Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
  

ĐÀO THỊ THANH THUỶ
LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ
ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
  

ĐÀO THỊ THANH THUỶ LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ
ỨNG DỤNG Chuyên ngành : GIẢI TÍCH
Mã số : 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1 MỤC LỤC
trang
Mở đầu 1
Chương 1 . Kiến thức cơ sở 3
1.1 . Trường định chuẩn không Acsimet 3

MỞ ĐẦU

Luận văn trình bày một số kết quả cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna và
ứng dụng của nó đối với phương trình hàm P( f ) = Q( g ) trong trường p -
adic .
Nội dung luận văn gồm ba chương .
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về trường định chuẩn
không Acsimet , trường số p - adic , và một số tính chất đặc biệt về hàm phân
hình trên trường không Acsimet áp dụng cho chương sau .
Chương 2: Nêu định nghĩa , một số tính chất về các hàm đặc trưng
Nevanlinna , hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và một số kết quả về
bài toán xác định tập duy nhất của hàm phân hình trên trường p - adic .
Chương 3: Trình bày một số kết quả về phương trình hàm P( f ) = Q( g )
trong trường p - adic .
Kết quả của luận văn :
Cho P , Q là các đa thức thuộc K[x] với
0
''
QP
. Xét hai hàm phân biệt
f , g giải tích hoặc phân hình trong đĩa
rax 
( tương ứng trong K ), thoả
mãn P( f ) = Q( g ) . Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình
Nevanlinna , đưa ra các điều kiện đủ về các không điểm của
''
Q,P
để f và g bị
chặn trong đĩa
rax 

Học viên
Đào Thị Thanh Thuỷ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4 Chƣơng 1
Kiến thức cơ sở
1.1.Trƣờng định chuẩn không Acsimet.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử K là trường , chuẩn trên K là hàm
. : K

R
+
thoả mãn :
i)
x
= 0


max {
x
,
y
},

x, y

K.
Một chuẩn . trên K cảm sinh một hàm khoảng cách d được định
nghĩa bởi
d(x,y) =
yx 
,

x, y

K.
Nếu chuẩn . là không Acsimet thì mêtric cảm sinh d thoả mãn:
d(x,y)

max {d(x,z) , d(z,y)},

x, y ,z

K.
mêtric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu mêtric.
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm
. : K


d(x,y) =







y.x nÕu
x nÕu
0
y1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5 là một siêu mêtric. Mêtric này được gọi là mêtric tầm thưòng .
Ta xét một số đặc trưng của tôpô sinh bởi chuẩn không Acsimet thông
qua các hình cầu như sau:
Với r

R
+
ta định nghĩa hình cầu mở , đóng tâm a , bán kính r là :
K(a;r) =

x

K d(x,a) < r

, a
’


Z \

0

.

Kí hiệu :

=

p
(a) . Vậy ta có hàm :


p
: Z \

0



N
a





R

+
 


x


p
x
=

p
1
, với

=

p
(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6 Khi đó , .
p
là một chuẩn không Acsimet trên Q và được gọi là chuẩn
p - adic.

cho

m , n > n
0
thì


p
nm
xx
. Hai dãy Cauchy
 
n
x
,
 
n
y
được gọi là
tương đương nếu
0
p
nn
yx
. Với
 
n
x
là dãy Cauchy theo .
p

, ta định nghĩa:

 
n
x
+
 
n
y
=
 
nn
yx 
;
 
n
x
.
 
n
y
=
 
nn
yx .
.
Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp
tương đương . Khi đó , Q
p
là một trường và là trường định chuẩn với chuẩn .

n
lim
p
n
x
.
Chú ý rằng định nghĩa trên xác định theo tính chất sau của chuẩn p -
adic.
Mệnh đề 1.2.3. Q
p
là đầy đủ hoá của Q theo chuẩn .
p
và tập giá trị
của Q và Q
p
theo .
p
là trùng nhau , đó là tập
 
 
0, Znp
n

.
Tương tự như quá trình đầy đủ hoá Q theo .

, ta nhận được một
trường Q
p
đầy đủ nhưng không đóng đại số . Người ta đã giải quyết vấn đề


 )/(
)(
P
QKG


,
với

là tự đẳng cấu trên K giữ nguyên các phần tử của Q
p
. Chú ý rằng nếu
bậc của mở rộng trường [K : Q
p
] = n thì
p
QK
N
/
(

) =
n

,


Q
p

p
Q
, tồn tại một mở rộng chuẩn tắc bậc n sao cho x

K, khi
đó :

n
p
QK
xNx
p
)(
/

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8 và chuẩn
x
không phụ thuộc vào sự tồn tại của K .
Ta có kết quả sau :
Mệnh đề 1.2.5. Hàm . :
p
Q


R

p
C
đầy đủ với chuẩn . và
p
C
là một trường đóng đại số.
1.3 Hàm chỉnh hình trên trƣờng không Acsimet.
Ta kí hiệu K là trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn không Acsimet
. và có đặc số 0.
Các khái niệm về dãy , về chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống
như trong trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet
ta có một số tính chất đặc biệt sau.
Bổ đề 1.3.1 Giả sử
 
n
x
là một dãy trong K . Dãy
 
n
x
là dãy Cauchy
nếu và chỉ nếu
nn
n
xx 


1
lim
= 0 .

lim
nn
xx 
1
= 0 nên suy ra điều phải chứng minh. 
Từ các tính chất trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số , chuỗi
luỹ thừa , ta có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.3.2. Chuỗi


0n
n
a
, a
n


K hội tụ khi và chỉ khi
n
lim
a
n
= 0 .
Khi đó ta có:

n
n
n
n
aa max

1
, khi đó ta có :
i) Nếu

= 0 thì f (z) chỉ hội tụ tại z = 0 .
ii) Nếu

=

thì f (z) hội tụ với mọi z

K.
iii) Nếu 0 <

<

và
n
n
a


0 thì f (z) hội tụ khi và chỉ khi

z
.
iv) Nếu 0 <

<



)(KA
r
= { f (z) | bán kính hội tụ



r }.
Ta có :

)(KA
r
=
rs


)(KA
s
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10 Định nghĩa 1.3.4. Với f (z) =


0n
n
n
za



là chỉ số ứng với
số hạng lớn nhất
),( fr

.
Với r = 0 , ta định nghĩa :

),0( f

=

0
lim
r
),( fr

;
),0( f

=

0
lim
r
),( fr

.
Từ định nghĩa của số hạng lớn nhất , ta có kết quả sau.


=

),( fr

, với



K;
iii)
),( gfr 



max {
),( fr

;
),( gr

};
Khi đó ,
,.)(r

là một chuẩn không Acsimet trên
)(KA
r
và
iv)



K [z] với

=
),( fr


và một chuỗi luỹ thừa :
h [z] = 1 +


1n
n
n
zc
, cn

K .
thoả mãn :
i) f (z) = h(z) g(z),
ii)
),( gr

=


rb
,
iii) h

)()(
lim
0
'
00
0
zf
h
zfhzf
h




Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z

U .
Ta có mối liên hệ giữa hàm f và đạo hàm'
f
như sau:
Mệnh đề 1.3.8. Giả sử chuỗi f (z)=


0n
n
n
za



 rfr
r
fr 0,),(
1
),(
'
.
Mệnh đề 1.3.9. Với dãy
 
*
Kz
n

:

n
z
thì tích vô hạn
f (z) =




1
)1(
n
n
z

) = 0.
Hệ quả 1.3.10. Nếu f là hàm nguyên khác đa thức thì f có vô số không
điểm ;
Nếu f là hàm nguyên không có không điểm thì f là hàm hằng;
Tồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12 Hệ quả 1.3.11. Giả sử f , g

 
0\)(KA
. Nếu f g là hàm hằng thì f và g
là những hàm hằng.
Giả sử f, g
 
0\)),(( radA
. Nếu f g bị chặn thì f và g là những hàm bị chặn.
Định nghĩa 1.3.12. Giả sử D là tập vô hạn trong K , R(D) là tập các hàm
hữu tỉ h không có cực điểm trong D . Khi đó , với mọi h

R(D) đặt :

)(sup zhh
Dz
D




K \ K [0;r] , k

Z
+
ta có:

kn
n
k
a
z
aaz
))(
1
()
1
(
0





.
=
n
n
n
k
a

r
r
a
b
)(
.
Do đó:
k
az
)
1
(



)(KA
r
hay R (K [0;r])

)(KA
r
. (**)
Mặt khác , vì
),( fr

liên tục tại r nên ta suy ra:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13

nên
)(KA
r
cũng đầy đủ với chuẩn
];0[ rK
. Do đó từ (**) ta suy ra
)(KA
r


H (K [0;r] ) . Kết hợp với (*) ta
được điều phải chứng minh. 
Định nghĩa 1.3.14. Giả sử D

K không có điểm cô lập .
Hàm f : D

K được gọi là giải tích địa phương nếu với mỗi a

D,

r

R
+
,
 
n
a

)

0 .
Định nghĩa 1.3.16. Với tập D

K không có điểm cô lập .
Hàm f : D

K
 

được gọi là hàm phân hình trên D nếu tồn tại một
tập đếm được S

D , S không có điểm giới hạn trong D sao cho f là hàm
chỉnh hình trên D \ S .
Kí hiệu M (D) là tập các hàm phân hình trên D .
Định nghĩa 1.3.17. Với tập D

K không có điểm cô lập .
Hàm f : D

K
 

được gọi là hàm phân hình địa phương trên D nếu
với

a

Mệnh đề 1.3.18. Giả sử f

M
(

(K) , khi đó tồn tại g , h

A
(

(K)
sao cho
h
g
f 
và :





 r
hr
gr
fr 0,
),(
),(
),(

= 0 khi và chỉ khi f = 0 .
ii)
 ),(
21
ffr

max {
),(
1
fr

,
),(
2
fr

}.
iii)
).,(
21
ffr

=
),(
1
fr

.
),(
2

Trong chương này , ta xét K là trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn
không Acsimet có đặc số 0.
2.1 Các hàm đặc trƣng Nevanlinna .
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử f



0,)(
(
KA
và f (z) =


mn
n
n
za
,
( m

0 , am


0

) , a

K . Ta định nghĩa :
+ n
 

r
r




0
)
1
,(
:)
1
,(

, (

 r
0
)
được gọi là hàm giá trị của f - a trên đĩa K [0;r] .
Mệnh đề 2.1.2. Với f (z) =


mn
n
n
za




z + . . . +


zb


K [z] với

=
),( fr


và một chuỗi luỹ thừa
h [z] = 1 +


1n
n
n
zc
, cn

K .
thoả mãn :
i) f (z) = h (z) g (z) ,
ii)
),( gr

=


và nếu tồn tại
K

: h(

) = 0 thì
r

.
Giả sử


K : g(

) = 0 , khi đó tồn tại i

v sao cho




bgb
i
i
 ),(

Suy ra nếu
r

thì :

Mặt khác , giả sử tồn tại
K

: h(

) = 0 . Khi đó , tồn tại n > 0 sao cho
1
n
n
c

. Do đó nếu
r

thì
nn
n
r
c
11


.
Từ đó suy ra:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
1

có k 0 - điểm (kể cả bội ) trong K[0;r],
k

1 . Khi đó với b

f (K [0;r]) thì f - b cũng có k 0 - điểm (kể cả bội) trong
K[0;r].
Chứng minh
Giả sử f (z) =


mn
n
n
za
. Theo định lí 1.3.6 ta có :
k =
),( fr

và
knrara
k
k
n
n
 ,
;
knrara
k
k



KA
không bị chặn và b

K ,
ta có:

)(),1()
1
,()
1
,(



rO
f
rN
bf
rN
.
Hệ quả 2.1.5. Giả sử f là hàm nguyên khác hằng và b

K , ta có:

)(),1()
1
,()
1

,
với f
0
, f
1
không có nhân tử chung trong vành
)(KA
r
sao cho f =
1
0
f
f
.
Định nghĩa 2.1.6. Với a

K
 

, ta định nghĩa :
+ Hàm đếm số 0 - điểm (kể cả bội) của f - a trong đĩa K [0;r] được xác
định bởi :

)
1
,(
af
rn

=

0
10
1
( ) ( , ) ,
1
( , ) ,

  








N r , f N r nÕu a
f
N r nÕu a
f af

Mệnh đề 2.1.7. Với f

M
(

(K) , ta có :

)
1






r
r
af
ndt
t
af
n
af
tn
0
log)
1
,0(
)
1
,0()
1
,(
, với 0 < r <

.
Khi đó ta có:

),( afrN 
-

f
n
f
tn
0
log)
1
,0(
)
1
,0()
1
,(

=



r
rfdt
t
fft
0
log),0(
),0(),(



=
)0(log),(log

f

M
(

(K) , với f
1
, f
0


A
(

(K ) ta kí hiệu :

),( afrN 
=







a nÕu , )aff(r,N
a nÕu , 0)f(r,N
01
0


=
),(
),(
log
0
1
fr
fr


-
)0(
)0(
log
*
0
1
*
f
f

=
)0(log),(log
*
ffr 


Từ đó suy ra :

)



ta định nghĩa :
+ Hàm xấp xỉ của hàm f trên đĩa K [0;r] được xác định bởi :
m ( r, f ) =
),( fr


log
= max
 
),(log,0 fr

.
+ Hàm đặc trưng :
T ( r, f ) = m ( r, f ) + N (r, f ) .
Chú ý :
Ta có : log
),( fr

=
),( fr log


-
),(
1
fr



Mệnh đề 2.1.9. Với fi

M
(

(K) , i = 1 , . . . ,k và r > 0 ,ta có :

),(),(
11



k
i
i
k
i
i
frNfrN
,
),(),(
1
1





k
i

i
i
k
i
i
frmfrm
;

),(),(
11



k
i
i
k
i
i
frTfrT
,
),(),(
1
1





k

và chỉ khi g bị chặn trên d(0, r) .
2.2 Các định lí cơ bản về phân phối giá trị hàm phân hình .
Định lí 2.2.1 (Định lí cơ bản thứ nhất).
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K(0,

) . Khi đó , với mọi
a

K ta có :

ρ)(r , 



)1(),()
1
,()
1
,( OfrT
af
rN
af
rm

Chứng minh
Theo định nghĩa hàm đặc trưng và áp dụng công thức Jensen ta có:

),()
1
,()

 log),(
, (vì N(r, -a) = 0 ).
Hay:

),( afrT 



),( frT
+
)1(O
khi

r

Tương tự ta cũng có :

),( frT



),( afrT 
+
)1(O
khi

r

Do đó :


+
)1(O
khi

r
. 
Định lí 2.2.2 (Định lí cơ bản thứ hai).
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K(0,

) ; và a
1
, . . . , a
q
là các
điểm phân biệt thuộc K . Định nghĩa:

 
ji
aa , 

1
ji
min

, A =
 
i
i
a,1max
.

q
j
Sr
af
rNfrN 




log)
1
,(),(
1
,
với


A
qfafS
q
j
jf



1
'
00
log)1(),(log),(log
.


f
0
không có
nhân tử chung . Đặt F
0
= f
0
, Fi = f
1
- ai f
0
, với i = 1 , 2, . . . , q .
Khi đó: f
1
= Fi + ai

f
0
với mọi i =
q,1
.
Do đó:
 
0
1
1
,max faFf
ii
qi

1
) là định thức Wronskia của f
0
và

f
1
. Khi đó ta có:
Wi = W(F
0
,

F
1
) = W.
Vì f là hàm phân hình khác hằng nên tồn tại z

K [0 ; r
’
] \ K [0 ;
0

] sao
cho:
W(z) , f
1
(z) , Fi (z)

0 , i = 0 , 1, . . . , q .
Chọn j =


j .
Không mất tính chất tổng quát, ta giả sử:

 



)( )()(
)()(,)(max0
11
10
zFzFzF
zFzFzf
qjj
j


Do đó , với k = 0 ; 1 ta có :