2
n
1
n
0
n
=−++−−−+−−
−−
q)
1n
12
n1
C

21
C
11
C
C
1n
n
n
2
n
1
n
0
n

2
n
1
n
0
n
+
=
+
−
++−+−
37.
a) Tính:
∫
−
1
0
n2
dx)x1(x
b) Chứng minh:
)1n(2
1
C
2n2
)1(
C
6
1
C
4

C2
1n
1
)1( C2
2
1
C2
nn
n
1nn1
n
20
n
−+
+
=
+
−++−
+
39. Chứng minh đẳng thức:
1n
13
C
1n
2
C
3
2
C
2

2
1
n
n
1n
2
n
1
n
+
=
+
−
++−
+
41. ĐHTL - 99. Chứng minh rằng :
k
3n
3k
n
2k
n
1k
n
k
n
CCC3C3C
+
−−−
=+++

0
m
k
n
CCC CCCC
+
−
=+++
44. Chứng minh rằng :
3k
3n
2k
2n
3k
n
2k
n
1k
n
k
n
CCCC4C5C2
+
+
+
+
+++
+=+++
45. ĐHSP TPHCM - 2000
a) Tính: I =

−
2
0
19
dx)x1(x
b) Rút gọn tổng:
19
19
18
19
2
19
1
19
0
19
C
21
1
C
20
1
C
4
1
C
3
1
C
2

1
n
0
n
+
−
=
+
++++
+
47. TSĐH - A - 2002. Cho khai triển:
n
3
x
n
n
3
x
1n
2
1x
1
n
n
2
1x
0
n
n
3









=








+
−−
−
−−
−
−
Biết rằng trong khai triển đó
1
n
3
n
CC =
và số hạng thứ 4 bằng 20n, Tìm n và x.

+
+
(x, n ∈ N*)
50. TSĐH - B - 2003. Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
n
n
1n
2
n
3
1
n
2
0
n
C
1n
12
C
3
12
C
2
12
C
+
−
++
−
+

x
A50A2 =+
b)
x
2
7
CCC
3
x
2
x
1
x
=++
c)
5n
5
n3n
PA720P
−+
=
d)
1023C CCC
10x
x
3x
x
2x
x
1x

6x
3x
8x
A5C
+
+
+
=
(với x ∈
+
Z
)
Tài liệu luyện thi đại học môn toán
12