LỜI MỞ ĐẦU
Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài
giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng
tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng
như các đồng nghiệp.
Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006
Tác giả
i
Đạt Ma Trung
1
Mục lục
1 Lý thuyết đường 1
1.1 Đườngthamsố 1
1.1.1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R
3
7
1.2.1 Độcong 7
1.2.2 Trường mục tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R
3
15
1.3 Đường tham số trong R
2
(Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Đường tròn mật tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Đường túc b ế và đường thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21

. . . thì tương ứng ta nói C là
đường tham số liên tục, khả vi lớp C
k
, khả vi lớp C
∞

Giả sử c(t)=(x
1
(t),x
2
(t), ,x
n
(t)), thì c khả vi lớp C
k
(k =0, 1, 2, ) có nghĩa
là các hàm thành phần
x
i
: I −→ R
1
Đạt Ma Trung
4
Hình học vi phân
khả vi lớp C
k
(k =0, 1, 2, ).
Nếu c là khả vi thì vector c

(t):=(x


Ví dụ 1. Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y = f(x) với miền xác định
I ⊂ R như là vết của đường tham số c : I −→ R
2
; c(t)=(t, f(t)).
Ví dụ 2. Đường tham số (với tham số hóa)
c(t)=p + tv ∈ R
n
,
là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v.
Ví dụ 3. Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng
c(t)=(r cos t, r sin t),
2
Đạt Ma Trung
5
Hình học vi phân
c(t)=(t, f (t)
a
b
f (a)
f (b)
I
c(I)
Hình 1.1: c(t)=(t, f (t)).
c
I
c(I)
Hình 1.2: c(t)=(x(t),y(t)).
Ví dụ 4. Đường parabol có một tham số hóa dạng
c(t)=(t, t
2

3
− 4t, t
2
− 4); t ∈ R,
là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C
∞
. Chú ý rằng c(2) = c(−2) =
(0, 0), tức là ánh xạ c không đơn ánh.
3
Đạt Ma Trung
6
Hình học vi phân
Ví dụ 8. Ánh xạ c : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t)=(t, |t|); t ∈ R,
là tham số hóa của một đường tham số liên tục không khả vi vì hàm y(t)=|t|
không khả vi tại t.
Ví dụ 9. Hai ánh xạ c, r : R −→ R
2
, xác định bởi
c(t) = (cos t, sin t),
r(t) = (cos 2t, sin 2t);
là hai tham số hóa khác nhau của đường tròn x
2
+ y
2
=1. Chúng xác định hai
đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài
khác nhau.

Đường tham số c : I −→ R
n
gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm đều là
điểm chính qui, tức là c

(t) =0với mọi t ∈ I.
4
Đạt Ma Trung
7
Hình học vi phân
Định nghĩa 3. Độ dài cung của một đường tham số chính quy c : I −→ R
n
, từ
điểm t
0
đến t, với t
0
,t ∈ I, đượ c định nghĩa là số
s(t)=

t
t
0
|c

(t)|dt.
Do c

(t) =0nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và
ds

Nhận xét.
1. Dễ nhận thấy nếu đường tham số c là chính qui và r là đường tham số tương
đương với nó thì r cũng chính qui. Nếu ϕ

< 0, thì c

và r

ngược chiều nhau.
Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương ngược hướng.
2. Nếu ϕ

> 0, thì c

và r

cùng chiều. Trong trường hợp này ta nói c và r là
tương đương cùng hướng.
3. Cho đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R
n
. Khi đó ta có thể định nghĩa
độ dài của đường tham số c là số
L(c)=

b
a
|c

(t)|dt.
5

d
c
|(r

(τ )|dτ
Ví dụ 11. Cho c : I −→ R
n
là đường tham số chính qui với tham số là độ dài cung
với I =(a, b). Ta xác định đường tham số r :(−b, −a) −→ R
n
,r(−s)=c(s). Khi
đó dễ thấy vết của c và r là trùng nhau, |r

(−s)| = |c

(s)|, nhưng r

(−s)=−c

(s).
Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau.
Chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.1.1. Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham
số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó.
Chứng minh. Giả sử c : I −→ R
n
là đường tham số với tham số không nhất
thiết là độ dài cung. Xét hàm
s = s(t)=


ds
dt

−1
| =1.
Như vậy β là đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương với c.
Ví dụ 12. Cho đường tham số
c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0.
Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] (độ dài của đường từ điểm 0
đến 1) và xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c.
6
Đạt Ma Trung
9
Hình học vi phân
Ta có
L(c|
[0,1]
)=

1
0
|c

(t)|dt =

1
0

a
2

2
.
Như vậy ta có tham số hóa với tham số là độ dài cung
r(s)=

a cos
s
√
a
2
+ b
2
,asin
s
√
a
2
+ b
2
,b
s
√
a
2
+ b
2

.
1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R
3

Thật vậy, ta có
|2 sin
θ
2
| = |c

(s + s) − c

(s)| = |s(c

(s)+)|,
7
Đạt Ma Trung
10
Hình học vi phân
c(s + )
c

(s)
θ
c

(s + )
c

(s)
Hình 1.3: Độ cong đo sự tách khỏi tiếp tuyến của đường tham số.
trong đó  → 0 khi s → 0. Từ đây,
lim
→0



= lim
s→0





θ
2
sin
θ
2





. lim
s→0
|c

(s)+| = |c

(s)| = k(s).
Do đó có thể nói độ cong k(s) đo sự thay đổi của góc giữa các tiếp tuyến tại s và
tiếp tuyến tại s+ s. Nó cho thấy độ “tách” khỏi tiếp tuyến tại s của đường cong.
Nhận xét.
1. Nếu đường tham số là đường thẳng c(s)=vs + p thì hàm độ cong bằng

|c

(s)| =1, nên suy ra c

(s).c

(s)=0. Nói cách khác c

(s) ⊥ c

(s). Chúng ta đặt
t(s):=c

(s),
n(s):=
1
k(s)
c

(s)
và
b(s):=t(s) ∧ n(s).
Chúng ta gọi t(s) là vector tiếp xúc đơn vị tại s; vector n(s) là vector pháp chính
tại s còn vector b(s) là vector trùng pháp tại s.
Như vậy, chúng ta có các hàm vector t, n, b : I −→ R
3
. Tại mỗi s ∈ I (chính xác là
tại mỗi c(s ) ∈ c(I)) chúng ta có một mục tiêu trực chuẩn {c(s); t(s), n(s), b(s)}.
Chúng ta gọi {t, n, b} là trường mục tiêu Frénet dọc đường cong c. Chúng ta còn
có các khái niệm sau:

của đường tại s.
1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet
Cho c : I −→ R
3
là đường cong song chính qui với trường mục tiêu Frénet {t, n, b}.
Do | b(s)| =1, ta suy ra b(s) ⊥ b

(s). Mặt khác
b

(s)=(t(s) ∧ n(s))

= t

(s) ∧ n(s)+t(s) ∧n

(s)=t(s) ∧ n

(s).
Từ đây ta suy ra b

(s) ⊥ t(s) và do đó b

(s)cùng phương với n(s). Như vậy có
hàm số τ : I −→ R sao cho với mọi s ∈ I
b

(s)=−τ (s).n(s).
10
Đạt Ma Trung

là công thức Frénet.
Nói một cách hình tượng, một đường cong trong trong không gian R
3
là vật thể
nhận được bằng cách lấy một đoạn thẳng (hay cả đường thẳng) rồi uốn cong (ta
có độ cong) và xoắn nó (ta có độ xoắn).
Ý nghĩa hình học của độ xoắn. Nếu gọi θ là góc giữa b(s) và b(s + s) (tính
bằng radian) thì đây cũng là góc giữa mặt phẳng mật tiếp tại s và mặt phẳng mật
tiếp tại s + s. Khi đó
|τ (s)| = lim
s→0




θ
s




.
Phép chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh cho trường hợp độ cong.
Do đó có thể nói độ xoắn τ(s) đo sự thay đổi của góc giữa các trùng pháp tuyến
(hay mặt phẳng mật tiếp) tại s và trùng pháp tuyến (hay mặt phẳng mật tiếp)
tại s + s. Nó cho thấy độ “tách” khỏi mặt phẳng mật tiếp tại s của đường cong.
Bổ đề 1.2.1. Cho đường tham số chính qui với tham số độ dài cung c : I −→ R
3
,
với k(s) > 0, ∀s ∈ I. Khi đó hàm độ xoắn τ =0khi và chỉ khi c là một đường

ra b = const Do đó b

=0và τ =0.
Bổ đề 1.2.2. Cho c : I −→ R
3
là đường tham số chính qui phẳng (τ =0) với
tham số độ dài cung. Khi đó nếu k = const. > 0 thì vết của c là một đường tròn
(hoặc là một phần của đường tròn).
Chứng minh. Xét hàm vector γ : I −→ R
3
, xác định bởi:
γ(s)=c(s)+
1
k
n(s).
Ta có
γ

= c

+
1
k
n

= t +
1
k
(−kt + τ b)
=0.

Thật vậy, do c(s) nằm trên mặt cầu với mọi s ∈ I nên
c.c = r
2
.
Đạo hàm hai vế, ta có 2c.c

=0hay c.t =0Đạo hàm hai vế một lần nữa, ta được
c

.t + c.t

=0
⇔t.t + k.c.n =0
Suy ra k|c.n| =1. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có |c.n|≤|c|.|n| = r.
Do đó, k =
1
|c.n|
≥
1
r
.
1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn
Cho c : I −→ R
3
là đường tham số song chính qui với tham số bất kỳ t và
c : J −→ R
3
đường tham số với tham số độ dài cung tương đương với c.Tacó
c(t)=
c(s(t)), ∀t ∈ I.

|t + τ |c

|b
b

= −τ|c

|n
.
Chứng minh. Ta có
t

= t

s

=(kn)s

= k|c

|n.
Chứng minh cho các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự. ✷
Bổ đề 1.2.5. Ta có các công thức sau đối với đường tham số bất kỳ
t =
c

|c

|
; n = b ∧ t; b =


|
2
=
det(c

,c

,c

)
|c

∧ c

|
2
.
Chứng minh. Do c =
c(s) nên c

= c

(s)s

= t(s)s

= ts

. Chú ý rằng s


(ks

n)
= s

t + k(s

)
2
n
.
Từ đây ta tính được
c

∧ c

=(s

t) ∧ (s

t + k(s

)
2
n)=k(s

)
3
b.

∧ c

|
|c

|
3
.
Do b = t ∧ n nên n = b ∧ t.
Để tính công thức độ xoắn, ta chỉ cần tính thành phần của c

có chứa b.Tacó
c

=(s

t + k(s

)
2
n)

= k(s

)
2
n

+ {thành phần không chứa b}
= k(s

2
(s

)
6
τ = |c

∧ c

|
2
τ.
Ta có điều cần phải chứng minh. ✷
1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R
3
Định lý 1.2.6. Với các hàm khả vi k(s) > 0 và τ(s),s∈ I, cho trước, tồn tại một
đường tham số song chính qui c : I −→ R
3
sao cho s là độ dài cung, k là hàm độ
cong và τ là hàm độ xoắn của c. Hơn nữa hai đường tham số song chính qui như
thế sai khác với nhau một phép dời thuận.
Chứng minh. Chứng minh sự tồn tại liên quan đến định lý tồn tại và duy nhất
nghiệm của phương trình vi phân thường. Chúng ta chấp nhận sự tồn tại và chỉ
trình bày chứng minh tính duy nhất sai khác phép dời thuận.
Chú ý rằng độ dài cung, độ cong và độ xoắn là các bất biến đối với phép dời thuận.
Ví dụ, giả sử ϕ : R
3
−→ R
3
là một phép dời thuận, khi đó ta có

dt =

b
a




dc
dt




dt.
Như vậy, độ dài cung bất biến đối với phép dời thuận. Các khái niệm độ cong và
độ xoắn được tính thông qua tích vô hướng, tích vector của các đạo hàm. . . đều
không thay đổi qua phép dời thuận nên cũng là các bất biến (xem bài tập ??).
15
Đạt Ma Trung
18
Hình học vi phân
Giả sử α, β : I −→ R
3
là hai đường tham số chính qui với tham số độ dài cung
nhận k và τ làm hàm độ cong và độ xoắn. Lấy s
0
∈ I, xét hai mục tiêu trực chuẩn
{α(s
0

, b
β
}
thành {α(s
0
); t, n, b} và đặt α := A ◦ β, t := A ◦ t
β
, n := A ◦ n
β
, b := A ◦ b
β
.
Rõ ràng ta có
α(s
0
)=α(s
0
); t(s
0
)=t(s
0
); n(s
0
)=n(s
0
); b(s
0
)=b(s
0
). (1.4)

)+(n − n)(n

− n

)+(b − b)(b

− b

)]
=2[k(t − t)(n − n) − k(n − n)(t −t)+τ (n − n)(b −b) − τ(b − b)(n − n)]
=0.
Suy ra F là hàm hằng. Từ 1.4 ta suy ra F =0. Điều này có nghĩa là với mọi s ∈ I
t(s)=
t(s); n(s )=n(s); b(s)=b(s).
Lại do α

= t = t = α

, nên
d
ds
(α −
α)=0.
Tức là α −
α = a là hàm hằng. Vì α(s
0
)=α(s
0
), ta suy ra a =0, tức là
α =

Nhận xét.
1. Cho đường tham số c : I −→ R
2
với tham số bất kỳ, ta luôn có đường tham
số với tham số độ dài cung
c : J −→ R
2
tương đương với c. Chúng ta cũng
sẽ định nghĩa trường mục tiêu Frénet, độ cong đại số của c như đã làm đối
với đường tham số trong R
3
.
2. Độ cong đại số của đường tham số trong R
2
có thể âm. Điều đó phụ thuộc
vào hệ vector {c

(s),c

(s)} là thuận hay nghịch (so với hướng chính tắc trong
R
2
). Đường tham số phẳng có thể xét như là một đường tham số trong R
3
,
khi đó độ cong và độ cong đại số của nó bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
3. Chúng ta có thể xây dựng công thức xác định trường mục tiêu Frénet và độ
cong đại số của đường tham số phẳng với tham số bất kỳ như sau. Giả sử
c : I −→ R
2


t.
17
Đạt Ma Trung
20
Hình học vi phân
Từ đây suy ra,
t =
c

|c

|
; k =
c

n
|c

|
2
.
Giả sử c(t)=(x(t),y(t)). Khi đó
c

=(x

,y

); c

)
2
(−y

,x

).
Do đó
k =
x

y

− x

y

[(x

)
2
+(y

)
2
]
3
2
.
4. Nếu đường tham số là đường tròn c(s)=(r cos(s),rsin(s)),r>0, thì hàm

c

(t).n(t)
|c

(t)|
2
=
−sin(t)
(1 + cos
2
t)
3
2
.
Chúng ta nhận thấy





k(t) > 0 t ∈ (−π +2kπ, 2kπ)
k(t)=0 t = kπ
k(t) < 0 t ∈ (2kπ, π +2kπ)
.
18
Đạt Ma Trung
21
Hình học vi phân
Hình vẽ

Ta có,
t

(s)=ϕ

(s)(−sin ϕ(s), cos ϕ(s));
n(s)=(−sin ϕ(s), cos ϕ(s)).
Do t

(s)=k(s)n(s), ta suy ra
ϕ

(s)=k(s).
Vậy,
ϕ(s)=

k(s)ds;
x(s)=

cos ϕ(s)ds;
y(s)=

sin ϕ(s)ds.
Ví dụ 14. Cho k(s)=a = cons Ta có,
ϕ(s)=

ads = as + b.
19
Đạt Ma Trung
22

k(s
0
)
n(s
0
), bán kính
1
|k(s
0
)|
. Tâm của tròn mật tiếp tại s
0
của c còn gọi là tâm cong hay khúc tâm tại
s
0
của c.
Nhận xét.
1. Khi thay đổi hướng của đường tham số thì c

đổi hướng, c

không đổi hướng,
n đổi hướng và k đổi dấu. Từ đây suy ra tâm của đường tròn mật tiếp và do
đó đường tròn mật tiếp không phụ thuộc vào hướng của đường tham số.
2. Giả sử c : I −→ R
2
là đường tham số với tham số bất kỳ. Gọi (X(t),Y(t)) là
tọa độ của tâm đường tròn mật tiếp tại t. Ta có
(X, Y )=(x, y)+
[(x

2
]
x

y

− x

y

y

,
Y = y +
[(x

)
2
+(y

)
2
]
x

y

− x

y

(s)n(s).
Do 0 = α

(s) cùng phương với n(s), với mọi s ∈ I nên ta phải có

a

(s) =0 ∀s ∈ I
1 − k(s)a(s)=0
.
Như vậy nếu k(s) =0,k

(s) = 0); ∀s ∈ I thì
α(s)=β(s)+
1
k(s)
n(s). (1.5)
Từ 1.5 ta suy ra rằng, vết của α là quỹ đạo các tâm đường tròn mật tiếp của β.
Nhận xét. Xét độ dài đường túc bế trên đoạn [a, b] ⊂ I.

b
a
|α

(s)|ds =

b
a
|a



.
Như vậy, độ dài của đường túc bế trên đoạn [a, b] chính là giá trị tuyệt đối của
hiệu hai bán kính cong tại a và b của đường thân khai.
Ví dụ 15. Xét ellipse với tham số hóa
β(t)=(a cos t, b sin t).
21
Đạt Ma Trung
24
Hình học vi phân
Ta có quỹ tích tâm của đường tròn mật tiếp là đường tham số
X(t)=
a
2
− b
2
a
cos
3
t,
Y (t)=
a
2
− b
2
a
sin
3
t.
hình vẽ


(s) =0
.
Do đó nếu α

(s) =0, ∀s ∈ I, thì có vô số đường thân khai (chọn C ∈ [a, b])có
dạng
β(s)=α(s)+(C − s)α

(s).
22
Đạt Ma Trung
25