Trờng đại học Bách KHOA

ể ( ễ bài giảng
cơ học đại cơng - Mécanique générale
(CƠ Học vật rắn dao động và sóng cơ)
dùng cho sinh viên chơng trình đào tạo kỹ s chất lợng cao

(LƯU HàNH NộI Bộ) Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng


Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng Chổồng ọn tỏỷp:

MĩT S KHAẽI NIM VAè ậNH LYẽ C BAN
CUA ĩNG HOĩC VAè ĩNG LặC HOĩC H CHT

Đ1. Hồỹp vỏỷn tọỳc - Hồỹp gia tọỳc :
Xeùt hóỷ quy chióỳu (R
2
) chuyóứn õọỹng tổồng õọỳi so vồùi hóỷ quy
chióỳu (R
1
). Goỹi vaỡ
1111
(; , , )
xyz
Oe e e

2222
(; , , )
xyz
Oe e e


laỡ hai hóỷ
toỹa õọỹ Descartes lỏửn lổồỹt gừn lióửn vồùi (R
1
) vaỡ (R

22
/1
() .
y
xz
R
de
te
dt

=





Suy ra : 2
2/ 1 2
/1
x
R
Rx
R
de
e
dt


22
/1
() .
z
yx
R
de
te
dt

=





2
2/ 1 2
/1
y
R
Ry
R
de
e
dt

=
ì


de
e
dt

=
ì






Vectồ õỷc trổng cho chuyóứn õọỹng quay cuớa hóỷ (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ (R
1
) vaỡ õổồỹc goỹi laỡ vectồ
quay keùo theo.
2/ 1RR


b) Trổồỡng hồỹp (R
2
) chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn tổồng õọỳi so vồùi (R
1
) :

Ta coù :
=



2
/1
0
z
R
de
dt

=




O
1
z
1
y
1
1
()
R
z
2
x
2
O
2
2

vO
õỷc trổng cho chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn cuớa hóỷ (R
2
) so vồùi hóỷ (R
1
).
dt

=




b) Trổồỡng hồỹp hóỷ (R
2
) quay tổồng õọỳi xung quanh mọỹt truỷc cọỳ õởnh cuớa hóỷ (R
1
):
Giaớ sổớ hóỷ quy chióỳu (R
2
) quay xung quanh truỷc cọỳ õởnh (O
1
z
1
)
cuớa hóỷ quy chióỳu (R
1
) vaỡ giaớ sổớ O
1
= O


x
2
Vectồ quay cuớa hóỷ quy chióỳu (R
2
) õọỳi vồùi hóỷ quy chióỳu (R
1
) :

R2/R1 1
.
z
e

=




)
Trong õoù :
12 12
(, )(,
xx yy
OO OO

==

y
2


coù phổồng chióửu thay õọứi theo thồỡi gian.
2) aỷo haỡm cuớa mọỹt vectồ trong hóỷ (R
1
) vaỡ trong hóỷ (R
2
):

Xeùt mọỹt veùctồ
Ut

phuỷ thuọỹc vaỡo thồỡi gian t vaỡ õổồỹc mọ taớ trong cồ sồớ
(,
()
222
,)
xyz
eee


cuớa hóỷ (R
2
)
nhổ sau :
22 22 22
() . . .
x
xyyz
Ut U e U e U e=++
z


e




aỷo haỡm cuớa
Ut

trong hóỷ (R
1
) :
()

2/ 1
/1 /2
RR
RR
dU dU
U
dt dt

=
+ ì







vaỡ chuyóứn õọỹng vồùi
vỏỷn tọỳc
/1
()
R
vM

trong hóỷ quy chióỳu (R
1
) :
1
1
1
/
/
()
R
R
dOM
vM
dt

=





dt

=






()
e
vM

õổồỹc goỹi laỡ vỏỷn tọỳc theo cuớa õióứm M.

4
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Váûn täúc theo

ca âiãøm M, tải thåìi âiãøm âang xẹt, chênh l váûn täúc trong hãû (R
1
) ca âiãøm
M* gàõn liãưn våïi hãû (R
2
) v tải thåìi âiãøm âang xẹt M* trng våïi âiãøm M. M* gi l trng âiãøm
ca M tải thåìi âiãøm nọi trãn :
()
e
vM


.
Âënh l håüp gia täúc :
/1 /2
() () () ()
R
eC
aM a M a M aM=+ +

R

Trong âọ :

2/ 1
21 2 2/1 2/1 2
/1
() () (
RR
eR RRRR
R
d
a M aO OM OM
dt
⎛⎞
Ω
=+ ×+Ω×Ω×
⎜⎟
⎝⎠
)



V :
2/ 1 / 2
()2 ()
CRR
aM vM=Ω ×



()
C
aM

âỉåüc gi l gia täúc Coriolis ca âiãøm M.
5) Cạc trỉåìng håüp chuøn âäüng âàûc biãût ca (R
2
) âäúi våïi (R
1
):
a) Hãû (R
2
) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû (R
1
) :


y
2
y
1


Do âọ :2/1
() ()
eR
aM aO=


()0
C
aM=


b) Hãû (R
2
) quay quanh mäüt trủc cäú âënh ca (R
1
) :
Gi sỉí hãû quy chiãúu (R
2
) quay xung quanh trủc cäú
âënh (O
1
z
1
) ca hãû quy chiãúu (R
1
) v gi sỉí O


Trong trỉåìng håüp ny, ta cọ :
2/1
() 0
R
vO =

(do O
2
cäú âënh trong R
1
)

1
() .
ez
vM e HM
θ
=×




2/1
() 0
R
aO =

(do O
2

τ
θ
=×

M



vng gọc våïi
HM (gia täúc tiãúp tuún) v thnh pháưn
2
.
n
aH
θ
=− M




hỉåïng tỉì M vãư H (gia täúc hỉåïng tám). 5
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

§2. Khäúê lỉåüng v khäúi tám ca hãû cháút - Hãû quy chiãúu khäúi tám :

ρ
=
).
•
Hãû gi l âäưng nháút nãúu nhỉ khäúi lỉåüng riãng ρ = hàòng säú v khäng phủ thüc vo âiãøm M.
2) Khäúi tám (Quạn tám) :
Xẹt mäüt hãû kên (S) (khäng trao âäøi cháút våïi mäi trỉåìng ngoi bao quanh hãû) gäưm n cháút âiãøm M
i

cọ khäúi lỉåüng m
i
. Gi O l mäüt âiãøm báút k.
Khäúi tám G ca hãû (S) âỉåüc xạc âënh båíi :



i
i
mOG m OM=
∑
i


våïi :
i
i
mm=
∑

Nãúu chn O åí G: thç :

12 112
(). . .mmOGmOGmOG+=+

•
Khi mäüt hãû l âäưng nháút v cọ mäüt pháưn tỉí âäúi xỉïng (màût âäúi xỉïng, trủc âäúi xỉïng ), khäúi tám
G ca hãû s nàòm trãn pháưn tỉí âäúi xỉïng ny.
3) Hãû quy chiãúu khäúi tám:
Chuøn âäüng ca hãû cháút (S) âỉåüc nghiãn cỉïu trong hãû quy chiãúu (R).
Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R), l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi khäúi
tám G ca hãû cháút (S) v chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) våïi váûn täúc
/
()
R
vG
.


O
z
y
(R)
y
z
x
G
(R*)
x
Khi âọ, theo âënh l håüp váûn täúc v håüp gia täúc, ta cọ:
//
() () ()*

eR
vM vG=

;
aM
;
aM
/
() ()
eR
aG=

()0
C
=
6
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Thóỳ maỡ:
//
() () ()
*
R
eR
vM v M vM=+



i
, coù vỏỷn tọỳc
i
v

trong hóỷ quy chióỳu (R).
ọỹng lổồỹng

cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) : P

.
ii
i
Pm=



v

Cuợng coù thóứ vióỳt:
()
i
iii
ii
dOM d d
P m m OM mOG
dt dt dt

== =


tỏm (R*) :
*.()*PmvG==

0


2) Momen õọỹng lổồỹng :
a) ởnh nghộa :
Xeùt mọỹt hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
coù khọỳi lổồỹng m
i
, coù vỏỷn tọỳc
i
v

trong hóỷ quy chióỳu (R).
Momen õọỹng lổồỹng
0
L

cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi mọỹt õióứm O trong hóỷ quy chióỳu (R) :

0 ii
i
LOMm=ì





Suy ra, momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R) :
G
L

() *
GG
LGGmvGL=ì +






*
GG
LL=



3) Mọmen õọỹng lổồỹng khọỳi tỏm:
Momen õọỹng lổồỹng cuớa mọỹt hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*) khọng phuỷ thuọỹc vaỡo õióứm
tờnh toaùn.

7
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Thỏỷt vỏỷy, goỹi A laỡ mọỹt õióứm bỏỳt kyỡ,
*
A
L

*
*
ii
i
Pmv==



0
Suy ra:
**
AG
L
L=



4) Momen õọỹng lổồỹng õọỳi vồùi mọỹt truỷc :
Hỗnh chióỳu cuớa momen õọỹng lổồỹng
0
L

cuớa hóỷ chỏỳt (S) õọỳi vồùi õióứm O, trón truỷc õi qua O õổồỹc
goỹi laỡ momen õọỹng lổồỹng cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi truỷc

.
0
.LLe

=

a

Tổồng tổỷ nhổ õọỹng lổồỹng, ta coù:

()SmaG=


vồùi :
i
i
mm=


Chổùng minh:

()
()
i
iiiG
ii
dv d d
S m m v mv ma G
dt dt dt

== ==












Tổồng tổỷ momen õọỹng lổồỹng, cuợng coù õởnh lyù Koenig vóử momen õọỹng lổỷc:
*
()
OG
D
OG ma G D=ì +




*
G
D

: momen õọỹng lổỷc cuớa hóỷ (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*); G laỡ khọỳi
tỏm cuớa hóỷ, laỡ gia tọỳc cuớa khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R).
()aG


Suy ra momen õọỹng lổỷc cuớa hóỷ chỏỳt (S) õọỳi vồùi khọỳi tỏm G trong hóỷ quy chióỳu (R) :
G
D

() *

ta coù hóỷ thổùc:
v( ) v( )
O
O
dL
DOm
dt
= ì

G


8
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Nóỳu O laỡ mọỹt õióứm cọỳ õởnh trong (R) hay
OG

thỗ:
O
O
dL
D
dt
=




0
() ()
O
dL
DvOmvG
dt
= ì





Nóỳu O cọỳ õởnh trong R hay , sọỳ haỷng thổù hai cuớa vóỳ phaới bũng 0, vaỡ:
OG
0
O
dL
D
dt
=



Đ5. ọỹng nng cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt :
1) ởnh nghộa :
ọỹng nng cuớa hóỷ (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
, coù khọỳi lổồỹng m
i

Vồùi :
*
K
E
: ọỹng nng cuớa hóỷ (S) trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm (R*).
Chổùng minh:
()
2
2*2**
11 1 1
() ) () 2()
22 2 2
Kiiii k ii
ii i
E
mv m v G v mv G E v G mv== +=++


=
Ta coù:
Thóỳ maỡ: , nón:
*
*0
ii
i
Pmv=



2

dP
F
dt
=



Nhổ vỏỷy ta coù:
()
ext
dP
SmaG F
dt
== =





2) ởnh lyù vóử momen õọỹng lổỷc (hay õởnh lyù vóử momen õọỹng lổồỹng):

Trong hóỷ quy chióỳu Galileùe (Rg), momen õọỹng lổỷc
O
D

cuớa mọỹt hóỷ chỏỳt kheùp kờn (S) õọỳi vồùi
õióứm O bũng momen õọỳi vồùi õióứm O cuớa tọứng
(
ext
O



âäúi våïi âiãøm O
ca täøng
ext
F

ca táút c ngoải lỉûc tạc dủng lãn hãû:
(
ext
O
OO
dL
DMF
dt
== )



(Våïi O l âiãøm cäú
âënh trong (Rg)).
Tháût váûy, ta cọ:
v( ) v( )
O
O
dL
D
OmG
dt
=− ×

• Trỉåìng håüp O khäng phi l âiãøm cäú âënh trong (Rg), nhỉng O trng våïi âiãøm G, ta cng cọ:
, do âọ:
v( ) v( ) 0OmG×

=
G
G
dL
D
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠


Âënh l vãư momen âäüng lỉåüng váùn nghiãûm âụng:
⇒
(
ext
G
GG
dL
)
D
MF
dt
⎛⎞
==
⎜⎟

GG
R
gR
dL dL
dt dt
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠



Suy ra:
*
*
*(
ext
G
GG
R
dL
)
D
MF
dt
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠


dt
∆
∆
=


•
Tháût váûy, chiãúu âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O cäú âënh trãn trủc ca hãû (S):
∆
(
ext
O
O
dL
)
M
F
dt
=


lãn trủc
∆
, suy ra:
()
ext
dL
MF
dt
∆

K
l
âäüng nàng ca hãû (S) trong (Rg).
Ta cọ :

ie
K
ii i i
ii
dE
F
vF
dt
=+
∑∑


v
int

Âäü biãún thiãún âäüng nàng ∆E
K
ca mäüt hãû cháút khẹp kên trong hãû quy chiãúu Galilẹe (Rg) trong
mäüt khong thåìi gian (t
0
,t) no âọ bàòng täøng cäng ca táút c cạc ngoải lỉûc v näüi lỉûc sinh ra trong
chuøn dåìi tỉång ỉïng våïi khong thåìi gian âọ:
•
00
(,) () ()

seợ bở bióỳn daỷng khaù nhióửu trong quùa trỗnh chởu lổỷc trong trổồỡng hồỹp naỡy, khọng thóứ coi dỏửm laỡ vỏỷt rừn.
F

gọỳi tổỷ
a
dỏửm kim loaỷi
Hỗnh 1

2) Hóỷ quy chióỳu gừn lióửn vồùi vỏỷt rừn :
(R)
S
(R )
z
x
O
Hỗnh 2
z
S
O
S
y
S
x
S
()S
O
z
y
(R)
()

Oe e e

. ióứm C, tỏm
cuớa vaỡnh troỡn, cuợng coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt
õióứm thuọỹc vỏỷt rừn, mỷc õỏửu taỷi C khọng coù vỏỷt
chỏỳt, bồới vỗ khi vaỡnh troỡn chuyóứn õọỹng, õióứm C
cuợng chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vaỡnh troỡn. Tọứng
quaùt hồn, moỹi õióứm trong khọng gian (mỷc dỏửu
taỷi õoù khọng coù vỏỷt chỏỳt), lión kóỳt chỷt cheợ vồùi
(S) vaỡ chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi (S) cuợng coù thóứ
xem laỡ caùc õióứm thuọỹc vỏỷt rừn (S).
Nhổ vỏỷy nóỳu gừn cổùng trón vỏỷt rừn (S) mọỹt hóỷ
quy chióỳu (; ; ; )
SSS
Sxyz
R
Ce e e

(
1
) lión kóỳt chỷt
cheợ vồùi vỏỷt rừn vaỡ chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vỏỷt
rừn. Khi õoù, chuyóứn õọỹng cuớa vỏỷt rừn (S) trong
hóỷ quy chióỳu (R) coù thóứ xem nhổ tổồng õổồng
vồùi chuyóứn õọỹng cuớa hóỷ quy chióỳu (R
S
) so vồùi
hóỷ quy chióỳu (R).
Hỗnh 3
3) Thọng sọỳ cỏửn thióỳt õóứ mọ taớ chuyóứn õọỹng cuớa vỏỷt rừn :

OS
, y
OS
, z
OS
ca âiãøm O
S
trong hãû (R)
S
O
+ Ba thäng säú (ba gọc) âãø xạc âënh phỉång chiãưu ca vectå âån vë
S
x
e

ca hãû (R
S
) âäúi våïi hãû (R):
α, β, γ
• Trong trỉåìng håüp chuøn âäüng ca váût ràõn âỉåüc dáùn hỉåïng båíi mäüt säú rng büc, säú thäng säú
cáưn thiãút âãø mä t chuøn âäüng ca váût ràõn cọ thãø < 6. Vê dủ, vnh trn chuøn âäüng trong màût
phàóng thàóng âỉïng v ln tiãúp xục våïi màût âáút nàòm ngang chè cáưn hai thäng säú âãø mä t
chuøn âäüng ca váût ràõn trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 2):
⇒
+ Honh âäü x ca tám C ca vnh trn trong hãû (R)
+ Gọc θ xạc âënh phỉång chiãưu ca vẹctå âån vë
S
x
e


S
) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R
S
) :
/
()
S
R
vM

/
() 0
S
R
vM
=

)
Hçnh 4
y
O
z
P
° M
()S
(R)
()
S
z
S



(1)
Nhỉ váûy, khi biãút váûn täúc ca mäüt âiãøm P v vectå quay tỉïc thåìi
Ω

ca váût ràõn (S) ⇒ cọ thãø xạc
âënh váûn täúc ca mäüt âiãøm M báút k thüc váût ràõn (S) theo biãøu thỉïc (1).
@ Tỉång tỉû, gi l gia täúc ca âiãøm M thüc váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R). Ạp
dủng âënh l håüp gia täúc :
/
()
R
aM


//
() () () ()
S
R
eC
aM a M a M aM=+ +

R

våïi : l gia täúc theo ca âiãøm M : ()
e
aM

/

CRRR
s
aM vM= ì =


/
() 0
R
s
vM
=


: gia tọỳc cuớa õióứm M trong hóỷ quy chióỳu (R
S
) (ióứm M cọỳ õởnh trong hóỷ quy
chióỳu (R
S
) : )
/
()
S
R
aM

/
() 0
S
R
aM =

(R)
()S
O
2) Caùc trổồỡng hồỹp õồn giaớn :
a) Vỏỷt rừn (S) chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn :
Nóỳu vỏỷt rừn chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn trong (R) S
0

=


() () ()vM vP vt==


Vỏỷn tọỳc cuớa moỹi õióứm M trón vỏỷt rừn taỷi thồỡi õióứm t cho trổồùc
õóửu bũng nhau.
() () (
dv
aM aP at
dt
===
Tổồng tổỷ cho gia tọỳc :
)




x
O
z = z

b) Vỏỷt rừn (S) quay xung quanh mọỹt truỷc Oz cọỳ õởnh
trong (R):
Xeùt vỏỷt rừn (S) quay xung quanh truỷc Oz cọỳ õởnh trong
hóỷ quy chióỳu
(; ; ; )
xyz
R
Oe e e

. Gừn cổùng vồùi vỏỷt rừn mọỹt
hóỷ quy chióỳu (; , , )
SSSS
R
Ox y z nhổ hỗnh 6 vồùi Oz = Oz
S
.
Goỹi laỡ goùc quay cuớa vỏỷt rừn (S) quanh truỷc Oz (goùc
quay cuớa hóỷ quy chióỳu (R
S
) xung quanh truỷc Oz cuớa hóỷ
quy chióỳu (R)).
Veùctồ quay cuớa vỏỷt rừn (S) trong (R):
().
z
te

=





(
2
)

() vM r e


=




Vectồ
vM
vuọng goùc vồùi HM vaỡ hổồùng theo chióửu chuyóứn õọỹng cuớa (S) trong hóỷ quy chióỳu R.
()
2
O vaỡ M laỡ hai õióứm thuọỹc vỏỷt rừn nón :
() ()vM vO OM=+ì





; cọỳ õởnh trong R nón
() 0vO =







våïi :
//
S
zr
RR
de de
eeee
dt dt
θθ
θθ θ
e
θ
θ
⎛⎞⎛⎞
= +Ω×=Ω×= ×=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠





(
3

2
()
n
aM r e
θ
=−



r
()
t
aM r e
θ
θ
=





vng gọc våïi HM (gia täúc tiãúp tuún).
3) Váût ràõn quay xung quanh trủc cọ phỉång khäng âäøi trong (R):
a) Vê dủ 1 : Chuøn âäüng ca thanh truưn :
Xẹt cå cáúu tay quay- con trỉåüt nhỉ hçnh 7ỵ, dng âãø biãún chuøn âäüng quay ca kháu OA thnh
chuøn âäüng tënh tiãún ca con trỉåüt B v ngỉåüc lải. Hy nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca thanh
truưn AB cọ khäúi tám l G.
Âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca thanh truưn AB,
ta xẹt thãm hãû quy chiãúu khäúi tám
*( ; , , )


* *


våïi : v l váûn täúc ca M v G
trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), l
()vM

()vG

*Ω

Hçnh 7
vectå quay tỉïc thåìi ca thanh truưn AB


trong hãû (R*) : *().
z
te
θ
Ω=
Do khäúi tám G cäú âënh trong hãû (R*) ⇒
()* 0vG
=

⇒
()* *vM GM=Ω ×




Chụ ràòng trong R
S
, e
θ

khäng âäøi nãn
/
0
S
R
de
dt
θ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

15
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Tỉì (1) v (2), suy ra :
*(
z
te
θ
Ω=Ω= ).
()R
y
O
C
z
I
Hçnh 9
C’
⊕
.dtΩ
tải t
t
ải t + δ
t


()∆

Ω


z
= e
θ
Ω



⊕
M
(R*)
y
x
Tải thåìi âiãøm t, ba âiãøm I
S
, I
R
v I cọ váûn täúc khạc nhau trong (R) :
() 0
S
vI =


() ( )vI vC=

, båíi vç I v C ln ln nàòm trãn cng mäüt âỉåìng thàóng âỉïng.
våïi : () ()
R
vI vC CI=+Ω×


Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút, tải thåìi âiãøm t âang xẹt, âiãøm I
R
ca bạnh xe tiãúp xục
våïi màût âáút cọ váûn täúc bàòng khäng ⇒ Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút, giỉỵa hai thåìi
âiãøm t v t + dt ráút gáưn nhau bạnh xe cọ thãø xem nhỉ chuøn âäüng quay tỉïc thåìi xung quanh mäüt
trủc ∆ âi I v song song våïi Ω

y
. Trủc ∆ âỉåüc gi l trủc quay tỉïc thåìi ca bạnh xe (
4
) (Hçnh 9).
@ Chuøn âäüng ca bạnh xe cọ thãø xem nhỉ håüp ca hai chuøn âäüng :
+ Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám C (
x
OC x e b e=+




) våïi váûn täúc l .
Cx
vxe=


+ Chuøn âäüng quay xung quanh trủc
Cz


âi qua khäúi tám C trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* våïi
váûn täúc gọc , trong âọ ().


y
x
⇒
() .
Rx
vI xe be
θ
=+




Suy ra váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút :
()( .).
g
Rx
vvI x be
θ
==+






@ Bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút khi:
()0
gR
vvI

SS
I
Jx
=
∆
v cung
.
RR
IJ b
θ
=
∆

Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút thç:
.0xb
θ
+=


⇒
.xb
θ
∆= ∆
⇒

SS RR
I
JIJ=

@ Ghi chụ : Chuøn âäüng ca thanh truưn (vê dủ 1) v ca bạnh xe (vê dủ 2) cn âỉåüc gi l

10).
Gi M l mäüt âiãøm báút k ca váût ràõn (S), dm l khäúi lỉåüng ca mäüt phán täú thãø têch váût ràõn bao
quanh âiãøm M.

4
Khi bạnh xe chuøn âäüng, trủc quay tỉïc thåìi ∆ dëch chuøn theo âiãøm tiãúp xục I giỉỵa bạnh xe v màût âáút
v ln ln song song våïi vectå Ω

.

17
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Momen âäüng lỉåüng
A
L

ca váût ràõn âäúi våïi âiãøm A cäú âënh trãn trủc Oz trong hãû quy chiãúu (R) :

()
()
A
S
L
AM v M dm=×
∫∫∫





S
L
AM e AM e AM dm
⎡⎤
=Ω −
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
  



(Ghi chụ :
()(.)(.)
A
BC BCA CAB×× = −

 
)
Gi H l hçnh chiãúu ca M trãn trủc quay ∆, ta cọ :
(.).
zz
A
MAHHM AMeeHM=+ = +
      
y
x
O
z = z
S

(.)(.)
Azz
SS
L
AM dm AM e AM e e HM dm
⎡⎤
=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
 



22
() ()
.(.).
Az
SS
LAMdmAHeAMeHM
⎡⎤
=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
z
dm









Nhỉ váûy, momen âäüng lỉåüng
A
L

gäưm hai pháưn :
•
2
//
()
.
A
S
.
L
HM dm=Ω
∫∫∫

song song våïi vẹctå quay
.
Ω


•
()
.(( .) )
Az
S

lãn trủc quay ∆ âỉåüc gi l momen âäüng lỉåüng
ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc ∆฀:
2
//
()
.
AZ A Z
S
L
Le L e HMdm
∆
== =Ω
∫∫∫



L
∆
khäng phủ thüc vo vë trê ca âiãøm A trãn trủc ∆.
• Momen quạn tênh ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc quay ∆ âỉåüc âënh nghéa nhỉ sau :

18
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

2
()
.
S
J
rdm

∆
= J
∆1
+ J
∆2

c) Âäüng nàng :
Âäüng nàng ca váût ràõn (S) nọi trãn trong hãû quy chiãúu (R) :
2
()
1
.( ).
2
K
S
EvM=
∫∫∫
dm våïi :
()vM AM=Ω×





Suy ra :
()
1
.( ).().
2
K




(()).AM v M×Ω



) båíi vç : ()()(
A
BC BC A CAB
×
=×=×




) =
⇒
//
11
.
22
KA A
EL L=Ω=

Ω

⇒
2
11

**
//
G
GG
LL L
*
⊥
=+
 
våïi
: thnh pháưn ca song song våïi
*
//G
L

*
G
L

Ω

;
*
G
L
⊥

: thnh pháưn ca
*
G

våïi :
*
K
E l âäüng nàng ca (S) trong hãû quy chiãúu (R*).
@ Trỉåìng håüp vectå quay ca váût ràõn (S) ln ln khäng thay âäøi phỉång trong sút quạ
trçnh chuøn âäüng, chàóng hản Ω
Ω



ln nàòm theo phỉång trủc Oz (Hçnh 11) (
5
) :
Trong (R*), (S) quay quanh trủc cäú âënh Gz, ta cọ:

5
Vectå quay l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*) Ω


19
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

** * *
//
.
G
G
GG Gz
LL L J L
⊥

2
1
.(
2
mv G)
tỉång ỉïng våïi chuøn âäüng tënh tiãún ca ton bäü váût ràõn
(S) cng våïi khäúi tám G; thnh pháưn
**
.
G
Gz G
LJ L
⊥
=Ω+


hay
*
1

2
K
Gz
EJ
2
=
Ω
tỉång ỉïng våïi chuøn
âäüng quay ca váût ràõn (S) quanh trủc Gz trong hãû quy chiãúu khäúiï tám (R*).
@ Tråí lải bi toạn chuøn âäüng ca bạnh xe làn trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy



⇒
()
OG
LOCmvCJe=× +Ω


zz



2*
1
.()
2
K
K
E
mv G E=+
⇒
22
11
.()
22
KG
EmvGJ=+
z
Ω


a
Ω



(R*)
Hçnh 12
Xẹt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh
(∆) trng våïi trủc Oz ca hãû quy chiãúu R âang xẹt
våïi vẹc tå quay . Gi G l khäúi tám ca váût ràõn
(Hçnh 11). Trong (R*), (S) quay xunh quanh trủc cäú
âënh (∆
G
) trng våïi Gz v song song våïi trủc (∆).
Ω

Theo âënh l Koenig :

2*
1
.()
2
K
K
E
mv G E=+
(1)
y
y
våïi m : khäúi lỉåüng ca váût ràõn

G trãn trủc (∆)) våïi váûn täúc gọc l , do âọ : Ω
22
()vG a
2
=
Ω (c)
Thay (a) (b) (c) vo (1), suy ra :
2
G
JmaJ
∆
∆
=+
Âáy chênh l âënh l Huygens.
20
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Chỉång 2 :

TIÃÚP XỤC GIỈỴA HAI VÁÛT RÀÕN - ÂËNH LÛT VÃƯ MA SẠT

§1. Nghiãn cỉïu âäüng hc:
(R)
x
O
y
(

S
ca (S) trng
våïi mäüt âiãøm I
Σ
ca (Σ) tải âiãøm tiãúp xục I.
⇒
Váûn täúc trỉåüt
v
g

ca (S) trãn (Σ) tải âiãøm I vo
thåìi âiãøm t :
//
v() v( ) v( )
g
SR R
II I
∑
=−
 

Váûn täúc trỉåüt ca (S) trãn (Σ) tải âiãøm I cng chênh l váûn täúc ca âiãøm I
S
ca (S) (hçnh trủ) trong
hãû quy chiãúu ()
R
∑
gàõn liãưn våïi (Σ) (xe cam nhäng) :

/

• (S) âỉåüc gi l khäng trỉåüt trãn (Σ) khi váûn täúc trỉåüt bàòng 0 tải mi âiãøm tiãúp xục I :

v() 0
g
I
=



2) Chuøn âäüng làn v xoay ca (S) âäúi våïi (Σ):
• Trong hãû quy chiãúu R, gi v
S
Ω

∑
Ω

l vectå quay ca váût ràõn (S) v (Σ). Vẹctå quay tỉång
âäúi ca (S) so våïi (Σ), tỉïc l vẹctå quay ca (S) trong hãû quy chiãúu
/S ∑
Ω

()
R
∑
gàõn liãưn våïi (Σ):
/SS∑
Ω=Ω−Ω

∑

22
(P)
(
Σ
)
(S)
I
N
Ω

T
Ω

/S
∑
Ω


H
çnh 3: H
çnh 5: Hçnh trủ (S) chuøn âäüng

()∑
+ Cạc vectå
N
Ω

v khäng thay âäøi phỉång trong qụa trçnh chuøn âäüng.
T
Ω

+ (S) làn khäng xoay ( ) hay xoay khäng làn (
0
N
Ω=

0
T
Ω
=

), hồûc khäng làn khäng xoay
(chuøn âäüng tënh tiãún) trãn
()∑
§2. Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục:
1) Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục ca hai váût ràõn:
()
∑
()S
I
i
R



Theo âënh lût III Newton, (S) s tạc dủng lãn (Σ) mäüt hãû lỉûc, khi thu gn vãư I cng bao gäưm:

• Lỉûc thu gn: - R
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

• Momen thu gn:
I, tiepxuc
- M


Tạc âäüng cå tải chäù tiãúp xục l áøn säú ca bi toạn phán têch lỉûc.
@ Tạc âäüng cå do (Σ) tạc dủng lãn (S) tải chäù tiãúp xục âỉåüc phán thnh cạc thnh
pháưn (Hçnh 7) :
I, tiepxuc
(R, M )

• Âäúi våïi håüp lỉûc : R

+ Thnh pháưn nòm tải I trong tiãúp diãûn chung (P) tải I ca (S) v (Σ). T

+

våïi :
I, I,
MM
tn
⊥



N

âỉåüc gi l ạp lỉûc (phn lỉûc phạp tuún); T

âỉåüc gi l lỉûc ma sạt trỉåüt båíi vç nọ chäúng lải
chuøn âäüng trỉåüt ca (S) trãn (Σ);
I,
M
t

âỉåüc gi l momen ma sạt làn båíi vç nọ chäúng lải
chuøn âäüng làn ca (S) trãn (Σ);
I,
M
n

âỉåüc gi l momen ma sạt xoay båíi vç nọ chäúng lải
chuøn âäüng xoay ca (S) trãn (Σ).
T

R

(S)
()Σ
Hçnh 7:
()∑
I
()S
I
(
Σ
)
(
S
)

H
çnh 11
I
x
O
y

H
çnh 10
Hçnh 9

23

vãư (S).
N

(
S
)

H
çnh 12
(
Σ
)

I
N

N

(
S
)

(
Σ
)

O
O
H
çnh 13


song song v ngỉåüc
chiãưu nhau: v
g
T v 0×=


g
T .v 0<


Sút (môun) ca T tè lãû våïi sút ca

N

: .TfN=



våïi f l hãû säú tè lãû v âỉåüc gi l hãû säú ma sạt trỉåüt (f > 0).
+ Nãúu (S) khäng trỉåüt trãn (Σ), m chè cọ xu hỉåïng trỉåüt trãn (Σ):
g
v0
=

: cng phỉång v
ngỉåüc chiãưu våïi chiãưu ca xu hỉåïng trỉåüt.
T

Sút ca v ca tha mn biãøu thỉïc: T



⇒ T

hỉåïng lãn theo phỉång
chiãưu . xx'

N

g

mg

T

y
x’
x
H
çnh 14
Khi hçnh khäúi chỉỵ nháût (S) cán bàòng, ta cọ :

0
xy
Te Ne mg=+ +
 

24
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng


khi (S) khäng trỉåüt trãn (Σ). Trong
âa säú trỉåìng håüp: f
â
<

f
t

2) Mäüt säú hãû qu ca âënh lût Coulomb:
a) Váût ràõn cán bàòng:
y
@ Hãû ngoải lỉûc tạc dủng lãn váût ràõn (S) khi thu
gn vãư âiãøm A no âọ bao gäưm lỉûc thu gn
e xt
F


v momen thu gn . Trong hãû quy chiãúu
Rg gi sỉí l hãû quy chiãúu Galilẹe, váût ràõn (S) cán
bàòng khi :
A, ext
M

e xt
F0=

;
A, ext
M0=


çnh 15
@ Vê dủ: Khäúi chỉỵ nháût (S) tiãúp xục våïi màût âáút (Σ) (Hçnh 15). Hãû ngoải lỉûc tạc dủng lãn (S)
bao gäưm: Trng lỉåüng ; lỉûc kẹo
mg

F

v tạc âäüng cå tiãúp
xục tỉì (Σ) lãn (S) : .
I, tiepxuc
(R, M )

N

H
çnh 1
6

T

R

α
ϕ
(,)NR
α
=


()




25