ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÝ ANH TIẾN
LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái
Thái nguyên 2008
1
MỞ ĐẦU
Vấn đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên là một trong những vấn
đề quan trọng của lý thuyết hàm và giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết hệ động lực. Trong những năm gần đây, các kết quả và công cụ của lý
thuyết Nevanlinna được áp dụng rộng rãi vào bài toán phân tích các hàm
nguyên và hàm phân hình.
Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna, đặc biệt
là những phần liên quan đến bài toán phân tích hàm phân hình và trình bày
một số kết quả gần đây trong lý thuyết phân tích hàm nguyên và hàm phân
hình.
Nội dung luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong chương này trình bày các
định lý cơ bản, quan hệ số khuyết và một số ví dụ ứng dụng.
Chương 2: Phương trình hàm
( ) ( )P f Q g
, trong chương này trình
bày về sự tồn tại nghiệm
,f g
đối với phương trình hàm

z a
của hàm
( )f z
được gọi là
a) Điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của
( )f z
khi
z
dần đến a.
b) Cực điểm của
( )f z
nếu
lim ( )
z a
f z

 
.
c) Điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại
lim ( )
z a
f z

.
1.1.3. Định nghĩa. Hàm
( )f z
chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức

được
gọi là hàm nguyên.

. Tập hợp các hàm phân hình sẽ
tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu là
( )
.
1.1.5. Định nghĩa. Điểm
0
z
gọi là cực điểm cấp
0m 
của hàm
( )f z
nếu
trong lân cận của
0
z
, hàm
0
1
( ) ( )
( )
m
f z h z
z z


, trong đó
( )h z
là hàm chỉnh
hình trong lân cận của
0

z
là
cực điểm cấp
1m 
của hàm
( )f z

.
* Nhận xét. Hàm
( )f z
không có quá đếm được các cực điểm trên
D
.
1.1.7. Tính chất. Cho hàm
( )f z
chỉnh hình trong

, điều kiện cần và đủ để
( )f z
không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là
( )f z
là hàm hữu
tỷ.
4
1.2. Định lý cơ bản thứ nhất
1.2.1. Công thức Poisson – Jensen
Định lý: Giả sử
( ) 0f z 

là một hàm phân hình trong hình tròn

log ( ) log ( )
2 2 cos( )
i
R r
f z f Re d
R Rr r



  


  

2 2
1 1
( )
( )
log log
M N
v
v
v
R z a
R z b
R a z R b z



 


. (1.1a)
*Trước hết ta sẽ chứng minh công thức đúng tại
0z 
, nghĩa là cần chứng
minh
2
0
1
log (0) log ( e )
2
i
f f R d






.
Do
( )f z
không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm
log ( )f z
chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:
2
0
1 1
log (0) log ( ) log ( ) .
2 2

tuỳ ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến
R 
thành
1w 
và biến
z 
thành
0.w 
Đó là ánh xạ
2
( )R z
w
R z





,
như vậy
R 
tương ứng với
1w 
. Trên
R 
, ta có:
2
2
( )
log log log log( ) log( ),

, theo định lý Cauchy ta có
1
log ( ) log ( )
2
R
d
f z f
i z



 




. (2*)
Mặt khác
2
2
1 1
log ( ) log ( )
2 2
R R
zd d
f f
R
i R z i
z
 

z

 
là hàm chỉnh hình. Như vậy tích phân
trong vế bên phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có:
2
2
2
( )
1
log ( ) log ( )
2 ( )( )
R
R z d
f z f
i R z z



  



 

. (1.2)
Hơn nữa, trên
R 
,
.

2 2
2
2 2
0
1 ( )
log ( ) log ( )
2 2 cos( )
i
R r d
f z f Re
R Rr r



  


  

. (1.3)
lấy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta được
 
2 2
2
2 2
0
1 ( )
log ( ) log ( )
2 2 cos
i

D

là chu tuyến của
D
và


là các cung lõm vào trên
D

. Như vậy
miền
D

bao gồm những phần trên đường tròn
R 
cùng với các phần lõm
vào của đường tròn nhỏ bán kính

và tâm là các không điểm hoặc cực điểm
( )f z
trên
R 
. Giả sử
i
z re


trong miền
z R

 
 
 
 
 

 
. (1.2a)
Giả sử
0
z
là một không điểm hay cực điểm của
( )f z
trên
z R
và


là cung tròn ứng với
0
z
trên
D

. Khi đó trên
0

,
0
( ) ( )




trong đó
M
là một đại lượng bị chặn. Ta thấy
1
(log ). . 0O M 


khi
0 
Cho
0 
trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích
phân trong vế phải của (1.3) , tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Như vậy ta cũng
thu được công thức (1.3) trong trường hợp này và từ đó suy ra (1.1).
*Trường hợp 3. Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát, tức là
( )f z
có các
không điểm và cực điểm trong
z R
đặt
2
1
2
1
1 ( )
( ) ( ) .
( )

( ) 
không có không điểm hoặc cực điểm trong
R 
.
Như vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm
( ) 
. Hơn thế
nữa, nếu
i
Re

 
thì:
2
( ) ( )
1
( )
R a R a
R a a
 
 
 
  
 
 
 
và
2
( ) ( )
1



  

y y
=
8
2 2
2
2 2
0
1
log ( )
2 2 cos( )
i
R r
f Re d
R Rr r



  


  

. (1.5)
Mặt khác
2 2
1 1

R z a
R z b
f z
R a z R b z



 


  
 
 
.
Thay
log ( )zy
vào (1.5) ta thu được kết quả.
*Ý nghĩa. Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của modulus
( )f z
trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm
( )f z
trong
z R
, thì ta
có thể tìm được giá trị của modulus
( )f z
bên trong đĩa
z R
.
*Nhận xét. Một trường hợp quan trọng của công thức Poisson-Jensen là khi

( ) 0,f z  
. Khi giả thiết không thỏa mãn, tức là
( )f z
có tại 0
cực điểm hoặc không điểm cấp
k
, chỉ cần thay đổi công thức thích hợp bằng
cách xét hàm
( )/
k
f z z
.
1.2.2. Hàm đặc trưng
1.2.2.1. Một số khái niệm
Phần này trình bày khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng và
các tính chất của chúng. Trước hết ta định nghĩa:
log max{log ,0}x x


.
Rõ ràng nếu
0x 
thì
log log log (1/ )x x x
 
 
.
Như vậy:
9
2 2 2



. (1.7)
Gọi
1 2
, , ,
N
r r r
, là các mô đun của các cực điểm
1 2
, , ,
N
b b b
của
( )f z
trong
z R
. Khi đó
0
1 1
log log log ( , )
N N
R
v v
v v
R R R
dn t f
b r t
 
 

r r r R   
. Khi đó
1 2
1
0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
r
N
R r r R
r
dt dt dt dt
n t f n t f n t f n t f
t t t t
   
   
.
Ta thấy rằng:
2
3
0
1
( , ) 2

1
1
2
N
víi
víi
víi

   
=
10
1
2
0
0. 1. .
r
r N
r R
r r
dt dt dt
N
t t t
   
  
3
2
1 2
log | 2log | log |
N
r
r
R
r r r
t t N t   
2 1 3 2
log log 2(log log ) (log log )
N
r r r r N R r      

b t

 


, (1.9)
0
1
1 1
( , ) log ( , )
N
R
v
R dt
N R n t
f a f t


 


. (1.10)
Với cách định nghĩa này thì công thức Jensen (1.6) sẽ được viết lại như sau
log (0) ( , ) ( ,1/ ) ( , ) ( ,1/ )f m R f m R f N R f N R f   
,
hoặc
( , ) ( , ) ( ,1/ ) ( ,1/ ) log (0)m R f N R f m R f N R f f   
.
Bây giờ ta đặt:
( , ) ( , ) ( , )T R f m R f N R f 

( , )T R f
. Chú ý rằng nếu
1
, ,
p
a a
là các số phức thì
p
1
1
log log
p
v
v
v
a a

 





,
và
1, ,
1 1
log log ( max ) log log
p p
v v v

2)
1
1
, ( ) ( , ( ))
p
p
v v
v
v
m r f z m r f z


 

 
 


,
3)
1 1
, ( ) ( , ( ))
p p
v v
v v
N r f z N r f z
 
 

 

 
 
 
 
 
 
,
6)
1
1
, ( ) ( , ( )).
p
p
v v
v
v
T r f z T r f z


 

 
 


12
Trong trường hợp đặc biệt khi
1 2
2, ( ) ( ), ( )p f z f z f z a  
= constant, ta

   
 
   
.
trong đó
( , ) log log2.a R a

 
Ta thường dùng định lý cơ bản thứ nhất dưới dạng
1 1
, , ( , ) (1)m R N R T R f O
f a f a
   
  
   
 
   
,
trong đó
(1)O
là đại lượng giới nội.
*Ý nghĩa. Vế trái trong công thức của định lý đo số lần
f a
và
f
gần
a
, vế
phải là hàm
( , )T r f

,
với
( , ) log log2a R a

 
. Định lý được chứng minh xong.
13
*Nhận xét. Nếu hàm
f
cố định, ta có thể viết
( , ), ( , ), ( , ), ( )m R a N R a n R a T R
lần lượt thay cho
1
( , )m R
f a
,
1
( , )N R
f a
,
1
( , ), ( , )n R T R f
f a
nếu
a
là
hữu hạn và
( , ), ( , ), ( , )m R N R n R  
thay cho
( , ), ( , ), ( , )m R f N R f n R f

Ví dụ 1. Xét hàm hữu tỷ

( )

p
p
q
q
z a
f z c
z b
 

 
, trong đó
0.c 
Đầu tiên giả sử
p q
. Khi đó
( )f z  
khi
z  
, như vậy khi
a
hữu
hạn
( , ) 0m r a 
với mọi
0
r r

Nếu
p q
,
( , ) log (1)T r f q r O 
,
( , ) log (1)N r a q r O 
,
( , ) (1)m r a O
, với
0a 
.
14
Nếu
p q
,
( , ) log (1)N r f q r O 
,
( , ) log (1)N r a q r O 
,
( , ) (1)m r a O
, với
a c
.
Với tính toán trên đây ta thấy rằng trong mọi trường hợp
( , ) .log (1)T r f d r O 
,
( , ) .log (1)N r a d r O 
,
( , ) (1)m r a O
, với

z r i
f z e e
 
 
, với
i
z re


. Khi đó
) cos sin cos
log ( ) log ( log log
i r a ir r
f z f re e e
       
  
cos
log
r
e








víi cos 0
0 víi cos < 0

1 1
( , ) log ( ) cos /
2 2
i
m f a f re d r d r




   
 


  
 
.
Do hàm
z
e
không có không điểm trong
z r
nên
( , ) 0N r f 
. Từ đó ta có
( , ) ( , ) ( , ) /T r f m r N r r     
.
Như vậy
( , ) /T r f r 
.
15

. ( , ) (1)
p
az
pT r e O 
.
Bây giờ ta sẽ tính
( , ).
p
az
T r e
Đặt
.
p
az
g e
( , ) ( , ) ( , ).T r g m r g N r g 
Do
g
chỉnh hình nên
( , ) 0N r g 
suy ra
( , ) ( , ) ( , )
p
az
T r g m r g m r e 
.
2
( )
0
1

0
1
log
2
p
a r p
e d







=
/ 2
/ 2
1
. .cos( )
2
p
p
p
a r p d


 




T r f r O

 
.
Ví dụ 4. Giả sử rằng
( )
z
e
f z e
khi đó ta có thể chứng minh được rằng
3 1/2
( , )
(2 )
r
e
T r f
r

.
(ví dụ này được đưa ra bởi Arakeljan).
Ví dụ 5. Giả sử rằng
( )f z
là một hàm phân hình trong
,z R
và
16
( )
af b
g z
cf d

( , )T r f
ta có
( , ) ( , ) ( , ) log2 ( , ) log log2,T r f c T r f T r c T r f c

      
nên
( , ) ( , ) (1)T r f c T r f O  
;
và
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) logT r cf T r f T r c T r f c

   
,
do đó
( , ) ( , ) (1)T r cf T r f O 
, với
( )f z
là hàm phân hình trong
,z R
c
là
hằng số. Từ đó chúng ta thu được, nếu
0c 
thì
1
( , ) ( , ) (1)

 
v v
f r f T r f O


, với
(0 )r R 
.
17
Chứng minh. Ta áp dụng công thức Jensen (1.6) cho hàm
( )f z a z 
với
1R 
và thu được:
2
0
log 1
1
log
2
log log 0 1
i
a a
a e d
a a a




 

 

  

1
log (0) log ( . ) ( , ) ( , )
2
i i i i
f e f r e e d N r N r e

   


     

.
Lấy tích phân hai vế theo biến

và thay đổi thứ tự lấy tích phân trong
tích phân vế phải ta có:
2 2 2
0 0 0
1 1 1
log (0) log ( . )
2 2 2
i i i
f e f r e e d d
  
  
 
  
 
  
 

    
 
 
  
.
Áp dụng công thức (t) ta có:
2 2
0 0
1 1
log (0) log ( ( , ) ( , )
2 2
i i
f f re d N r N r e d
 
 
 
 
 
   
 
,
Từ đó:
2 2
0 0
1 1
( , ) log ( ) ( , ) log (0)
2 2
i i
N r f re d N r e d f
 



  

, với
(0 )r R 
.
Vậy Định lý được chứng minh.
18
1.2.4.2. Hệ quả 1 Hàm đặc trưng Nevanlinna
( , )T r f
là một hàm lồi tăng của
logr
với
0 r R 
.
Chứng minh. Ta thấy rằng
( , )
i
N r e

hiển nhiên là hàm tăng, lồi của
logr
nên
ta suy ra hàm
( , )T r f
cũng có tính chất như vậy và bổ đề được chứng minh.
Trong trường hợp này chúng ta có:
2
0

( )f z
với
i
a a


chúng ta có:
( , ) ( , ) ( , ) log (0) ( )
i i i
T r f m r e N r e f e G
  
    
,
trong đó
( ) log2G  
. Lấy tích phân hai vế theo biến

ta có:
2 2 2
0 0 0
1 1 1
( , ) ( , ) ( , )
2 2 2
i i
T r f d m r e d N r e d
  
 
  
  
  

.
Như thế
2 2 2
0 0 0
1 1 1
( , ) ( ) log2 log2
2 2 2
i
m r e d G d d
  

   
  
   
  
.
Hệ quả 2 được chứng minh.
19
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Giới thiệu:
Trong mục trước chúng ta đã định nghĩa hàm đặc trưng Nevanlinna và
có được định lý: với mỗi số phức
a
,
( , ) ( , ) ( ) (1)m R a N R a T R O  
. Từ đó
chúng ta cũng thấy rằng tổng
m N
có thể xem là độc lập với
a

1 2
, , ,
q
a a a
là các số phức hữu hạn riêng biệt,
0 
và
v
a a

 
với
1 v q  
. Khi đó:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) ( ) ( )
q
v
v
m r m r a T r f N r S r

    

,
trong đó:
1
( )N r
dương và được định nghĩa bởi:
1

v
a
;
(1 )v q 
, ta xét hàm:
1
1
( )
( ( ) )
q
v
v
F z
f z a




a) Giả sử rằng với một số
v
nào đó.
( ) /3
v
f z a q 
.Khi đó với
v 
, ta có:
2
( ) ( )
3 3

f z a




 
    
 
  

 

.
Từ đó ta có:
1
log ( ) log log2
( )
v
F z
f z a
 
 

.
Trong trường hợp này:
1
1 2
log ( ) log log log2
( )
q

log log log
2
( )f z a

 
  
 

.
nên ta có:
1
1 1 1
log log log
( )
( ) ( )
q
v
v
f z a
f z a f z a
 
 
  
 
 

 
 
21
1 2

f z
f z a
 
  

1
1 1
log log log2
( ) ( )
q
v
f z a f z a
 
 
 
 
  
 
 
1
1 2
log ( 1)log log2
( )
q
q
f z a



 

thì (*) hiển
nhiên đúng.
b) Ngược lại, giả sử
( ) /3
v
f z a q 
,
v
, khi đó có một điều hiển nhiên là:
1
1 3
log ( ) log log log2.
( )
q
v
v
q
F z q
f z a 
  

  


Bởi vì, do
( ) /3
v
f z a q 
v
nên

f z a

 

 


.
22
Từ đó:
1
1
log ( ) 0 log log 3 / log2
( )
q
v
v
F z q q
f z a

  

   


.
Như vậy trong mọi trường hợp ta đều có được:
1
1 3
log ( ) log log log2

F re d q d
f z a
 

 

  

 
  
 
 

 

 
.
Nên
1
3
( , ) ( , ) log log2
q
v
v
q
m r F m r a



  

   
, hay
(0)
, , , , log
(0)
f f f f f
m r N r m r N r
f f f f f
 
       
   
       
  
       
suy ra:
(0)
, , , , log
(0)
f f f f f
m r m r N r N r
f f f f f
 
       
   
       
  
       
(2a)
và ngoài ra ta có:
1 1

+
+
'
(0)
, , log ( , )
(0)
f f f
N r N r m r f F
f f f

   

  
   

   
.
Bất đẳng thức trên kết hợp với (1.14) chúng ta sẽ có:
1
3
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) log log2
q
v
v
q
m r a m r m r F m r f q



     

(0) 1 ( )
log log , ,
(0) 2 ( )
i
i
f f re f f
d N r N r
f f re f f






   
  
   
  
   

Suy ra:
2
0
1 ( ) (0)
, , log log
2 ( ) (0)
i
i
f f f re f
N r N r d

2
i
f re d f




 
 

1 1
, ( , ) , ( , )N r N r f N r N r f
f f
   

   
   

   
.
24
Cuối cùng chúng ta nhận được:
1
1
( , ) ( , ) 2 ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , )
q
v
v
m r a m r T r f N r f N r f N r
f

m r f F m r
f a

 



 

 

và đặt
1
( ) ( ,1/ ) 2 ( , ) ( , )N r N r f N r f N r f
 
  
,
và
1
3 1
( ) , , log log2 log
(0)
q
v
v
f f q
S r m r m r q
f f a f



( , ) log
q
v
v
R
N r f
b



,
trong tổng trên nếu
v
b
là cực điểm bội
k
thì được tính
k
lần. Giả sử
1
, ,
N
b b
là các cực phân biệt của
( )f z
với cấp lần lượt là:
1
, ,
N
k k

k
k
v
c
f z
z b
 

 
