1
ĐộNG LựC HọC CÔNG TRìNH
Mở ĐầU
i1 . KHáI NIệM Về MÔN ĐộNG LựC HọC CÔNG TRìNH
Các bài toán đầu tiên về dao động trong lĩnh vực cơ học kết cấu xuất hiện từ nửa
thế kỷ thứ XIX. Tuy vậy sau thời kỳ đó các bài toán tĩnh vẫn thu hút đợc sự quan tâm
của các nhà nghiên cứu hơn so với các bài toán động. Cho đến những năm thứ 30 của thế
kỷ XX, môn Động lực học công trình mới đợc coi nh một phần riêng biệt trong lĩnh
vực cơ học kết cấu.
Quá trình phát triển của lý thuyết dao động công trình liên quan mật thiết đến
quá trình phát triển của lý thuyết dao động nói chung và gắn liền với yêu cầu phát triển
của nền kinh tế quốc dân.Đặc biệt là trong mấy chục năm gần đây, sự phát triển nhảy vọt
trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng cơ bản, chế tạo máy, hàng không đã thể
hiện rõ sự thành công rực rỡ trong lĩnh vực nghiên cứu lý luận và thực nghiệm của môn
Động lực học các công trình.
Bài toán đơn giản đầu tiên về động lực học công trình là nghiên cứu cách tính dao
động cho sơ đồ kết cấu dầm; tiếp đó là các loại kết cấu hệ thanh phức tạp hơn nh dàn,
vòm, khung, dầm liên tục. Đặc biệt là trong khoảng mời năm gần đây, việc nghiên
cứu dao dộng của tấm và vỏ đã đợc chú ý đến nhiều. Trong thực tế ta thờng phải giải
quyết các bài toán về dao động công trình khi thiết kế xây dựng các công trình nh các
công trình nhà công nghiệp chịu tải trọng động, công trình cầu chịu tải trọng di động,
công trình cầu và các công trình cao chịu tải trọng khí động, các công trình thủy công
chịu tác dụng của sóng biển
Đến nay, đã có rất nhiều công trình lớn nghiên cứu về dao động công trình;
trong đó các nhà khoa học của các nớc XHCN nh Liên Xô (xem [3],[26]) Ba Lan,
Tiệp Khắc, CHDC Đức (xem [15], [12], [3]) đã đóng góp nhiều công trình nghiên cứu
xuất sắc. Bên cạnh việc nghiên cứu đề xuất ra lý luận tính toán, các tác giả cũng đã
nghiên cứu tìm biện pháp làm giảm ảnh hởng động của tải trọng động tác dụng lên
công trình.
Hiện nay một trong những phơng hớng mới đợc quan tâm nhiều, khi nghiên cứu
dao động công trình là áp dụng phơng pháp thống kê; phơng hớng này áp dụng có
3
i2 CáC DạNG TảI TRọNG Và NHIệM Vụ CủA BàI TOáN
DAO ĐộNG CÔNG TRìNH

Trong các phần trên của giáo trình cơ học kết cấu, chúng ta đã nghiên cứu cách
tính các công trình chịu tải trọng tác dụng tĩnh. Trong phân này chúng ta sẽ nghiên cứu
các công trình chịu tải trọng tác dụng động. Nh trong giáo trình cơ học lý thuyết và sức bền
vật liệu, ta đã biết tải trọng động là tải trọng gây ra lực quán tính.
Trong thực tế ta thờng gặp một số dạng tải trọng động chủ yếu nh sau:
1. Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiên theo thời gian P(t).

2. Tải trọng di động có trị số không đổi
P(z). Ví dụ nh tải trọng của đoàn xe chạy
trên cầu.
3. Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t). Ví dụ nh tải trọng động gây ra bởi
đầu máy xe lửa chạy trên công trình. Phần khối lợng không cân bằng do đối trọng đặt tại

các bánh xe đầu máy gây ra lực quán tính ly tâm; thành phần thẳng đứng của lực này tác
dụng trên công trình theo dạng tải trọng di động có trị số thay đổi. Chu kỳ biến thiên của
tải trọng di động phụ thuộc vào tốc độ đầu máy.
4. Lực địa chấn, xuất hiện khi có động đất.
5. Lực khí động, do gió tác dụng vào công trình.
6.Tải trọng va chạm :Loại tải trọng này xuất hiện khi có vật rơi hoặc đập trên công trình.
Ví dụ quai búa lên đe, bánh xe đi qua các ổ gà do đờng không bằng phẳng, bánh xe lửa
chạy qua các đầu nối đờng ray, sóng vỗ vào đập.
7. Tải trọng động phức tạp. Dạng tải trọng này
là tổ hợp của các dạng tải trọng kể trên. Chẳng hạn
nh tải trọng di động va chạm, đồng thời thay đổi
trị số. Đầu máy xe lửa chạy trên cầu là một Ví dụ
về dạng tải trọng vừa di động vừa thay đổi trị số,
đồng thời còn gây ra va chạm khi qua các khe hở ở
chỗ nối đờng ray (hình 2).
P(t)=P.sinrt
m
m
a)
b)
c)

4
Nhiệm vụ chủ yếu của bài toán động lực học công trình bao gồm:

Các lực động này có thể là lực thay đổi theo chu kỳ hoặc không theo chu kỳ, có thể là
lực thay đổi đột ngột v.v.
Tự dao động hay còn gọi là dao động tự kích thích là loại dao động xuất hiện bởi các
lực do bản thân chuyển động gây ra và tắt đi khi ngừng chuyển động. Ví dụ, xét khối lợng m
gắn liền với lò xo có điểm cố định A, đặt yên trên mặt phẳng nằm ngang. Khi mặt phẳng ngang
chuyển động theo nhiều mũi tên với vận tốc đều (hình 4). Khối lợng m sẽ dao động theo
phơng ngang.
Dao động ngẫu nhiên là laọi dao động xuất hiện do các nguyên nhân bên
ngoài tác động có tính chất ngẫu nhiên.

5

3. Theo sự tồn tại hay không tồn tại của lực cản.
Dao động có lực cản là dao động bị mất một số năng lợng do ảnh hởng cản của
môi trờng dao động, do ma sát của các liên kết, do ma sát nội.
4. Theo số bậc tự do của hệ (Xem khái niệm về bậc tự do trong 5 chơng này ):
Theo cách phân loại này ngời ta chia các hệ thành ba loại: hệ có một bậc tự do (hình 5a),
hệ có một số bậc tự do (hình 5b), hệ có vô số bậc tự do (hình 5c).
5. Theo loại biến dạng khi dao động.
Dao động ngang khi dao động này gây chuyển vị thẳng góc với phơng ban đầu
của trục kết cấu, dao động dọc khi dao động này gây chuyển vị dọc theo trục kết cấu.
c)

a)

y

t

r

H
ì
nh 3

6
m
A
m
m
1
m
n
a)
b)
c)

6. Theo dạng của phơng trình vi phân mô tả dao động.
Dao động tuyến tính khi phơng trình vi phân mô tả dao động là tuyến tính, dao động
phi tuyến khi phơng trình vi phân mô tả dao động là phi tuyến.
7. Theo khả năng thay đổi của các thông số của hệ. Các thông số đó là các đại lợng
liên quan đến việc biểu diễn phơng trình dao động của hệ, có thể là độ cứng. Nếu các
thông số của hệ không đổi trong quá trình chuyển động thì dao động đợc gọi là dao động
không có thông số. Nếu các thông số của hệ thay đổi theo thời gian với một quy luật nào đó,
thì dao động đợc gọi là Dao động có thông số. Bài toán ổn định của kết cấu dới tác dụng
của tải trọng động (xem chơng 8) cũng thuộc loại bài toán dao động có thông số.
i4. KHáI NIệM Về CáC PHƯƠNG PHáP TíNH TOáN CƠ BảN
TRONG DAO ĐộNG CÔNG TRìNH

Trong dao động công trình có hai phơng pháp tính cơ bản là phơng pháp tính cơ bản
là phơng pháp tĩnh và phơng pháp năng lợng.

tYd
mY
dt
tXd
mX
u
umu


Trong đó :
X(t), Y(t) - lần lợt là chuyển vị tịnh tiến của khối lợng m theo phơng của trục x và trục y.
u
(t) - Chuyển vị xoay của khối lợng m quanh trục u là trục vuông góc với mặt phẳng xy.

2
2
)(
dt
tXd
m
;
2
2
)(
dt
tYd
m

bất động ta chỉ cần đặt thêm vào hệ mới một liên kết (đờng đứt nét trên hình vẽ 6).
1
2
y
y
2
1

Hệ trên hình 7 và 8 có hai bậc tự do, vì chỉ cần đặt thêm vào các khối lợng hai liên kết
(đờng đứt nét) là đủ bảo đảm cho các khối lợng này trở thành bất động.
Khung trên hình 9 có bốn khối lợng, nhng chỉ có ba bậc tự do. Hệ không gian trên
hình 10 có ba bậc tự do. Đối với những hệ có khối lợng phân bố, ta thấy rõ ràng là có vô
cùng bậc tự do.
y
2
y
1
2
1
3
4

8
Chơng 1: DAO ĐộNG CủA Hệ Có MộT BậC Tự DO
i 1. PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TổNG QUáT CủA DAO ĐộNG
Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lợng tập trung M, đặt trên dầm AB.
Dầm này đợc xem là vật thể đàn hồi không có khối lợng (khối lợng phân bố của dầm
xem nh không đáng kể và tạm thời cha xét tới).
Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi
theo thời gian là P(t) (hình 1-1a).

s
cm
kN

Gọi
11


là chuyển vị theo phơng chuyển động tại điểm đặt khối lợng M
do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra.

1p
là chuyển vị tại điểm đặt khối lợng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại
điểm đặt của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra.
Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì tao có thể áp dụng đợc nguyên lý cộng tác dụng.
Lúc này chuyển vị y(t) của khối lợng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, do
lực kích thích P(t) và lục cản R cùng tác dụng gây ra.
Do đó ta có phơng trình sau:
RZtPty
P
)(.)(
11111




+
=

Hay


(1-1)
Trong đó:
MM




== 2;
1
11
2
(1-2)
Đó là phơng trình vi phân tổng quát của dao động cỡng bức có kể đến lực cản.
Trong các mục dới đây ta sẽ vận dụng phơng trình vi phân tổng quát này để
nghiên cứu dao động của hệ có một bậc tự do tơng ứng với các trờng hợp cụ thể khác nhau.
c)
x
P
(t)
m
(t)
y
a)
b)
1
1
R
Z=-My
y>0

khối lợng M.
t
B
t
A
v
t
y




cos
sin
)
(
+

=
=

(1-5)
Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) đợc xác định theo các điều kiện ban đầu:
Khi t=0 ;
0
yy =
và v=v
0
. Thay các điều kiện này vào các phơng trình (1-4) và (1-5)
ta xác định đợc:

=Tần số dao động là số lần dao động trong một giây:
)/1(
2
1
s
T
f


==

Do đó suy ra:
f.2


=
là số lần dao dao động trong

2
giây.

còn gọi là tần số vòng của
dao động riêng. Trong thực tế ta hay dùng

tần số vòng nên thờng gọi tắt

là tần số dao

.
1
3
1
.
3
11

==


Suy ra
Mg
P
Mg
EJ
l
y
Ole
t
)1(3
3

=

10
(t)
y
P=M.g
P=M.g

P=0,75kN (hình 1-4). Cho biết l=1m, dầm có tiết diện vuông mỗi cạnh là 4cm;
g=981
242
/10.1,2. cmkNEscm =
. Độ võng của điểm c dới tác dụng tĩnh của lực P đợc
xác định theo công thức sau:
P
EJ
l
y
t
3
.
256
3
=

Theo công thức (1.11) ta có:
1
3
4
6,70
75,0.100.3
3,21.10.1,2.256
.981

=== s
y
g
t

2
cm
. Tại thời gian đầu (lúc t=
0
t
) trọng tâm của khối
lợng lệch về bên trái một khoảng
0
y
=1,2cm đối với trục cân bằng của thanh và có vận
tốc chuyển động
smyv /8,1
00
=
=

, chuyển vị tĩnh tại đầu thanh do lực bằng đơn vị tác dụng
(bỏ qua ảnh hởng của uốn dọc):
kNcm
EJ
l
/025,0
2140.10.1,2.3
150
3
4
33
===




Biên độ dao động:
cm
v
yay
m
1,2
5,104
180
2,1
2
2
2
0
2
0
=






+=






Phơng trình dao động của thanh theo công thức (1-6) hoặc (1-9):
y=-1,2cos104,5+1,72sin104,5t
hay y=2,1sin(104,5t-0,61)
theo (1-15)
scmv
m
/2205,104.1,2 ==

theo (1-16)
22

/229505,104.1,2 scmy
ma
==

Lực quán tính:
kNy
g
P
yMZ
ma
ma
ma
00,845,104.1,2.
981
50,3
2


và
11
2
.
1


M
=

Phơng trình đặc trng của phơng trình vi phân (1-17) có dạng:

02
22
=++

SS

Nghiệm của phơng trình đặc trng này là:

22
2
22
1


=
+=
S
S


<

)
Các nghiệm của phơng trình đặc trng:

22
2
22
1


=
+=
iS
iS

nếu gọi
22
1

=

thì phơng trình (1-18) có dạng:
)(
11
21
titi
t
eCeCey




=

=

Tần số dao động:
)/1(
2
1
22
1
s
T
f


==
b) Trờng hợp lực cản lớn (

>

): Ta đặt
2
22



tsheay
t
(1-20)
Sau khi xác định
1
c
và
2
c
theo điều kiện ban đầu ta đợc:

)(
2
2
00
20
tsh
yv
tchyey
t





+
+=

(1-21)

1

n
y

1+n
y

2
m

3
m

1
m
H
ình
1
-
6

13
+ Khối lợng bắt đầu dao động từ
0
y
với vận tốc
0
v
hớng ra ngoài vị trí cân bằng

21
SS
.Vậy nghiệm của bài toán có dạng:
)(
21
CtCey
tt
+=


(1-22)
Chuyển động cũng không tuần hoàn và ta cũng có thể gặp một trong ba dạng
chuyển động nh trên.
ở
trên ta đã khảo sát dao động của khối lợng có lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc.
Các loại lực cản khác thờng ít gặp trong thực tế nên không nghiên cứu ở đây.

Hình 1-7

t

y

t

O



O

0
0
y
v

1
M

14
i4. DAO ĐộNG CƯỡNG BứC TRONG TRƯờNG HợP TổNG QUáT
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tròng hợp dao động có lực cản chịu kích thích bất kỳ
P(t) nào đó. Theo (1-1) phơng trình vi phân thiết lập cho trờng hợp tổng quát có dạng:)( 2
1
22

tPyyy
p

=++

Trớc tiên ta hãy nghiên cứu trờng hợp lực cản yếu (

<





++
(1-23)
Phơng trình chuyển động (1-23) gồm hai số hạng: Số hạng đầu là dao động lệch
0
y

so với vị trí cân bằng, số hạng sau là dao động do ảnh hởng của vận tốc ban đầu
0
v
.
Nếu ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hởng của lực kích thích P(t)
thì lực này sẽ làm cho chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa.
Hay có thể biểu diễn duới dạng tơng tự nh công thức (1-21), ta có:


++=

t
t
P
t
dtePtaey
0
1
)(
1
1

+
=
+
+=

Phơng trình (1-24) thích hợp với truờng hợp lực cản nhỏ (

<

). Đối với trờng hợp
lực cản lớn căn cứ vào các công thức (1-21); (1-23) ta có thể thiết lập đợc các phơng trình
chuyển động nh sau:
+Khi

<

. (Lực cản lớn)




++=

t
t
P
t
dtshePtsheay
0
22)(

22
).()()(


(1-26)
i5. DAO ĐộNG CƯỡNG BứC KHÔNG Có LựC CảN
CHịU LựC KíCH thíCH P(t)=Psinrt

1. Phơng trình dao động
Theo (1-1) phơng trình vi phân dao động có dạng:

)(
1
22

tPyy
p

=+

Trong 4 ta đã thiết lập công thức tổng quát của phơng trình dao động chịu lực kích
thích bất kỳ. Khi lực kích thích thay đổi tuần hoàn P(t)=Psinrt
Và không có lực cản; trong (1-26) thay P(t)=Psinrt và cho

=0 đồng thời chú ý là


=
1
ta sẽ đợc phơng trình dao động là nghiệm của phơng trình vi phân(1-17):

r
rt
r
rttr
r








=

=

Thay kết quả này vào phơng trình trên và theo(1-26) ta đợc:

)sin(sin
1
.
sin
2
2
1
0
0
t
r

sin
1
.
sin
1
.
sin
2
2
1
2
2
1
0
0










+

++=
(1-27)
Tần số trong ba số hạng đầu của công thức (1-27) đều giống tần số dao động tự do của hệ,





=
(1-28)
Ta thấy P.
p1

=
*
y
(hình1-12) là chuyển vị tại khối lợng M do biên độ P của lực
kích thích tác dụng tĩnh gây ra, nên:
)sin(sin
1
1
2
2
*
t
r
rt
r
yy







2. Hệ số động.
Từ (1-29) ta suy ra:
)sin(sin
1
1
2
2
*
t
r
rt
r
y
y
K
d





==
(1-31)
Ta hãy nghiên cứu hệ số động
d
K
trong trờng hợp giới hạn khi

=

=














=
=
Hình 1-9
Ta thấy hệ số động sẽ tăng lên vô hạn theo thời gian; đờng biểu diễn của hàm này
vẽ trên hình 1-9. Qua đồ thị ta thấy ngay trong trờng hợp không kể đến lực cản, khả
năng tăng biên độ dao động lên vô hạn không xả ra tức thời mà đòi hỏi phải có thời gian
nhất định. Nh vậy, đối với máy đợc thiết kế để làm việc trên miền cộng hởng sẽ
không gặp trở ngại gì khi cho máy tăng tốc qua miền cộng hởng nếu thời gian vợt qua
đủ nhanh để sao cho hiện tợng rung động lớn do công hởng cha kịp xảy ra theo (1-30),
biên độ lớn nhất của chuyển vị động xuất hiện khi

;1sin =rt

t

0

tt

cos
2
1

t

sin
2
1

d
K

t

2
1



2

17
Đờng biến thiên của hệ số động


r
thì hệ số
d
K
cũng rất lớn, nên thờng phải hết sức tránh.
Để tránh hiện tợng cộng hởng ta phải thiết kế công trình để sao cho các tần số

và r
sai kém nhau tố thiểu là 25%.

i 6. DAO ĐộNG CƯỡNG BứC Có LựC CảN CHịU LựC KíCH THíCH P
(t)=P.Sinrt
1. Phơng trình dao động
Trong trờng hợp này hệ dao động với
0


, nên có thể dùng nghiệm là dới dạng
tổng quát.





drte
P
tBtAey
t
t

21
yy
+
(1-36)

Trong đó
1
y
là nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất và cũng là
nghiệm của phơng trình vi phân trong trờng hợp dao động tự do.
Khi lực cản nhỏ, nghiệm này có dạng:
Aey
t
(


=
cos
t
1

+Bsin
t
1

) (1-37)
với
22
1


2)(
22
1
222
=+
=
CrrD
PCrDr
p



Suy ra:
22222
)22
1
2
22222
1
2
4)(
(.
4)(
2
rr
rP
D
rr
tP
C

sincos
+

Số hạng thứ nhất của vế phải chứ nhân tử
t
e


, biểu diễn dao động tự do tắt dần, đã đợc
khảo sát ở trên. Hai số hạng còn lại có cùng tần số với lực kích động, biểu diễn dao động
cỡng bức. Ta có thể viết nghiệm dới dạng tổng quát:

Aey
t
(


=
cos
t
1

+Bsin
t
1

)+


rta sin(

2
2
2
*













+









= rt
rr
y

b
ức

Dao
động
to
àn
ph
ần

t

H
ình
1
-
11

19
2. Hệ số động

Từ phơng trình (1-40) ta có:







++







(1-42)
Trong đó:



2
=

Gọi: T- chu trình dao động riêng không kể lực cản


=
2
T

P
T
-chu kì của lực kích thích
r
T
P

=
2

T
T
T
T
K
t
PP
d







(1-43)
Trong thời kỳ ổn định không còn dao động riêng, hệ số động có dạng:

)sin(
)()1(
1
2
2
22
2
2



+


+
=


(1-45)
i
7.
DAO ĐộNG CƯỡNG BứC CủA Hệ MộT BậC Tự DO
CHịU LựC KíCH THíCH Có CHU Kì Trong các phần khảo sát trớc đây về dao động
cỡng bức, ta đã giả thiết lực kích thích là đơn điều hoà
và tỷ lệ với sinrt. Trong trờng hợp chung lực kích
thích có thể là một hàm phức tạp hơn của thời gian.
Trên hình 1-28 cho ta một Ví dụ về lực kích thích P(t)
có chu kỳ. Trong kỹ thuật thờng hay gặp lực kích
thích có chu kỳ, cho nên việc nghiên cứu trờng hợp
này có ý nghĩa quan trọng. Ta có thể biểu diễn lực
kích thích có chu kỳ T dới dạng chuỗi lợng giác:
2sinsin 2coscos)(
21210
+
+
+
+




=
=
T
T
dttP
T
a
irtdttP
T
a
0
0
0
1
)(
1
cos).(
2

Thay lực P(t) vào phơng trình vi phân tổng quát (1-1) của chuyển động:



=
++=++
1
1


<

(trờng hợp lực cản nhỏ).

)sincos(
111
tBtAey
t


+=

. Trong đó
22
1

=
tần số dao động khi có lực cản.
Nghiệm riêng của phơng trình có vế phải có dạng:


=
++=
1
02
)sincos(
i
ii
irtDirtCCy

1
2222
010
4)(
2)(
4)(
.2)(
riri
irabri
D
riri
irbari
C
aC
Pii
i
Pii
i
P





(1-48)
Vậy nghiệm toàn phần của phơng trình vi phân của dao động cỡng bức một bậc
tự do khi lực cản nhỏ, viết dới dạng:




Trong đó:
01
2
0
ah

=
;
22
1
2
iiPi
bah +=

;
i
i
i
b
a
tg =


Lúc này, nghiệm của (1-49) có dạng:



=

++++=



Các phơng trình (1-84); (1-85) gồm có 3 số hạng; số hạng đầu là hằng số chuyển vị
gây ra bởi trị số trung bình
0
a
của lực kích thích so với vị trí cân bằng của hệ. Số hạng
thứ hai biểu thị ảnh hởng của dao động tự do có lực cản. Số hạng thứ ba biểu thị ảnh hởng
của lực kích thích có chu kỳ đã đợc phân tích thành các lực điều hoà riêng rẽ. Khi dao động
đã ổn định, ta chỉ cần xét số hạng cuối biểu thị ảnh hởng của dao động cỡng bức:



=
+=
1
*
)sin(
i
ii
irtay

(1-51)
Trong đó
)(;
*
ii
irta

+

i
; (ir.t+

i) là biên độ và pha của lực kích thích ứng với tần số ri=ir (i=1,2 )
của lực đó. Sau đây ta tìm biên độ của dao động
*
i
a
và độ lệch pha giữa lực kích thích với
dao động cỡng bức:
2222222
22*
4)( riri
h
DCa
i
iii

+
=+
(1-53)

iiii
iiii
ii
ii
iii
DbCa
CbDa
tgtg

222
1
2
010
;
r
i
b
D
r
i
a
C
aC
iP
i
iP
i
P

=

=
=







22
1
2
++

++

+ rtbrta
r
rtbrta
r
PP





Khi có lực cản dù chỉ là rất nhỏ phần dao động riêng sẽ tắt dần theo thời gian, nên
thực tế có thể bỏ qua.
Rõ ràng là nếu tần số dao động riêng

trùng với tần số của một trong số những
bậc điều hoà riêng rẽ của lực kích thích thì số hạng tơng ứng của y(t) sẽ tăng lên vô cùng và
xảy ra hiện tợng cộng hởng. Vậy khi lực kích thích biến đổi có chu kỳ, nhng không theo
luật điều hoà, thì sự cộng hởng không những sảy ra khi

= r mà cả khi

là bội của r.


Các lực kích thích q(t), P(t), M(t);
Các lực quán tính do các khối lợng m
k
dao động: Z
k
= - m
k
y
k
(t);
Các lực cản đặt tại các khối lợng: R
k
(t) (hình 2-1).
Theo nguyên lý đalămbe, ta viết đợc phơng trình chuyển động của các khối lợng:
y
k
(t) =

k1
[Z
1
(t) R
1
(t)] +

k2
[Z
2
(t) R
2

k
= 0 (coi nh bài toán tĩnh).
Thay biểu thức của các lực quán tính v ào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có:
y
k
(t) -

k1
[- m
1
y
1
- R
1
(t) ] -

k2
[- m
2
y
2
- R
2
(t) ] -



kn
[- m
n

[m
n
y
n
(t) + R
n
(t)] -
kP
(t) = 0
(k = 1,2, ,n)
Đó là phơng trình vi phân tổng quát của dao động hay còn gọi là phơng trình
chính tắc của hệ có n bậc tự do dùng để xác định các chuyển v ị độn.
Nếu không kể tới lực cản, hệ phơng trình (2-2) có dạng:
y
k
(t) +

k1
m
1
y
1
(t)+

k2
m
2
y
2
(t) +

= 0), từ phơng trình (2-3) ta suy ra phơng trình vi phân
của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do nh sau:
y
k
(t) + m
1

k1
y
1
(t) +

+

kn
m
n
y
n
(t) -
kP
(t) = 0 (k= 1,2,

,n) (2-4)
Giả sử nghiệm tổng quát của hệ (2-4) có dạng:
y
k
(t) =

=

2i
(t) = y
2i
. F
i
(t) (2-7)
y
ni
(t) = y
ni
. F
i
(t)

m
2
m
1
m
n
m
i
y
y
y
1
k
n
k
i

i
(t) = 0
Hay:
(t)F
)(F
i
i
t


= -
niknnkii
ki
ymym
y

+
11
(2-8)
Vế trái của (2-8) phụ thuộc t còn vế phụ thuộc vị trí và trị số của các khối lợng.
Nh vậy mỗi vế của đẳng thức này là một đại lợng không đổi và đợc ký hiệu là

w
i
2
.
vì dao động riêng là dao động điều hòa nên ở đây phải đặt là - w
i
2
. Do đó từ (2-8)

ni
- y
ki
(2-10)
Phơng trình (2-9) có dạng nh phơng trình vi phân dao động của hệ có một bậc
tự do (xem chơng 1) nên có nghiệm: F
i
(t) = A
i
sin

i
t + B
i
cos

i
t
Hay F
i
(t) = A
i
*
sin (

i
t =

i
) (2-11)

:
m
1


11

i
2

y
1i
+ m
2


12

i
2
y
2i
+

+ m
n


1n



+ m
n


2n

i
2

y
ni
- y
2i
= 0

.
m
1


n1

i
2

y
1i
+ m
2


i
2
- 1)

y
1i
- m
2


12

i
2
y
2i
+

+ m
n


1n

i
2

y
ni

2
y
ni
= 0 (2-12)

.
m
1


n1

i
2
y
1i
+ m
2


n2

i
2
y
2i
+

+ (m
n

)

y
1i
+ m
2


12
y
2i
+

+ m
n


1n
y
ni
= 0
m
1


21
y
1i
+ (m
2

22
- u
i
) y
2i
+

+ m
n


2n
y
ni
= 0
Hệ phơng trình (2-12) và (2-13) là hệ phơng trình thuần nhất đối với các ẩn số chuyển vị
y
1i
, y
2i
,

, y
ni
.
Đó là phơng trình cơ bản của dao động riêng. Tự hệ này ta xác định đợc trị số
của các tần số dao động riêng và phơng trình dao động riêng. Ta thấy ngay nghiệm tầm thờng
với y
1i
= y

1n

i
2

D = m
1


21

i
2
(m
2

22

i
2
- 1)

m
n


2n

i
2

i
2
(m
1


11
- u
i
) m
2


12


m
n

1nhay D = m
1


21


. (m
n


nn
- u
i
) Định thức này chính là phơng trình bậc n đối với u
i
. Từ phơng trình này ta xác định
đợc n nghiệm thực u
1
,u
2
, ,u
n
; tơng ứng với các nghiệm đó .Ta đã suy ra một phổ của
các tần số dao động riêng:

1,


2,
,

n

1i
A
i
*
sin (

i
t +

i
)
y
2i
(t) = y
2i
A
i
*
sin (

i
t +

i
)

(2-16)
y
ki
(t) = y

y
k
(t) =

=
+
m
i
iiiki
tAy
1
*
)sin(.

(2-17)
Đặt
à
ki =
i
ki
y
y
1

(2-18)
Trong đó k = 1,2, ,n chỉ thứ tự khối lợng (m
k
) i = 1,2, ,n chỉ thứ tự tân số riêng

i

à
sin(
ii
t

+
) (2-20)
C
i
= y
1i
.A
i
*

Đó là phơng trình tổng quát của dao động tự do tại khối lợng m
k
; trong đó các
đại lợng
iiki
C

,,
xác định nh sau:
a)

Xác định các tỷ số chuyển vị
à
ki
=

1
2
+

+ m
n


1n

i
2
i
ni
y
y
1
= 0
m
1

21

i
2
+ (m
2


22


21

i
2
+ m
2


n2

i
2

i
i
y
y
1
2
+

+ (m
n

nn

i
2
- 1)


1n

i
2

à
ni
= 0
m
1


21

i
2
+ (m
2


22

i
2
- 1)
à
2i
+


n


nn

i
2
- 1)
à
ni
= 0