CHƯƠNG 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
§3.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM
Cho hàm số
:fD
và x là điểm trong của D, nghóa là có
lân cận
( , )V x x
của x chứa trong D. Nếu tỉ số
( ) ( )f s f x
sx

có giới hạn khi
sx
thì giá trò của giới hạn này được gọi là đạo
hàm của f tại x và được ký hiệu là
()fx
, nghóa là,

0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim .
hsx
f s f x f x h f x
fx
s x h

Ta cũng hay viết
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x h f x f s f x
và


thì hai giá trò k
1
và k
2
lần lượt được gọi là đạo hàm bên trái và đạo
hàm bên phải của f tại x. Dó nhiên rằng f có đạo hàm tại x khi và chỉ
khi f có đạo hàm hai bên tại x, đồng thời giá trò đạo hàm hai bên
bằng nhau.
Trường hợp mọi điểm thuộc D đều là điểm trong của D thì ta
nói D là tập hợp mở trong , và lúc đó nếu f có đạo hàm tại mọi
điểm x thuộc D thì ta có đạo hàm bậc nhất

:
( ),
fD
x f x

và khi hàm số
f
cũng có đạo hàm thì ta có đạo hàm bậc hai của f là

:
( ) ( ) ( ),
fD
x f x f x

lúc đó
()fx
cũng được viết là

:fD
có đạo hàm tại x.
a) Khái niệm tiếp tuyến
Gọi (C) là đồ thò của hàm số f, nghóa là
2
( ) ; ( )C x f x x D
. Xét các điểm thuộc (C) là
; ( )M x f x
và
; ( )M s f s
thì tỉ số
( ) ( )f s f x
sx
là hệ số góc cát tuyến MM’ của đường
cong (C), tức là giá trò tan của góc lượng giác hợp bởi tia Ox với tia
MM’:

Theo đònh nghóa đạo hàm, khi
sx
thì M’ tiến về M trên (C), hệ số
góc của cát tuyến MM’ tiến về một giá trò giới hạn k, cũng có nghóa

b) Khái niệm vận tốc tức thời
Trong cơ học, giả sử một động tử chuyển động thẳng trên trục
x’Ox sao cho tại thời điểm x, động tử ở vò trí M đònh bởi
( ).OM f x

Tại thời điểm x + h, động tử ở vò trí M’ đònh bởi
( ).OM f x h
Vậy
trong khoảng thời gian h, động tử di chuyển được quãng đường có độ
dài đại số là
( ) ( )MM f x h f x
và vận tốc trung bình của động
tử trong khoảng thời gian đó là
( ) ( )f x h f x
h
. Khi h tiến về 0, vận
tốc trung bình tiến về một giá trò giới hạn
()fx
mà ta gọi là vận tốc
tức thời của động tử tại thời điểm x.
c) Khái niệm khả vi và vi phân
Nếu ta đặt
( ) ( )
( ) ( )
f x h f x
h f x
h
thì ta có
( ) 0h
khi

( ).fx

Đẳng thức (1) có thể được viết lại dưới dạng
( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( ),f s f x f x s x s x s x

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
4

trong đó
( ) 0sx
khi
.sx
Nếu ký hiệu
,x s x
được gọi là
số gia của x, và ký hiệu
( ) ( ),y f s f x
được gọi là số gia của
()y f x
thì đẳng thức trên được viết lại như sau

( ). . ( ).y f x x x x

Khi số gia x “rất là nhỏ” thì ta thấy
( ). ,y f x x
và ý
nghóa của sự xấp xỉ này được ký hiệu bởi đẳng thức
()dy f x dx
, ký
hiệu dy được gọi là vi phân của hàm số

2
f x x f x x
x

d) Nếu
3
3
2
1
( ) thì ( ) (với 0).
3
f x x f x x
x

2. Sử dụng đònh nghóa đạo hàm và chấp nhận kết quả
0
sin
lim 1,
u
u
u
hãy chứng minh đạo hàm của sin là cos; đạo hàm
của cos là
sin
.
3. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 2 của hàm số f
đònh bởi
( ) 2 3.f x x

4. Khảo sát đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 1 của hàm số f

fx
x
x

Chứng minh f có đạo hàm tại x = 0 và tính
( ).fx

7. Cho hàm số
:f
đònh bởi

3
1
sin khi 0,
()
0 khi 0.
xx
fx
x
x

Chứng minh f có đạo hàm cấp hai tại x = 0.
Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
6

§3.2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM
Việc chứng minh các mệnh đề sau đây dành cho sinh viên
như là bài tập.

gx
x
g
gx
hệ quả là

2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
()
f f x g x f x g x
x
g
gx

Mệnh đề 3.2.3 [Đạo hàm của hàm hợp]
Xét các hàm số
12
.
fg
DD
Nếu f khả vi tại
1
xD
và g
khả vi tại
2
()y f x D
thì hàm hợp
()g f g f


2. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Sử dụng giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản trong chương
trước và các mệnh đề ở mục trên, sinh viên có thể chứng minh kết
quả sau

f(x)
f ’(x)
1)
,
x
ex

x
e

2)
ln , 0xx

1
x

3)
, 0 và xx

1
x

4)
, với 0 1

2
2
1
1 tan
cos
x
x

9)
cot , với , x x k k

2
2
1
(1 cot )
sin
x
x

10)
arcsin , với 1 1xx

2
1
1 x

11)
arccos , với 1 1xx

2

1. CÁC ĐỊNH LÝ SỐ GIA HỮU HẠN
Đònh lý 3.3.1 [đònh lý Fermat]. Nếu
:fD
khả vi tại
xD
và
đạt cực trò đòa phương tại x, nghóa là giá trò f(x) hoặc là lớn nhất;
hoặc là nhỏ nhất trên một lân cận nào đó của x, thì
( ) 0.fx

Ghi chú. Bất kỳ một giá trò x thỏa
( ) 0fx
được gọi là điểm dừng
của hàm số f.
Đònh lý 3.3.2 [đònh lý Roll]. Cho hàm số
: [ , ]f a b
liên tục trên
[a, b] và khả vi trên (a, b) và
( ) ( )f a f b
thì tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) 0.fc

Đònh lý 3.3.3 [đònh lý Cauchy]. Cho hai hàm số liên tục
, : [ , ]f g a b
. Nếu f, g khả vi trên khoảng (a, b) thì tồn tại
( , )c a b
sao cho


10

(i) Nếu
( , ), ( ) 0x a b f x
, thì f là hàm số đồng biến.
(ii) Nếu
( , ), ( ) 0x a b f x
, thì f là hàm số nghòch biến.
(iii) Nếu
( , ), ( ) 0,x a b f x
thì f là hàm hằng.
Mệnh đề 3.3.5 ở trên kết hợp với đạo hàm bậc hai của f cũng
cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra f có đạt cực trò đòa phương tại một
điểm dừng hay không, cụ thể là
Mệnh đề 3.3.6. Cho
: ( , )f a b
có đạo hàm bậc hai trên (a, b).
(i) Nếu
( ) 0 và ( ) 0f x f x
thì f đạt cực đại đòa phương tại x.
(ii) Nếu
( ) 0 và ( ) 0f x f x
thì f đạt cực tiểu đòa phương tại x.
Chứng minh. Ta chứng minh (ii), phần (i) tương tự. Theo đònh nghóa
về tính khả vi tại x của hàm số
f
, ta có lân cận V của x sao cho

, ( ) ( ) ( ).( ) ( ). ( )t V f t f x f x t x t x t



( ) ( ) ( )( ) 0,f s f x f t s x

nghóa là f đạt cực tiểu đòa phương tại x. Kết thúc chứng minh. 
Mệnh đề 3.3.5 và 3.3.6 là cơ sở cho việc khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thò của hàm số mà sinh viên đã làm quen ở trung học
phổ thông.
Bài tập
1. Cho
1
, ( , ).u v C a b
Giả sử rằng hàm số
u v uv
không triệt tiêu
trên (a, b). Chứng minh rằng giữa hai nghiệm x
1
< x
2
của phương
Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến
11

trình
( ) 0ux
(nếu có nghiệm), có ít nhất một nghiệm của
phương trình
( ) 0.vx

2. Chứng minh rằng nếu
01

x
0
:
12
0 1 1
( 1) 0.
nn
n
na x n a x a

4. Cho
*
( ) 1 (1 ), với , .
mn
f x x x m n
Chứng minh rằng
phương
( ) 0fx
có ít nhất một nghiệm
0
(0,1).x

5. Chứng minh rằng phương trình
0
n
x px q
có
a) tối đa hai nghiệm nếu n chẵn;
b) tối đa ba nghiệm nếu n lẻ.
6. Chứng minh các bất đẳng thức sau

x
x x x x
x

f)
22
tan tan (với 0 );
2
cos cos
x y x y
x y y x
yy

e)
1
arctan (với 1);
42
x
xx

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung
12

g)
2
arctan (với 0);
1
x
x x x
x

Cho
1
()
n
a
f C V
với V
a
là một lân cận của a. Khi đó, với mọi
x thuộc V
a
, ta có khai triển sau đây

()
0
()
( ) ( ) ( ),
!
k
n
k
n
k
fa
f x x a R x
k
(T)
trong đó
( 1)
1

( ) ( ) ( ) .
! ( 1)!
k
n
kn
k
f a Q x
f x x a x a
kn

Xét hàm số F đònh bởi

()
1
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
! ( 1)!
k
n
kn
k
f t Q x
F t f x x t x t
kn

thì rõ ràng
( ) ( ).F x F a
Sinh viên tự kiểm chứng rằng với mọi t
thuộc V

n
a
f C V
với V
a
là một lân cận của a. Giả sử f có đạo
hàm đến bậc n tại điểm a. Khi đó, đa thức

()
0
()
( ) ( ) (với )
!
k
n
k
na
k
fa
P x x a x V
k
(T_P)
là một đa thức xấp xỉ tối hảo đến bậc n của f xung quanh điểm a,
theo nghóa
( ) ( )
lim 0.
()
n
n
xa

k
n
kn
a
k
fa
f x x a x a x V
k

Đại lượng
o( )
n
xa
được gọi là dư số Peano của khai triển Taylor.
Chứng minh. Trường hợp
1n
, theo đònh nghóa đạo hàm của f tại
điểm a thì
1
( ) ( )
( ) ( )
lim lim ( ) 0,
x a x a
f x P x
f x f a
fa
x a x a
nghóa là
đònh lý đúng khi
1n

0
()
( ) ( )
!
k
n
k
n
k
ga
Q t t a
k
và
.
a
tV

Thật vậy, áp dụng đònh lý Lagrange cho hàm G đònh bởi
1
( ) ( ) ( )
n
G t g t Q t
, lưu ý là
( ) 0,Ga
ta có một giá trò x nằm giữa a
và t sao cho

1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).( ),
n

cấp n tại điểm a. Từ giả thiết qui nạp, “đònh lý đúng với n” áp dụng
cho hàm
fg
, ta có

( ) ( )
lim 0
()
n
n
xa
g x P x
xa
với
()
1
1
()
( ) ( )
( 1)!
k
n
k
n
k
ga
P x x a
k
1
(2)

ta
ga
g x x a
g t Q t
k
t a t a
g x P x
xa
x a t a
1

lưu ý trong đẳng thức cuối cùng là do đònh lý kẹp và
()
1.
()
n
n
xa
ta

Vậy ta kết thúc chứng minh. 
Đònh lý 3.4.3 [tính duy nhất của xấp xỉ tối hảo].
Cho
1
()
n
a
f C V
với V
a

fa
a k n
k

Chứng minh. Theo đònh lý 3.4.3, ta có

()
0
()
( ) ( ) o( ) ,
!
k
n
kn
k
fa
f x x a x a
k

do đó
()
0
( ) ( ) ( ) 1
0 lim lim .
!
( ) ( )
k
n
k
n n k