CHƯƠNG 1 : KHÁI NIỆM CHUNG
§1.1. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI - MỘT NHÁNH CỦA CƠ HỌC VẬT
RẮN BIẾN DẠNG:
Cơ học vật rắn biến dạng là một ngành học lớn, nghiên cứu sự làm
việc của vật rắn về mặt cơ học như trạng thái ứng suất, trạng thái chuyển vị
và biến dạng…dưới các tác dụng bên ngoài (tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ,
sự chuyển vị cưỡng bức…
Do các đối tượng nghiên cứu, đều kiện làm việc và mức độ yêu cầu
nghiên cứu khác nhau nên trong quá trình phát triển, ngành học lớn này chia
thành nhiều môn học riêng như sau:
1.Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu: (đàn hồi ứng dụng trong kỹ thuật):
Chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh. Trong quá trình tính toán đã
đưa ra các giả thiết để đơn giản việc nghiên cứu từ đó có những kết quả tiện
lợi trong vấn đề tính toán.
2. Lý thuyết đàn hồi : Nghiên cứu các vật rắn đàn hồi có hình dạng bất kỳ.
3. Các lý thuyết khác :
- Lý thuyết dẻo: Nghiên cứu sự làm việc của vật liệu ở giai đoạn biến
dạng dẻo, sự hình thành biến dạng dẻo và các ứng suất tương ứng.
- Lý thuyết từ biến: Nghiên cứu sự biến đổi theo thời gian của ứng
suất và biến dạng của kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực ban đầu (kể cả
trường hợp ngoại lực không thay đổi theo thời gian).
- Lý thuyết lưu biến (Nghiên cứu về sự chảy của vật chất): Nghiên
cứu những định luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo
thời gian của vật chất do những nguyên nhân khác nhau trong những điều
kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau.
Nhìn chung các môn học này đều có đối tượng và phương pháp
nghiên cứu khác nhau nhưng mang tính tương đối. Trong thực tế ranh giới
giữa các môn học này nhiều khi bị xóa bỏ và xâm nhập lẫn nhau.
§1.2. NỘI DUNG, ĐỐI TƯỢNG VÀ CÁC GIẢ THIẾT CỦA LÝ
THUYẾT ĐÀN HỒI
1. Nội dung: Nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật

dạng là bậc nhất cho phép ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng khi giải các
bài toán.
§1.3. NỘI LỰC - ỨNG SUẤT - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU
1. Khái niệm nội lực :
Trong vật lý, giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn tồn tại
các lực tương tác. Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực như tải trọng, sự
thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị cưỡng bức các lực tương tác này cũng sẽ
thay đổi. Lượng thay đổi của các lực tương tác giữa các phần tử của vật thể
được gọi là nội lực.
2. Phương pháp mặt cắt, ứng suất và hệ thống các ký hiệu :
- Phương pháp mặt cắt (Đã nghiên cứu trong SBVL và CHKC): là
phương pháp làm xuất hiện và để tính các nội lực.
Nếu ký hiệu
n

là pháp tuyến ngoài của mặt cắt tại điểm M thì cường độ
phân bố nội lực tại điểm M được ký hiệu là
n
P

và gọi là ứng suất toàn phần.
Định nghĩa: Ứng suất toàn phần
n
P

là nội lực trên một đơn vị diện tích dF có
25
M
x
y

Biểu thức định nghĩa :
dF
Pd
P
n


=
Pd

: Tổng nội lực trên diện tích vô cùng bé dF chứa điểm M thuộc
mặt cắt S nên ứng suất toàn phần là một hàm chứa các biến là M và
n

:
),( nMP
n


* Các cách ký hiệu của ứng suất toàn phần:
a. Trong hệ tọa độ Descartes :
321
ePePePP
nznynxn


++=
.
b. Trong Sức bền vật liệu:
ntnn

F
y
x
Pn
Pny
Pnx
Pnz
M(x,y)
z
n
M
n
Pn
t
z
y
x
σ
*
x
>0
σ
x
>0
τ
xy
>0
τ
*
xy

*Trên mặt cắt vuông góc trục z : σ
z
, τ
zx
, τ
zy
.
*Quy ước về dấu của các thành phần ứng suất :
- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều dương của các trục tọa
độ tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục
tọa độ tương ứng thì ứng suất là dương.
- Nếu pháp tuyến của mặt cắt hướng theo chiều âm của các trục tọa độ
tương ứng, chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tọa độ
tương ứng thì ứng suất là dương.
- Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm.
§1.4. CHUYỂN VỊ - BIẾN DẠNG - HỆ THỐNG CÁC KÝ HIỆU
1. Chuyển vị :
a. Khái niệm: Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của các phần tử vật chất
trong vật thể khi vật thể bị biến dạng.
b. Các thành phần chuyển vị và ký hiệu :
Hình 1.1
27
Xét điểm M(x,y,z) trong vật thể V
Sau khi vật thể biến dạng M(x,y,z) chuyển thành M
1
(x
1
, y
1
, z

Định nghĩa: Biến dạng dài tương đối, ký hiệu ε
n
, là tỷ số
ds
ds
n
−
=
1
ds
ε
Ý nghĩa: Biến dạng dài tương đối là biến dạng của một đơn vị chiều
dài, có một chỉ số chỉ phương của biến dạng.
Do đó biến dạng dài tương đối theo các phương x, y, z trong hệ tọa độ
Descartes là : ε
x
, ε
x
, ε
z
.
• Biến dạng góc :
Xét góc vuông PMN
Sau biến dạng PMN trở thành P
1
M
1
N
1
Định nghĩa: Biến dạng góc, ký hiệu γ

zx
.
• Biến dạng thể tích tương đối :
28
Xét phân tố có thể tích dV sau biến dạng trở thành dV
1
.
Định nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối, ký hiệu θ, là tỷ số : θ=
dV
dVdV −
1

Ý nghĩa: Biến dạng thể tích tương đối là lượng thay đổi thể tích của
một đơn vị thể tích.
*Các hàm ε, γ, θ là hàm của các biến x,y,z:
ε = ε(x,y,z)
γ = γ(x,y,z)
θ= θ(x,y,z)
Theo giả thiết biến dạng bé ta có: /ε/<< 1, /γ /<< 1, /θ / << 1
Ý nghĩa : Có thể bỏ qua tích của biến dạng so với biến dạng và so với
1.
* Qui ước dấu của các thành phần biến dạng
- ε
x
, ε
y
, ε
z
> 0 khi chiều dài đang xét dãn dài ra. Ngược lại < 0.
- γ

dx dx
a
b
b
a
Phần tử loại 1
Phần tử loại 2
trưng bởi cường độ f và là lực trong một đơn vị thể tích, có hình chiếu lên 3
trục tọa độ x, y, z là: f
x
, f
y
, f
z
.
* Lực diện tích (lực bề mặt): Là lực tác dụng trên một phần hay trên
toàn bộ bề mặt giới hạn của vật thể, được đặc trưng bởi cường độ f
*
và là lực
trên một đơn vị diện tích, có hình chiếu lên ba trục tọa độ x, y, z là f
*
x
, f
*
y
, f
*
z
.
Dưới những tác dụng này, vật thể nằm ở trạng thái cân bằng tĩnh hoặc

P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z)
Q(x,y,z+dz)
dx
x
x
x
∂
∂
+
σ
σ
dx
x
xy
xy
∂
∂
+
τ
τ
dx
x
xz
xz
∂
∂
+
τ
τ

+τ
∂
τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ

Tương tự:
• Hai mặt vuông góc với trục y:
+ Mặt đi qua điểm M(x,y,z) có ứng suất : σ
y
, τ
yx
, τ
yz
+ Mặt đi qua điểm P(x,y+dy,z) có các ứng suất :
dy
y
;dy
y
;dy
y
yz
yz
yx
yx
y
y
∂

+τ
∂
τ∂
+τ
∂
σ∂
+σ
2. Phương trình cân bằng:
Dưới tác dụng của ngoại lực, giả sử phần tử đang xét nằm ở trạng thái cân
bằng, các phương trình cân bằng được thỏa mãn :
0dxdydzfdxdy)dz
z
(
dxdz)dy
y
(dydz)dx
x
(0X
x
zx
zxzx
yx
yxyx
x
xx
=+
∂
τ∂
+τ+τ−+
+

τ
τ
τ
yx
τ
xy
Sau khi rút gọn và cũng thực hiện tương tự cho các phương trình ∑Y = 0 ;
∑Z=0, ta sẽ nhận được 3 phương trình vi phân cân bằng như sau :
.)
t
w
(.0f
zyx
;)
t
v
(;0f
zyx
;)
t
u
(;0f
zyx
2
2
z
z
yz
xz
2

τ∂
∂
∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
(2.1)
Với
ρ
: mật độ khối lượng của vật thể.
+ Trong trường hợp cân bằng tĩnh: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng 0.
+ Trong trường hợp cân bằng động: vế phải của hệ (2.1) sẽ bằng các
lượng trong dấu ngoặc; u, v, w là các thành phần chuyển vị của phần tử vật
chất tại điểm M theo 3 phương x,y,z. Lượng trong dấu ngoặc nếu đổi dấu thì
chính là các lực quán tính của một đơn vị thể tích chiếu lên ba phương của
các trục tọa độ.
Hệ phương trình (2.1) được gọi là phương trình cân bằng tĩnh học
NAVIER- CAUCHY.
2.1.3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp :
* Từ phương trình cân bằng môment của phân tử đối với các trục tọa độ ta
sẽ được định luật đối ứng của các ứng suất tiếp.
(Hình.2.3)
Xét phương trình cân bằng ∑Mz = 0
Để đơn giản ta đặt tọa độ ban đầu ở tâm hình lập phương.

y
x
f*
x
f*
y
z
f*
σ
y
σ
z
σ
x
τ
xy
τ
xz
τ
zx
τ
yx
τ
yz
τ
zy
Bỏ qua các vô cùng bé bậc 5
2
dy
dydxdz

nhau nhưng ngược chiều .
(Hình.2.4)
2.1.4. Phương trình điều kiện biên theo ứng suất :
Đây chính là điều kiện cân bằng của các phân tử loại 2.Trong trường
hợp tổng quát, phân tử này là khối tứ diện, có ba mặt vuông góc với các trục
tọa độ và nằm ở bên trong vật thể, có diện tích lần lượt là dS
x
, dS
y
, dS
z
. Mặt
còn lại là mặt ngoài của vật thể có diện tích dS có pháp tuyến
n

với cosin
chỉ phương l,m,n.
(Hình 2.5)
l = cos (
xn

,
) =
dS
dSx
33
a
a
a
a

x
, f
*
y
,f
*
z
) trên diện tích dS
- Nội lực :
+ Mặt vuông góc trục x, ký hiệu dS
x
có các ứng suất : σ
x
, τ
xy
, τ
xz.
+ Mặt vuông góc trục y, ký hiệu dS
y
có các ứng suất : σ
y
, τ
yx
, τ
yz
.
+ Mặt vuông góc trục z, ký hiệu dS
z
có các ứng suất : σ
z

Tương tự:
*
zzyzxz
*
yzyyxy
*
xzxyxx
fnml0Z
)3.2(fnml0Y
fnml
=σ+τ+τ⇔=Σ
=τ+σ+τ⇔=Σ
=τ+τ+σ
Hệ phương trình (2.3) là điều kiện cân bằng của phần tử loại hai, được gọi là
hệ phương trình điều kiện biên theo ứng suất.
2.1.5. Kết luận:
1. Về mặt cơ học: Hệ phương trình (2.1) và (2.3) biểu diễn mối quan
hệ giữa nội lực và ngoại lực là điều kiện cân bằng của toàn bộ vật thể.
2. Về mặt toán học:
Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình vi phân đối với các ẩn số
ứng suất, khi tích phân sẽ có các hằng số tích phân.
Còn hệ phương trình (2.3) là điều kiện để xác định các hằng số tích
phân ấy.
34
σ
y
σ
z
σ
x

Để tìm ứng suất tại điểm M(x,y,z) trên mặt cắt nghiêng có pháp tuyến
n

với các côsin chỉ phương l,m,n. Ta xét cân bằng của phần tử tứ diện lấy tại
điểm M(x,y,z), phần tử có ba mặt vuông góc với các trục tọa độ, trên đó có
các ứng suất
τσ
,
(như H.2.6). Mặt thứ tư của phân tử là mặt nghiêng có ứng
suất toàn phần
n
P
, các hình chiếu của nó lên 3 trục tọa độ x,y,z là P
nx
, P
ny
,
P
nz
.
Hình 2.6
Ba hình chiếu này giữ vai trò tương tự như lực bề mặt
*
z
*
y
*
x
f,f,f
khi













σττ
τστ
ττσ
=










⇔
σ+τ+τ=
τ+σ+τ=
τ+τ+σ=

++=
)e.Pe.Pe.P(chPch
3nz2ny1nx
n
n
n
n

++==σ

n.Pm.Pl.P
nznynxn
++=σ
(2.6)
Thay (2.4) vào (2.6) ta có:
)7.2()nl.mn.lm.(2n.m.l.
zxyzxy
2
z
2
y
2
xn
τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ
2. Ứng suất tiếp :
Trị số ứng suất tiếp Tnt trên mặt cắt nghiêng được tính theo công thức
:
2
n
2222











σττ
τστ
ττσ
=
σ
zyzzx
xzyxy
zxyxx
T
Tenxơ ứng suất là một tenxơ hạng 2 đối xứng vì theo định luật đối
ứng của ứng suất tiếp ta có
zxxzzyyzyxxy
;; τ=ττ=ττ=τ
, vậy tenxơ ứng
suất có 6 thành phần độc lập.
2.2.5. Tenxơ lệch ứng suất và Tenxơ cầu ứng suất :
Tenxơ ứng suất có thể chia thành Tenxơ lệnh ứng suất D
σ
và Tenxơ
cầu ứng suất T

ττσ−σ
=










σττ
τστ
ττσ
o
tbyz
tb
tb
tbzyzzx
xztbyxy
zxyxtbx
zyzzx
xzyxy
zxyxx
TDT
0
00
00
a

n = cos (n , z)
37
Trên mặt chính ứng suất toàn phần
n
P
sẽ có phương vuông góc với
mặt chính và có giá trị
nn
P
σ
=
.
Do đó hình chiếu P
nx
, P
ny
, P
nz
của P
n
lên các trục x, y, z là :
P
nx
= σ
n
.l
P
ny
= σ
n

Để hệ (2.10) có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số
phải bằng không:
)12.2(0
)(
)(
)(
Det
nzyzzx
xznyxy
zxyxnx
=










σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính
n
σ
:
0III
3n2

2
, I
3
trong phương trình tìm ứng suất chính là những giá
trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất,
bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái ứng suất tại một điểm.
- Giải phương trình bậc 3 (2.13) ta nhận được ba giá trị ứng suất
chính, các giá trị này đều là thực, kí hiệu lần lượt là
321
;;
σσσ
và theo qui ước
321
σσσ
>>
.
- Phương chính : sau khi đã có các ứng suất chính
321
;;
σσσ
ứng với
mỗi
i
σ
sử dụng hệ phương trình (2.10) và phương trình (2.11) để tìm cosin
chỉ phương l
i
, m
i
, n

1
00
00
00
T
Các bất biến của trạng thái ứng suất chính :





σσσ=
σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
3213
1332212
3211
I
I
I
Tùy theo giá trị của các ứng suất chính, ta phân loại trạng thái ứng
suất thành trạng thái ứng suất đơn; trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái
ứng suất khối.
39
y
z
x
M N
QP
α

u
u
∂
∂
+
dx
x
u
u
∂
∂
+
CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
§3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN
DẠNG
Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến
dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình
chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ.
(Hình 3.1)
+ Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với
các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M
1
N
1
Q
1
P
1
.

, ε
y
.
- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là γ
xy
= α+β.
Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /ε
x
/<< 1; /ε
y
/<< 1; /α/ << 1; /β/ <<
1
Sử dụng các công thức gần đúng :
1cos;1cos
tgsin;sintg
≈β≈α
β≈β≈βα≈α≈α
3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :
Ta có :
MN
MNNM
11
x
−
=ε
(a)
Trong đó : MN = dx
M
1
N

x
u
1(
MN
MNNM
)a(
11
x
∂
∂
=
−+
∂
∂
+
=
−
=ε⇔

Tương tự ta có :
y
v
y
∂
∂
=ε
(b)
41
3.1.2.Tính biến dạng góc: γ
xy

∂
∂
+
∂
∂
=
x
1
x
v
ε+
∂
∂
Theo giả thiết biến dạng bé ta có ε
x
<< 1 có thể bỏ qua ε
x
so với 1
 α =
x
v
∂
∂
Tương tự β =
y
u
∂
∂
=> γ
xy

∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=γ
∂
∂
=ε
x
w
z
u
;
z

x
dy
dx
dz
M
y
z
x
M1
K1
3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương
x,y,z. Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?
(Hình 3.3)
Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo
phương n với các cosin chỉ phương là l,m,n.
Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz.
l = cos (
x,n


) =
ds
dx
cóntoVéc

m = cos (
y,n



u
∂
∂
.dz
dv =
x
v
∂
∂
.dx +
y
v
∂
∂
.dy +
z
v
∂
∂
.dz
dw =
x
w
∂
∂
.dx +
y
w
∂
∂

+ Chiều dài vi phân ds
1
sau biến dạng:
ds
1
2
= (dx+du)
2
+ (dy+dv)
2
+ (dz+dw)
2

(c)
Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu ε
n
là :
ε
n
=
ds
dsds
1
−
=
ds
ds
1
- 1
 (ε

(Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua ε
n
2
so với ε
n
)
Tính ds
1
2
= [dx + (
x
u
∂
∂
.dx +
y
u
∂
∂
.dy +
z
u
∂
∂
.dz)]
2
+
+ [dy + (
x
v

.dz)]
2
. (e)
Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao
(
x
u
∂
∂
.dx+
y
u
∂
∂
.dy+
z
u
∂
∂
.dz)
2
;(
x
v
∂
∂
.dx+
y
v
∂

∂
;
y
v
∂
∂
;
z
w
∂
∂
(vì theo giả thiết biến dạng bé
x
u
∂
∂
;
y
v
∂
∂
;
z
w
∂
∂
<< 1) và rút
gọn :
(e)  ds
1

.dxdy +
y
v
∂
∂
.dy
2
+
z
v
∂
∂
.dydz) +
+ (
x
w
∂
∂
.dxdz +
y
w
∂
∂
.dydz +
z
w
∂
∂
.dz
2

y
v
∂
∂
.dy
2
+
z
v
∂
∂
.dydz) +
+ (
x
w
∂
∂
.dxdz +
y
w
∂
∂
.dydz +
z
w
∂
∂
.dz
2
)].

z
v
ds
dy
.
y
v
ds
dxdy
.
x
v
ds
dxdz
.
z
u
ds
dxdy
.
y
u
ds
dx
.
x
u
2
2
22

∂
+
∂
∂
=ε⇔

Thay
ds
dz
n;
ds
dy
m;
ds
dx
l ===
và biểu thức (3.1) vào ε
n
:
⇒ ε
n
= ε
x
.l
2
+ ε
y
.m
2
+ ε




++
nl
zx
mn
yz
lm
xy
222
γγγ
Đặt
xy
xy
γ
γ
=
2
;
yz
yz
γ
γ
=
2
;
zx
zx
γ

[ ]
nml











εγγ
γεγ
γγε
zyzxz
zyyxy
zxyxx










n

ε

Và được biểu diễn : T
ε
=










εγγ
γεγ
γγε
zyzxz
zyxxy
zxyxx
II. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng :
45
Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2
là tenxơ lệch biến dạng Dε và Tenxơ cầu biến dạng T
0
ε.




tbzyzx
yztbyx
xzxytbx
z
y
+










ε
ε
ε
tb00
0tb0
00tb
T
ε
= D
ε
+ T
0
ε
.

1
> ε
2
> ε
3
.
Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác
định từ phương trình sau :
0
)(
)(
)(
Det
nz
yzzx
zy
ny
xy
zxyx
nx
=










)(J
J
2
xy
z
2
zx
y
2
yz
x
zxyzxy
zyx3
zxyzxy
xzzyyx2
zyx1
(3.9)
Các hệ số J
1
, J
2
, J
3
trong phương trình tìm biến dạng chính là những
giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ
nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một
điểm.
Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là
thực.
* Tìm phương biến dạng chính :

=γ+ε−ε+γ
=γ+γ+ε−ε
Và phương trình: l
2
+ m
2
+ n
2
= 1 (3.11)
Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng
chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3.
Tenxơ biến dạng chính được viết là :










ε
ε
ε
=
ε
3
2
1

γ
xy
=
y
u
x
v
∂
∂
+
∂
∂
ε
y
=
y
v
∂
∂
γ
yz
=
z
v
y
w
∂
∂
+
∂

liên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant.
Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w
trong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier.
I. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :
2
2
2
2
2
2
2
22222
.
xyy
v
xx
u
yx
v
yxy
u
yxx
v
y
u
yx
xy
yx
y
x



∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂∂
∂
ε
ε
γ
Tương tự ta có :
zxzx
zyyz
yxxy
zxx
z
yz
z
y
xyy
x
∂∂
∂
=
∂

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)12.3(

48