Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
MAI HUY TOÀN
NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN
NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
D R
m
D

= D ∪ {0} D
D


S = {¯y ∈ S | y ∈ S ¯y ≤
K
y}.
K K
W − Min
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S y <
K
¯y},
W − Max
K
S = {¯y ∈ S | y ∈ S ¯y <
K
y}.
S
0
S
s0
S
S
0
= {y
∗
∈ R
m
| y
T
y
∗
≥ 0 ∀y ∈ S},

∈ S
0
\{0}
int(S
0
) = (clS)
s0
S
int(S × T ) = int(S) × int(T )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
K − minf(x),
(V P ) g(x) 
Q
0,
x ∈ M

,
M

R
n
f : R
n
→ R
m
g : R
n
→ R
p
K R

∈ S t
k
> 0, k = 1, 2, ,
limy
k
= y limt
k
(y
k
− y) = d},
P (S) = {αd | α > 0, d ∈ S}.
T (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)).
f K − convexlike M

x
1
, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1), ∃x
3
∈ M

αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3

, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1)
αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(αx
1
+ (1 − α)x
2
) ∈ K.
K K K
K
f
x ∈ M

−f(x) ∈ int(K)
η ∈ K
0
\ {0} η
T
f(x) > 0 x ∈ M

K
f(M

) + int(K)

∈ M

k
1
, k
2
∈ int(K)
c
i
= f(x
i
) + k
i
, i = 1, 2.
αc
1
+ (1 − α)c
2
= αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) + αk
1
+ (1 − α)k
2
.
int(K)
k


∈ M

λ
−1
η + αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ K.
k
∗
∈ K
αc
1
+ (1 − α)c
2
= f(x
3
) + k
∗
+ k

− λ
−1
η.
k
∗
+ k

3
∈ M

α(f(x
1
) + η) + (1 − α)(f(x
2
) + η) ∈ f(x
3
) + int(K),
η + αf(x
1
) + (1 − α)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K).
(iii) ⇒ (i)
(iii) ¯η int(K) η = ε¯η
ε > 0, η ∈ int(K) (iii) ε > 0 x
1
, x
2
∈ M

α ∈ (0, 1) x
3
∈ M

η + αf(x

+
= {α ∈
R
1
| α ≥ 0} (η
T
f)(x) = η
T
f(x) x ∈ R
n
(f, g) K × Q f
f ¯x ∈ M
T (f(M) + K, f(¯x)) = clP (f(M) + K − f(¯x))
= T (f(M) + int(K), f(¯x))
= clP (f(M) + int(K) − f(x)),
T (f(M) + K, f(¯x))
f K M ¯x ∈ M
T (f(M) + K, f(¯x)) = clP (f(M) + K − f(¯x)).
T (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)),
clP (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
T (f(M) + K, f(¯x))
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + K, f(¯x)).
y ∈ P (f(M) + K − f(¯x)).
α ≥ 0, x

∈ M d ∈ K
y = α(f(x

) + d − f(¯x)).

(1/t)d + (1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
) ∈ K.
d
t
= (1/t)d + (1/t
2
)η + (1/t)f(x

) + (1 − 1/t)f(¯x) − f(x
t
),
y
t
= f(x
t
) + d
t
,
β
t
= αt.
d
t
∈ K, y
t


) + d − f(¯x)).
η
0
∈ int(K) εη
0
∈ int(K) ε > 0
f K M ε > 0, λ ∈ (0, 1)
x
1
, x
2
∈ M x
3
:= x(ε, λ, x
1
, x
2
) ∈ M
εη
0
+ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
) − f(x
3
) ∈ int(K).
t = 1, 2, 3, x
t

t
,
β
t
= αt.
y
t
∈ f(M) + int(K),
β
t
≥ 0, t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
t → +∞
lim y
t
= f(¯x),
lim β
t
(y
t
− f(¯x)) = y.
y ∈ T (f(M) + int(K), f(¯x)).
P (f(M) + K − f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(x)).
T (f(M) + int(K), f(x))
clP (f(M) + K, f(¯x)) ⊂ T (f(M) + int(K), f(¯x)).
✷
η ∈ R
m
(P
η

e = 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
(V P )
L(x, Λ) = f(x) + Λg(x), (x, Λ) ∈ M

× Γ.
(¯x,
¯
Λ) ∈ M

× Γ
L(x, Λ)
L(¯x,
¯
Λ) ∈ Min
K
{L(x,
¯
Λ) | x ∈ M

} ∩ Max
K
{L(¯x, Λ) | Λ ∈ Γ},
( L(¯x,
¯
Λ) ∈
W − Min
K
{L(x,
¯

F (x) ≥ 0, x ∈ M,
¯η
T
f(x) ≥ ¯η
T
f(¯x), x ∈ M.
¯x (P
η
) ✷
f ¯x
(V P ) η ∈ K
s0
¯x (P
η
)
¯x (V P )
clP (f(M) + K − f(¯x)) ∩ (−K) = {0}.
clP (f(M) + K − f(¯x))
K
s0
∩ (clP (f(M) + K − f(¯x)))
0
= ∅.
¯η ∈ K
s0
¯η ∈ (clP (f(M) + K − f(¯x)))
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
f(x) − f(¯x) ⊂ clP (f(M) + K − f(¯x)),

P E =

η∈K
s0
E
η
(V P ) f
(f, g) K × Q
¯x ∈ PE m × p
¯
Λ
¯
ΛQ ⊂ K
f(¯x) ∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

},
¯
Λg(¯x) = 0.
¯x ∈ PE ¯η ∈ K
s0
¯η
T
f(¯x) ≤ ¯η
T
f(x), x ∈ M.
¯η

1
+
× Q
0
(¯α, ¯v) = 0
¯α¯η
T
(f(x) − f(¯x)) + ¯v
T
g(x) ≥ 0, x ∈ M

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
¯α¯ηf(x) + ¯v
T
g(x) ≥ ¯α¯η
T
f(¯x), x ∈ M

.
¯α = 0 α = 0
(¯α, ¯v) = 0 ¯v = 0 x

∈ M

g(x

) <
Q
0 ¯v

0
¯
λ
T
g(¯x) = 0.
¯
Λ = e
¯
λ
T
e K ¯η
T
e = 1
¯
ΛQ ⊂ K,
¯
Λ
T
¯η =
¯
λ,
¯
Λg(¯x) = 0.
f(¯x) /∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

},

λ
T
g(x
∗
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
f(¯x) ∈ Min
K
{f(x) +
¯
Λg(x) | x ∈ M

}.
✷
(f, g) K × Q
¯x ∈ PE m × p
¯
Λ
¯
ΛQ ⊂ K
(f, g) K × Q
¯x ∈ WE m×p
¯
Λ
¯
ΛQ ⊂ K
f(¯x) ∈ W − Min
K
{f(x) +
¯