BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Đỗ Văn Thọ
(Biên soạn)



 
!
, 0 k n
! !
k
n
n
C
k n k
  


 
!
, 1 k n
!
k
n
n
A
n k
  


, 0 k n
k n k
n n
C C


n n n k n k k n n
n n n n n
n
k
k n k k
n
k
a b C a C a b C a b C a b C ab C b
C a b
a b C a C a b C a b C a b C b
C a b
    


  


        

         
 



Số hạng tồng quát của nhị thức


n
a b
 có dạng

4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
   

    
Bài 3: Cho k, n là các số tự nhiên và
4
k n
 
. Chứng minh
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
    
 
    

Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau:
 
   
2 1 2
1
1 1
1
2
Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ
3

Bài 5: Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng của x của:
10
. 1
2
x
a
 

 
 
b.


8
3 2
x

Bài 6: Khai triển:
a.
7
1
x

 
2008
4
P x x
x
 
 
 
 

Bài 8: Tìm số hạng không chứa x của khai triển:
a.
 
12
1
, 0
P x x x
x
 
  
 
 

b.
7
3
4
1
, 0
x x

5
3
1
n
x
x
 

 
 
, biết rằng


1
4 3
7 3 , 0
n n
n n
C C n n

 
   

Bài 11: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển:
a.


5
3
2 3

x
x
 

 
 

Bài 13: Tìm hệ số của:
a.
25 10
x y
trong khai triển của


15
3
x xy


b.
101 99
x y
trong khai triển


200
2 3
x y

Bài 14: Trong khai triển








Bài 16: Tìm hệ số của:
a.
16
x
trong khai triển


10
2
2
x x


b.
1008
x
trong khai triển
2009
2
3
1
x
x

x
trong khai triển
10
2
1
3
3
x
 

 
 

f.
12
x
trong khai triển
20
3
3
2x
x
 

 
 

g.
43
x

x xy
 (nghĩa là có 2 số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11, 12)
b.
 
20
4
2
3
1
x x
xy
 
 

 
 

Bài 19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
a.
7
3
4
1
x
x
 

 
 
, với x>0 (ĐH khối D - 2004)

0
x
Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ
5

d.
12
3
3
2
1
x x
x
 

 
 
 
, với
0
x


e.



g.
12
3
4
1
x
x
 

 
 
, với
0
x


h.


8
2 4
1
x x
 
i.
20
2
1

15
n
x x x

 

 
 
,
0
x

. Hãy tìm số hạng không phụ
thuộc vào x, biết rằng
1 2
79
n n n
n n n
C C C
 
  

Bài 21: Tìm hệ số của số hạng chứa:
a.
8
x
trong khai triển
12
5
4

1 2 3 2
6 6 9 14
n n n
C C C n n
   
c.
2 2 2 3 3 3
2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
 
  
d.
5
3 5
720
n n n
P A P
 

e.
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
  

f.
3 2

x
 

 
 
, biết rằng


1
4 3
7 3
n n
n n
C C n

 
  

Bài 24: Cho khai triển
3
23
3
n
x
x
 

 
 
. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên

x
trong khai triển
12
3
3
x
x
 

 
 

Bài 27: Trong khai triển
 
28
3
15
, 0
n
x x x x

 
 
 
 
. Hãy tìm số hạng không chứa
x
. Biết rằng
1 2
79

2
x
trong khai triển nhị thức
3
2
1
n
x
x
 

 
 
.
Biết tổng ba hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển trên là 11
Bài 30: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển


6
3 15


Bài 31: Tìm số hạng nguyên trong khai triển


9
3
3 2

Bài 32: Tính hệ số của

“sắp xếp vào k vị trí” đã có sẵn thì gọi là “chỉnh hợp chập k của n phần
tử”
5. Tổ hợp (hiểu nôm na như sau): Cho tập hợp A gồm n phần tử, khi đó ta
lấy ra “k phần tử trong n phần tử”, gọi là “tổ hợp chập k của n phần
tử”
Nhận xét: Chỉnh hợp khác tổ hợp ở chỗ là “Chỉnh hợp thì ta lấy ra k
phân tử trong n phần tử rồi đi sắp xếp vào k vị trí đã có sẵn” còn “tổ
hợp thì ta chỉ lấy ra k phần tử trong n phần tử chứ không sắp xếp gì
hết”.
* Các chú ý khi giải bài tập
1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt
(trường hợp số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của
bài toán…)
2. Ta thường lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là sắp
xếp có thứ tự hay không. Để phân biệt ta làm như sau: Đầu tiên ta đưa ra một đáp
án của bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử trong đáp án, nếu:
- Tạo nên đáp án mới

có thứ tự

tổ hợp
- Không tạo nên đáp án mới

không có thứ tự

chỉnh hợp
II. Bài tập:
Bài 1: Một lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn
làm lớp phó và một bạn làm thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học
sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư ký như nhau.


0,1,2,3,4,5,6
có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau
a. Nếu số đó là số lẻ
b. Nếu số đó là số chẵn
ĐS: a.
900
số b.
1260
số
Bài 8: Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách
xếp sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ?
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề
nhau ?

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ
9

c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được
ngồi kề nhau ?
Bài 9: Cho tám chữ số


0;1;2;3;4;5;6;7
. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ
10

a) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một.
b) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
c) Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Bài 20: Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ
số khác nhau mà số đó không chia hết cho 3.
ĐS:
66
số
Bài 21
a. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu
tiên là số lẻ
b. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba số lẻ
và ba chữ số chẵn
ĐS: a.
42.000
số b.
64.800
số
Bài 22: Cho các chữ số


0;1;2;3;4;5
. Từ các chữ số đã cho ta lập được
a. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau từng đôi một

số b.
3000
số
Bài 25: Từ các chữ số


1;2;3;4;5;6
thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác
nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6
không đứng cạnh nhau

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ
11

ĐS:
480
số
Bài 26: Từ các chữ số


1;2;3;4;5;6;7;8;9
thiết lập tất cả các số có 9 chữ số
khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9
đứng ở vị trí giữa
ĐS:
40.302
số

b. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và số 6
ĐS: a. 600 số b. 480 số
Bài 30: Cho tập


0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
A

có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số
khác nhau nhỏ hơn 600.000 được thiết lập từ tập A đã cho
ĐS:
36.960

Bài 31: Cho tập


0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
A

có thể thành lập bao nhiêu số gồm
6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1
ĐS: 42.000 số
Bài 32: Cho tập


0;1;2;3;4;5;6;7
A

có thể lập được bao nhiêu số gồm 5
chữ số khác nhau đôi một trong các trường hợp sau:

ĐS: a. 24 cách b. 12 cách
Bài 38: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra
không có đủ ba màu
ĐS: a.
645
cách
Bài 39: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn
xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
chỗ ngồi nếu:
a. Các học sinh ngồi tùy ý
b. Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi môt bàn
ĐS: a. 3.628.800 b. 28.800

Bài Tập Tổ Hợp – Xác Suất Đỗ Văn Thọ
13

Bài 40: Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử ba người đi dự hội nghị Hội học sinh của trường sao cho trong
ba người đó có ít nhất một cán bộ lớp
ĐS: 324 cách
Bài 41: Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam.
Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học
và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách
ĐS: 90 cách
Bài 42: Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh
được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:

14

- Tập

được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập

được gọi là biến cố chắc chắn.
- Xác suất của biến cố A
Ta gọi


n A
là số phần tử của A, còn


n

là số kết quả có thể xảy ra của
phép thử. Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là


P A

 


 
n A
P A
n


15

b. Gọi A là biến cố “tổng số chấm xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ hơn
hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A. Tính


P A

c. Cũng câu hỏi như trên cho các biến cố B: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất
hiện mặt 6 chấm” và C: “Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”
Bài 7: Một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ
a. Cần chọn nhóm 4 người để làm trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác
nhau?
b. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một nhóm 4 người ta được nhóm có
đúng 1 nữ
Bài 8: Cho tám quả cân có trọng lượng 1kg, 2kg, …,8kg. Chọn ngẫu nhiên 4
quả cân. Tìm xác suất để tổng trọng lượng bốn quả cân được chọn không vượt
quá 12kg
Bài 9: Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000 đồng, 5 vé trúng 50.000
đồng và 10 vé trúng 10.000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên 4 vé. Tìm xác
suất để người mua trúng thưởng 250.000 đồng
Bài 10: Gieo đồng thời ba con xúc xắc. Tìm xác suất để:
a. Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 10
b. Tổng số chấm xuất hiện ở 3 con là 7
Bài 11: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó
có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để
a. Có 6 khách là nam
b. Có 4 khách nam, 2 khách nữ
c. Có ít nhất 2 khách nữ

Bài 17: Một bình chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3
viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tìm xác suất để rút được 5 viên bi
trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ (ĐS:
45 / 286
)
Bài 18: Một đoàn tàu có 7 toa đổ ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên
tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa. Tìm
xác suất để có đúng 1 khách lên tàu (ĐS:
7
7!/ 7
)
Bài 19: Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất, 100 giải
nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích. Tìm xác suất để 1
người mua 3 vé, trúng 1 giải nhì, 2 giải khuyến khích (ĐS:
25999 /199996666
)
Bài 20: Gieo đồng thời 3 con xúc xắc. Tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện
của ba con là 10 (ĐS:
1/ 9
)