LỜI MỞ ĐẦU
Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài
giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng
tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng
như các đồng nghiệp.
Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006
Tác giả
i
Mục lục
1 Lý thuyết đường 1
1.1 Đườngthamsố 1
1.1.1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R
3
7
1.2.1 Độcong 7
1.2.2 Trường mục tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R
3
15
1.3 Đường tham số trong R
2
(Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Đường tròn mật tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Đường túc b ế và đường thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng . . . . . . . . 23
1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu . . . . . . . . 24

Giả sử c(t)=(x
1
(t),x
2
(t), ,x
n
(t)), thì c khả vi lớp C
k
(k =0, 1, 2, ) có nghĩa
là các hàm thành phần
x
i
: I −→ R
1
Hình học vi phân
khả vi lớp C
k
(k =0, 1, 2, ).
Nếu c là khả vi thì vector c

(t):=(x

1
(t),x

2
(t), ,x

n
(t)) ∈ R

là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v.
Ví dụ 3. Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng
c(t)=(r cos t, r sin t),
2
Hình học vi phân
c(t)=(t, f (t)
a
b
f (a)
f (b)
I
c(I)
Hình 1.1: c(t)=(t, f (t)).
c
I
c(I)
Hình 1.2: c(t)=(x(t),y(t)).
Ví dụ 4. Đường parabol có một tham số hóa dạng
c(t)=(t, t
2
),
Ví dụ 5. Cho đường tham số C với tham số hóa
c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0.
Đường tham số C gọi là đường xoắn ốc. Đường nằm trên mặt trụ x
2
+ y
2
= a
2
với

Ví dụ 8. Ánh xạ c : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t, |t|); t ∈ R,
là tham số hóa của một đường tham số liên tục không khả vi vì hàm y(t)=|t|
không khả vi tại t.
Ví dụ 9. Hai ánh xạ c, r : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t) = (cos t, sin t),
r(t) = (cos 2t, sin 2t);
là hai tham số hóa khác nhau của đường tròn x
2
+ y
2
=1. Chúng xác định hai
đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài
khác nhau.
Ví dụ 10. Hai ánh xạ c, r : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t, t),
r(t)=(t
3
,t
3
);
là hai tham số hóa của cùng một đường thẳng x = y. Chúng xác định hai đường
tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau. Hai đường cong này
mô tả hai chuyển động cùng quỹ đạo nhưng cách chuyển động hoàn toàn khác

0
đến t, với t
0
,t ∈ I, đượ c định nghĩa là số
s(t)=

t
t
0
|c

(t)|dt.
Do c

(t) =0nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và
ds
dt
= |c

(t)|.
Định nghĩa 4. Đường tham số chính qui c : I −→ R
n
, (n =2, 3) với |c(t)| =1, ∀t
gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vị
hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên. Tham số độ dài cung thường được
ký hiệu là s.
Nếu ta có |c

(t)| =1, thì


và r

cùng chiều. Trong trường hợp này ta nói c và r là
tương đương cùng hướng.
3. Cho đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R
n
. Khi đó ta có thể định nghĩa
độ dài của đường tham số c là số
L(c)=

b
a
|c

(t)|dt.
5
Hình học vi phân
Khi đó nếu hai đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R
n
và r :[c, d] −→ R
n
là tương đương thì L(c)=L(r). Thật vậy,
L(c)=

b
a
|c

(t)|dt =



(−s)=−c

(s).
Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau.
Chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.1.1. Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham
số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó.
Chứng minh. Giả sử c : I −→ R
n
là đường tham số với tham số không nhất
thiết là độ dài cung. Xét hàm
s = s(t)=

t
t
0
|c

(t)|dt, t, t
0
∈ I.
Do
ds
dt
= |c

(t)| > 0, hàm s = s(t) có hàm ngược khả vi t = t(s) ∈ s(I)=J. Để đơn
giản về mặt ký hiệu ta dùng t để chỉ hàm ngược của s tức là t = s
−


1
0
|c

(t)|dt =

1
0

a
2
+ b
2
dt =

a
2
+ b
2
.
Đặt
s(t)=

t
0
|c

(t)|dt =


2
,b
s
√
a
2
+ b
2

.
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R
3
Trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số trong R
3
.
1.2.1 Độ cong.
Định nghĩa 6. Cho đường tham số với tham số là độ dài cung c : I −→ R
3
. Số
không âm |c

(s)| gọi là độ cong của c tại s và được ký hiệu là k(s). Khi đó ta có
hàm không âm k : I −→ R, gọi là hàm độ cong của đường tham số c.
Ý nghĩa hình học của độ cong. Gọi θ là góc giữa c

(s) và c

(s + s) (tính bằng
radian) thì
k(s) = lim

c

(s + )
c

(s)
Hình 1.3: Độ cong đo sự tách khỏi tiếp tuyến của đường tham số.
trong đó  → 0 khi s → 0. Từ đây,
lim
→0




θ
s




= lim
s→0





θ
2
sin

s→0
|c

(s)+| = |c

(s)| = k(s).
Do đó có thể nói độ cong k(s) đo sự thay đổi của góc giữa các tiếp tuyến tại s và
tiếp tuyến tại s+ s. Nó cho thấy độ “tách” khỏi tiếp tuyến tại s của đường cong.
Nhận xét.
1. Nếu đường tham số là đường thẳng c(s)=vs + p thì hàm độ cong bằng
không. Ngược lại, nếu đường tham số có k(s)=0, ∀s ∈ I thì dễ dàng chứng
minh được rằng đường có tham số hóa dạng c(s)=vs + p, nghĩa là đường là
đường thẳng (hoặc một phần của đường thẳng).
2. Nếu đảo ngược hướng của đường thì dễ thấy vector tiếp xúc đổi hướng còn
vector c

(s) không thay đổi. Từ đây suy ra vector c

(s) và hàm độ cong là
các bất biến (không thay đổi) không phụ thuộc vào hướng của đường.
8
Hình học vi phân
1.2.2 Trường mục tiêu Frénet.
Định nghĩa 7. Cho đường tham số c : I −→ R
3
. Nếu tại t ∈ I hệ gồm hai vector
{c

(t),c


Chúng ta gọi t(s) là vector tiếp xúc đơn vị tại s; vector n(s) là vector pháp chính
tại s còn vector b(s) là vector trùng pháp tại s.
Như vậy, chúng ta có các hàm vector t, n, b : I −→ R
3
. Tại mỗi s ∈ I (chính xác là
tại mỗi c(s ) ∈ c(I)) chúng ta có một mục tiêu trực chuẩn {c(s); t(s), n(s), b(s)}.
Chúng ta gọi {t, n, b} là trường mục tiêu Frénet dọc đường cong c. Chúng ta còn
có các khái niệm sau:
1. Đường thẳng đi qua c(s) với vector chỉ phương n(s) gọi là pháp tuyến chính.
2. Đường thẳng đi qua c(s) với vector chỉ phương b(s) gọi là trùng pháp tuyến.
3. Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương t(s), n(s) gọi là mặt phẳng
mật tiếp. Như vậy mặt phẳng mật tiếp tại c(s) nhận vector trùng pháp b(s)
làm vector pháp.
9
Hình học vi phân
c(s)
t(s)
Tiếp tuyến
n(s)
Pháp tuyến chính
b(s)
Trùng pháp tuyến
MẬT TIẾP
PHÁP
TRỰC ĐẠC
Hình 1.4: Mục tiêu Frénet.
4. Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương t(s), b(s) gọi là mặt phẳng
trực đạc. Như vậy mặt phẳng trực đạc tại c(s) nhận vector pháp chính n(s)
làm vector pháp.
5. Mặt phẳng đi qua c(s) với cặp vector chỉ phương n(s), b(s) gọi là mặt phẳng

hàm số τ : I −→ R sao cho với mọi s ∈ I
b

(s)=−τ (s).n(s).
10
Hình học vi phân
Ta gọi τ(s) là độ xoắn của đường tại s (hay tại c(s ))vàgọiτ là hàm độ xoắn của
c.
Độ cong và độ xoắn là các bất biến hình học giúp chúng ta biết được nhiều về
dáng điệu địa phương của đường trong các lân cận. Chúng ta thử tính đạo hàm
của n(s).
n

= b

∧ t + b ∧ t

= −τ.(n ∧ t)+k.(b ∧ n)=τb − kt.
Chúng ta sẽ gọi các công thức





t

(s)=kn
n

(s)=−kt + τ b

Bổ đề 1.2.1. Cho đường tham số chính qui với tham số độ dài cung c : I −→ R
3
,
với k(s) > 0, ∀s ∈ I. Khi đó hàm độ xoắn τ =0khi và chỉ khi c là một đường
cong phẳng, nghĩa là vết của nó nằm trên một mặt phẳng.
Chứng minh. Giả sử τ =0. Theo công thức Frénet b

=0. Ta suy ra b = a
(const.) với |a| =1. Do b.t =0, tức là a.c

=0, ta suy ra a.c = λ (const.). Chọn
11
Hình học vi phân
s
0
∈ I cố định, ta có
a(c(s) −c(s
0
))=0, ∀s ∈ I.
Do đó, vết của c nằm trên mặt phẳng đi qua p = c(s
0
) với pháp vector là a.
Ngược lại, giả sử vết của c nằm trên mặt phẳng đi qua điểm p với pháp vector a
nào đó. Ta có
a(c(s) − p)=0, ∀s ∈ I. (1.2)
Đạo hàm 1.2 ta nhận được
c

(s).a = c


(−kt + τ b)
=0.
Do đó γ = cons., hay c(s)+
1
k
n(s)=p (const.), ∀s ∈ I.
Nếu gọi Π là mặt phẳng chứa c(I), thì Π nhận b=const. làm pháp vector. Do
c(s) − p = −
1
k
n(s), ta suy ra p ∈ Π và |c(s) − p| =
1
k
, ∀s ∈ I, tức là c(s) thuộc
đường tròn tâm p bán kính

1
k
trong mặt phẳng Π.
12
Hình học vi phân
Mệnh đề 1.2.3 ( Áp dụng của công thức Frénet.). Cho c : I −→ R
3
là đường
tham số chính qui với tham số độ dài cung. Nếu C nằm trên mặt cầu tâm O bán
kính r>0 thì
k ≥
1
r
.

Để các khái niệm trường mục tiêu Frénet, độ cong độ xoắn mang ý nghĩa trực
quan về mặt hình học, chúng ta sẽ định nghĩa độ cong k(t), độ xoắn τ(t), trường
mục tiêu Frénet {t(t), n(t), b(t)} của c tại t chính là các độ cong
k(s(t)), độ xoắn
τ (s(t)), trường mục tiêu Frénet {t(s(t)), n(s(t)), b(s(t))}của c tại s(t). Như vậy,
chúng ta có các định nghĩa:
k(t):=
k(s(t)),
τ (t):=
τ (s(t)),
t(t):=
t(s(t)),
n(t):=
n(s(t)),
b(t)} :=
b(s(t)).
13
Hình học vi phân
Bổ đề 1.2.4. Với các ký hiệu như trên, chúng ta có
t

= k|c

|n
n

= −k|c

|t + τ |c


∧ c

|c

∧ c

|
;
k =
|c

∧ c

|
|c

|
3
; τ =
(c

∧ c

).c

|c

∧ c

|


|, ta
có
t =
c

|c

|
.
Ta tính c

.
c

=(s

t)

= s

t + s

t

= s

t + s

(ks

> 0, nên |c

∧ c

| = k(s

)
3
. Từ đây suy ra
b =
c

∧ c

|c

∧ c

|
,
14
Hình học vi phân
và
k =
|c

∧ c

|
|c


t + τs

b)+{thành phần không chứa b}
= kτ(s

)
3
b + {thành phần không chứa b}
Do đó
(c

∧ c

).c

=(k (s

)
3
b)(kτ(s

)
3
b
= k
2
(s

)




d(ϕ ◦c)
dt




dt =

b
a




ϕ

dc
dt





dt =

b
a

, b
β
}, với {t, n, b} là mục tiêu Frénet tại α(s
0
) và
{t
β
, n
β
, b
β
}, là mục tiêu Frénet tại β(s
0
).
Gọi A : R
3
−→ R
3
là phép dời thuận biến mục tiêu trực chuẩn {β(s
0
); t
β
, n
β
, b
β
}
thành {α(s
0
); t, n, b} và đặt α := A ◦ β, t := A ◦ t

n

= −kt + τb n

= −kt + τb
b

= τn b

= τn
Xét ánh xạ F := (t − t)
2
+(n − n)
2
+(b − b)
2
. Ta có
dF
ds
= 2[(t −
t)(t

− t

)+(n − n)(n

− n

)+(b − b)(b


(Đường tham số phẳng)
Nếu chọn hệ tọa thích hợp thì mọi đường tham số phẳng đều có thể xem như là
đường tham số trong R
2
. Chính vì thế trong mục này chúng ta chỉ xét các đường
tham số dạng c : I −→ R
2
. Giả sử c : I −→ R
2
là đường tham số chính qui với
tham số độ dài cung trong R
2
với định hướng chính tắc. Ta đặt
t(s)=c

(s),
và chọn n(s) sao cho {t(s), n(s)} là một hệ trực chuẩn với định thức dương. Ta
gọi {t, n} là trường mục tiêu Frénet của c. Khi đó ta có
n(s)=k(s)c

(s), ∀s ∈ I.
Ta gọi k(s) là độ cong đại số của c tại s ( hay của C = c(I) tại c(s)).
Nhận xét.
1. Cho đường tham số c : I −→ R
2
với tham số bất kỳ, ta luôn có đường tham
số với tham số độ dài cung
c : J −→ R
2
tương đương với c. Chúng ta cũng

= s

c

= s

t;
c

=(s

)
2
t

+ s

t = k(s

)
2
n + s

t.
17
Hình học vi phân
Từ đây suy ra,
t =
c



)
2
+(y

)
2
(x

,y

); n =
1

(x

)
2
+(y

)
2
(−y

,x

).
Do đó
k =
x


(t)=(0, −sin t)
.
Nên
t(t)=
1
√
1 + cos
2
t
(1, cos t);
n(t)=
1
√
1 + cos
2
t
(−cos t, 1).
Do đó
k(t)=
c

(t).n(t)
|c

(t)|
2
=
−sin(t)
(1 + cos

với trường hợp đường tham số trong R
3
.
Thật vậy, giả sử c(s)=(x(s),y(s)) là đường tham số cần tìm. Do (x

(s))
2
+
(y

(s))
2
=1nên
x

(s) = cos ϕ(s); y

(s) = sin ϕ(s).
Ta có,
t

(s)=ϕ

(s)(−sin ϕ(s), cos ϕ(s));
n(s)=(−sin ϕ(s), cos ϕ(s)).
Do t

(s)=k(s)n(s), ta suy ra
ϕ


Như vậy, vết của đường tham số là đường tròn tâm O, bán kính
1
|a|
.
1.3.2 Đường tròn mật tiếp
Cho đường tham số c : I −→ R
2
với tham số độ dài cung. Đường tròn mật tiếp
tại s
0
∈ I, với k(s
0
) =0, của c là đường tròn tâm c(s
0
)+
1
k(s
0
)
n(s
0
), bán kính
1
|k(s
0
)|
. Tâm của tròn mật tiếp tại s
0
của c còn gọi là tâm cong hay khúc tâm tại
s

y

(−y

,x

).
Do đó,
X = x −
[(x

)
2
+(y

)
2
]
x

y

− x

y

y

,
Y = y +

hàm độ cong và {t, n} là trường mục tiêu Frênet của β. Khi đó α có một tham số
hóa dạng
α(s)=β(s)+a(s)n(s).
Ta tính α

α

(s)=t(s)+a(s)n

(s)+a

(s)n(s)
=[1−k(s)a(s)]t(s)+a

(s)n(s).
Do 0 = α

(s) cùng phương với n(s), với mọi s ∈ I nên ta phải có

a

(s) =0 ∀s ∈ I
1 − k(s)a(s)=0
.
Như vậy nếu k(s) =0,k

(s) = 0); ∀s ∈ I thì
α(s)=β(s)+
1
k(s)


ds =




1
k(b)
−
1
k(a)




.
Như vậy, độ dài của đường túc bế trên đoạn [a, b] chính là giá trị tuyệt đối của
hiệu hai bán kính cong tại a và b của đường thân khai.
Ví dụ 15. Xét ellipse với tham số hóa
β(t)=(a cos t, b sin t).
21
Hình học vi phân
Ta có quỹ tích tâm của đường tròn mật tiếp là đường tham số
X(t)=
a
2
− b
2
a
cos

=[1+b

(s)]t + b (s)k(s)n(s).
Theo định nghĩa của đường thân khai ta có β

(s) cùng phương với n(s) với mọi
s ∈ I. Do đó ta có các điều kiện

1+b

(s)=0. ∀s ∈ I
b(s)α

(s) =0
.
Do đó nếu α

(s) =0, ∀s ∈ I, thì có vô số đường thân khai (chọn C ∈ [a, b])có
dạng
β(s)=α(s)+(C − s)α

(s).
22