ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————o0o————
NGỤY THỊ THANH HẢI
MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN
TRONG KINH TẾ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2009
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————o0o————
NGỤY THỊ THANH HẢI
MỘT SỐ MÔ HÌNH DẠNG VI PHÂN, SAI PHÂN
TRONG KINH TẾ
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN SINH BẢY
Hà Nội - 2009
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân
dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy đã giành nhiều công sức, thời gian
để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ em trong việc nắm bắt các kiến thức chuyên
ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy trong Khoa Toán - Tin - Cơ, phòng Sau
Đại học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức và những điều tốt đẹp mang
lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy,
các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Xin chân thành cảm ơn lãnh
đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Trường THPT Chương Mỹ B về sự ủng
hộ quý giá, về những điều kiện thuận lợi. Xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn

ii
Bảng ký hiệu
a Hệ số khuếch tán lao động
b Hệ số di cư lao động
c Tỷ lệ gia tăng Vốn - đầu ra (thu nhập quốc dân)
L Lao động
K Vốn
R Tỷ số Vốn - Lao động
s Hệ số tiết kiệm
X Hàm chi phí
Y Hàm sản xuất
µ Hệ số trượt giá
iii
Mở đầu
Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu
tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa
bằng mô hình toán học. Để xây dựng mô hình toán cần thiết phải đưa vào các
giả thiết nhằm đơn giản hóa mô hình. Đây là một vấn đề rất khó khăn và phức
tạp, không có một mô hình nào có thể mô tả đầy đủ mọi vấn đề kinh tế cần giải
thích và phải chấp nhận những sai khác với mức độ nhất định so với thực tế.
Một mô hình kinh tế quá đơn giản thì ta có thể dễ dàng xây dựng và giải mô
hình đó, nhưng nó thiếu tính chính xác khi bỏ qua nhiều yếu tố quan trọng của
thực tiễn. Một mô hình kinh tế quá phức tạp có đầy đủ các yếu tố thực tiễn thì
sẽ phải sụp đổ dưới sức nặng của chính nó. Do vậy ta cần phải dựa vào quan
sát và các số liệu thống kê để đưa ra một mô hình vừa đủ để có thể giải quyết
được, nhưng cũng đủ để đưa ra những dự báo, những giải thích, đánh giá có độ
tin cậy. Các mô hình này thường được mô tả bởi các phương trình vi phân hoặc
sai phân. Trong các mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô
hình và để khảo sát tính ổn định của mô hình ta sử dụng lý thuyết ổn định. Lý
thuyết này đã được xây dựng cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga V. I.

Định nghĩa 1.1. Giả sử x = x
∗
(t) là một nghiệm của hệ (1.1). Nói nghiệm này
ổn định nếu: ∀ t
0
≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t
0
) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1)
thỏa mãn: ||x(t
0
) − x
∗
(t
0
)|| < δ thì ||x(t) − x
∗
(t)|| < , ∀ t ≥ t
0
.
Nếu x = x
∗
(t) ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại δ
1
> 0, sao cho:
x(t
0
) − x
∗
(t
0

Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản, có thể
tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp (được trình
bày trong chương 2 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính ổn định bằng
phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng
thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đẳng thức
mở rộng).
a. Phương pháp thứ nhất Liapunov
Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn
giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự:
- Hệ tuyến tính thuần nhất dừng.
- Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng.
- Hệ tuyến tính.
- Hệ tựa tuyến tính.
- Hệ phi tuyến.
Hệ tuyến tính thuần nhất dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng
˙x = Ax (1.2)
t ≥ 0, x ∈ X.
Phổ của hệ (1.2) là tập
σ(A) = {λ ∈ C : (A − λI) không khả nghịch}.
Nếu A là ma trận hằng cỡ n × n thì
σ(A) = {λ ∈ C : det(A − λI) = 0}.
Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực âm thì hệ (1.2)
là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x ≡ 0 là ổn định tiệm
cận).
- Nếu mọi phần tử của phổ σ(A) đều có phần thực không dương và các phần tử
có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định.
- Nếu σ(A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định.
Tiêu chuẩn Hurwitz. Với A là ma trận hằng, cỡ n × n, việc tìm phổ σ(A) là
khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lý 1.2) để xét








a
1
a
0
0 0 0 . . . 0
a
3
a
2
a
1
a
0
0 . . . 0
a
5
a
4
a
3
a
2
a

. . . a
n









,
trong đó a
s
= 0 khi s < 0 hoặc s > n.
.
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng
Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng
˙x = A(t)x. (1.3)
Với hệ này ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây dựng
phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2).
Định nghĩa 1.2. Giả sử x = x(t) là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới hạn
χ[x] = lim
t→+∞
1
t
lnx(t)
là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác ±∞ của
tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này.
Định lí 1.3. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R

+
và α(t) → 0 khi t → +∞ thì hệ
(1.5) ổn định.
Có thể thay điều kiện α(t) → 0 khi t → +∞ bởi điều kiện

+∞
0
α(t)dt ≤ c < +∞.
Hệ phi tuyến
Hệ phi tuyến là hệ có dạng
˙x = f(t, x)
f(t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0.
(1.6)
Giả sử hàm f(t, x) đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor f(t, x) tại x = 0 ta
có
f(t, x) =
∂f(t, 0)
∂x
x + g(t, x)x,
trong đó g(t, x) = 0(||x||). Đặt A(t) =
∂f(t, 0)
∂x
ta đưa hệ (1.6) về dạng
˙x = A(t)x + g(t, x).
Vậy, nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận
∂f(t, 0)
∂x
đều âm (hay số mũ cực đại
âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận.
5

(1,1)
t,x
(R
+
× D)
được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu:
i) V (t, 0) = 0 ∀ t ≥ 0.
ii) Tồn tại hàm a ∈ K sao cho
a(||x||) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R
+
× D.
iii) d
f
V (t, x) =
∂V
∂t
+
∂V
∂t
f(t, x) ≤ 0, ∀ (t, x) ∈ R
+
× D.
Trường hợp V (t, x) là hàm Liapunov và tồn tại b, c ∈ K sao cho
V (t, x) ≤ b(||x||) ∀(t, x) ∈ R
+
× D,
d
f
V (t, x) ≤ −c(||x||) ∀t ∈ R
+

lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong
phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và
thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất của các biến,
mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ dữ liệu liên
quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau:
- Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp hoặc
gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân. Tổng quát hơn, biến nội sinh là các
biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình.
- Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của các
tác nhân trong mô hình. Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học
được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế. Biến ngoại sinh còn được
gọi là các tham biến.
Tùy vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội
sinh và biến nào là biến ngoại sinh.
7
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
Xây dựng và phân tích mô hình
i) Đặt vấn đề
Chúng ta cần diễn đạt rõ vấn đề, hiện tượng nào trong hoạt động kinh tế cần
quan tâm, mục đích là gì, các nguồn lực có thể tham gia nghiên cứu.
ii) Mô hình hóa
Quá trình mô hình hóa các đối tượng liên quan đến vấn đề đã đặt ra thường
gồm các công việc sau:
- Xác định các yếu tố, sự kiện cần xem xét cùng các mối liên hệ trực tiếp
giữa chúng mà ta có thể cảm nhận trực quan hoặc căn cứ vào cơ sở lí luận đã
lựa chọn.
- Lượng hoá các yếu tố này của mô hình.
- Xem xét vai trò của các biến số và thiết lập hệ thức toán học mô tả quan
hệ giữa các biến.
- Giải mô hình nhằm xác định mối quan hệ trực tiếp giữa các biến nội sinh

là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn S
t
là mức
tích luỹ (tiết kiệm) thì
S
t
= sY
t
,
trong đó s là một hằng số và được gọi là tỉ lệ tích luỹ trong GDP.
Đầu tư I
t
tỉ lệ với sự thay đổi của thu nhập quốc dân ở mỗi thời kỳ, nên ta
có
I
t
= c(Y
t
− Y
t−1
),
trong đó c là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra.
Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức
làS
t
= I
t
.
Ta có mô hình tăng trưởng Harod-Domar
S

c − s
)
t
Y
0
.
Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào
c
c − s
. Do c là tỉ số gia tăng vốn -
đầu ra nên c > 1. Chính vì thế Y
t
tăng nhanh nhưng không bị dao động. Thu
nhập sẽ phát triển không giới hạn và cũng có nghĩa là nó không bị chặn.
Từ (1.8) ta thấy thu nhập ở mỗi giai đoạn bằng
c
c − s
lần thu nhập của giai
đoạn trước
Y
t
=
c
c − s
Y
t−1
.
Tỉ lệ tăng trưởng giữa các giai đoạn được xác định là
g =
Y

cần thiết, gây ra tình trạng thiếu hoặc thừa năng lực sản xuất.
1.3.2 Mô hình tăng trưởng kinh tế SOLOW
Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow. Ông đã nghiên cứu mô
hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970.
Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những
đóng góp to lớn của ông về lý thuyết tăng trưởng.
Khi xem xét nền kinh tế thế giới, chúng ta có thể dễ dàng nhận ra sự khác
biệt rất lớn giữa các nền kinh tế. Từ đó chúng ta có thể đặt ra các câu hỏi như:
Tại sao có nhiều quốc gia phát triển nhanh trong khi nhiều quốc gia khác lại
không phát triển hoặc phát triển rất chậm? Làm thế nào để giải thích sự tăng
trưởng kinh tế bền vững? Mô hình tăng trưởng kinh tế Solow có thể giúp chúng
ta trả lời câu hỏi đó.
Các giả thiết của mô hình Solow:
- Thời gian là liên tục.
- Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi.
- Không có sự tham gia của chính phủ hoặc thương mại quốc tế.
- Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm.
- Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi
n =
L

L
.
- Giá trị ban đầu của vốn và lao động là K
0
, L
0
.
- Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (Hàm Cobb-Douglas)
Y (t) = F [K(t), L(t)] = γK(t)

> 0,
∂F
∂L
= (1 − α)γK
α
L
−α
> 0.
- Sản xuất cận biên giảm, tức là



∂
2
F
∂K
2
= (α − 1)αγK
α−2
L
1−α
< 0,
∂
2
F
∂L
2
= (−α)(1 − α)γK
α
L

α
= γR
α
, (1.9)
trong đó R =
K
L
là vốn trên một lao động.
Tại mọi thời điểm, đầu tư I = sY biểu thị tốc độ gia tăng vốn, nên ta có
phương trình tích luỹ vốn
K

= sY − µK,
trong đó tỉ lệ tiết kiệm s là hằng số, tỉ lệ trượt giá µ là hằng số.
Chia hai vế phương trình trên cho K ta có
K

K
= s
Y
K
− µ ⇔
K

K
= s
Y
L
K
L

K
=
K

K
−
L

L
=
K

K
− n.
⇒
K

K
=
R

R
+ n ⇒
R

R
+ n = s
y
R
− µ.


1
1−α
.
Khi đó đầu ra ổn định trên một lao động là y
∗
= γ

sγ
n + µ

α
1−α
.
Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ
lệ gia tăng dân số và tỉ lệ trượt giá.
Ta có
∂y
∗
∂s
= γ

γ
n + µ

α
1−α
α
1 − α
s

động có dạng
Y = γK
α
L
β
,
trong đó Y là sản lượng, γ là năng suất toàn bộ nhân tố, K là lượng vốn, L là
lượng lao động và α, β lần lượt là hệ số co dãn theo sản lượng của vốn và lao
động.
Hệ số α, β là cố định và phụ thuộc vào công nghệ:
- Nếu α + β = 1 thì hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo qui mô.
- Nếu α + β < 1 thì hàm sản xuất có lợi tức giảm theo qui mô.
- Nếu α + β > 1 thì hàm sản xuất có lợi tức tăng theo qui mô.
b. Mô hình di cư quần thể
Giả sử có hai vùng sinh thái có điều kiện sống tương tự nhau, được ký hiệu
là X và Y . Sống và thông thương được trên hai vùng sinh thái đó là n loài động
vật. Gọi x
i
là mật độ của loài động vật thứ i có ở vùng X, y
i
là mật độ của loài
động vật thứ i sống ở vùng Y .
Xét mô hình



˙x
i
= x
i

ij
y
j
) + D

i
(y
i
− x
i
),
12
Chương 1. Giới thiệu về lí thuyết ổn định và một số mô hình kinh tế cổ điển
trong đó a
ij
, b
i
, b

i
, a

ij
là các hằng số dương.
Luật cạnh tranh sinh tồn dẫn đến hiện tượng động vật có xu hướng di cư từ
nơi có mật độ cao đến nơi có mật độ thấp. Như vậy:
- Nếu x
i
> y
i

2.1.1 Lập mô hình di cư lao động
Ta quy ước gọi chung các địa phương nông thôn của một quốc gia nào đó là
"vùng Nông thôn", và ký hiệu là vùng Ω
0
. Các thành phố, thị xã của quốc gia đó
gọi là "vùng Thành thị", ký hiệu là Ω
1
. Nói chung giữa hai vùng kinh tế này của
bất kỳ quốc gia nào cũng có sự khác biệt, các ưu thế thường là nghiêng về phía
vùng Thành thị. Điều này được thể hiện bằng những điều kiện xác định trong
mô hình. Việc luân chuyển cư dân (chủ yếu là lực lượng lao động) giữa hai vùng
này thường diễn ra liên tục hoặc theo thời vụ. Đó là một quá trình đa dạng, khó
kiểm soát một cách cụ thể mà chỉ có thể nói về những nét cơ bản nhất, tổng
quan nhất mang tính quy luật chung. Nhu cầu về nhân lực và nhu cầu về thu
nhập bằng lao động luôn là những yếu tố gây nên những biến động về lượng lao
động. Nói cách khác, sự biến động của lượng lao động chủ yếu được gây ra bởi
sự chênh lệch về "tỷ số vốn - lao động" giữa hai vùng trên. Sự dịch chuyển lao
động, được gây ra bởi nguyên nhân này gọi là sự "di cư lao động". Ngoài ra,
trong thực tế, hoặc thường xuyên hoặc theo thời vụ vẫn tồn tại một lượng lao
động dịch chuyển qua lại giữa hai vùng với một tỷ lệ nào đó của sự khác nhau
về lượng lao động trên hai vùng. Ta gọi sự dịch chuyển dạng này là sự "khuếch
tán lao động". Không phải toàn bộ sự khác biệt đều chuyển hoá thành di cư
hay khuếch tán lực lượng lao động mà chỉ một tỷ lệ nào đó của sự sai khác này
được chuyển hoá thành sự dịch chuyển, gọi các tỷ lệ đó là các hệ số. Có thể khái
quát một cách không thật chính xác rằng, hiện tượng di cư mang tính quy luật,
hiện tượng khuếch tán mang tính ngẫu nhiên nhiều hơn, thường diễn ra theo
thời vụ. Để tìm hiểu cách xây dựng mô hình ta đưa vào một số ký hiệu sau:
14
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
-) L

= γ
i
K
α
i
i
L
β
i
i
,
với trường hợp đặc biệt α
i
+ β
i
= 1 (i = 0, 1).
Hàm chi phí
X
i
= δ
i
Y
i
+ 
i
L
i
= δ
i
γ

i
= L
i
(t), K
i
= K
i
(t), R
i
= R
i
(t), Y
i
= Y
i
(t), X
i
= X
i
(t).
Tỷ số vốn - lao động R
i
=
K
i
L
i
(với i = 0, 1), thực chất là tỷ số giữa khối lượng
việc làm quy ra tiền trên một đơn vị lao động ở khu vực thứ i. Một điều tự
nhiên là lực lượng lao động sẽ có xu hướng giảm ở vùng có ít việc làm và tăng

) − X
i
(K
i
; L
i
)
= −µ
i
K
i
+ γ
i
K
α
i
i
L
β
i
i
− γ
i
δ
i
K
α
i
i
L

i
+ ν
i
K
α
i
i
L
β
i
i
− 
i
L
i
,
với ký hiệu ν
i
= γ
i
(1 − δ
i
)
15
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
ta có hệ phương trình





β
0
0
− 
0
L
0
,
dK
1
(t)
dt
= −µ
1
K
1
+ ν
1
K
α
1
1
L
β
0
1
− 
1
L
1

= a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
0
− R
1
)
+
L
1
.
Mặt khác
R
i
(t) =
K
i
(t)
L
i










dR
0
(t)
dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
− 
0
− [a(L
1
− L
0
) − b(R

1
R
α
1
1
− 
1
− [a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
1
− R
0
)
+
L
1
]
R
1

(t)
dt
= a(L
0
− L
1
) + b(R
1
− R
0
)
+
L
0
− b(R
0
− R
1
)
+
L
1
.
Trong hệ phương trình trên 
0
là chi phí cho một đơn vị lao động (chẳng hạn
là trung bình lương của một nhân công), nó rất bé, không đáng kể so với
dR
0
dt

dt
= −µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0
− [a(L
1
− L
0
) − b(R
1
− R
0
)
+
L
0
+ b(R
0
− R
1
)
+
L

+
L
0
− b(R
1
− R
0
)
+
L
1
]
R
1
L
1
,
dL
0
(t)
dt
= a(L
1
− L
0
) − b(R
1
− R
0
)

− R
1
)
+
L
1
.
(2.1)
Trong mô hình này:
- α
i
là số mũ trong hàm sản xuất trên khu vực i, giả thiết 0 < α
0
< α
1
< 1.
- µ
i
là hệ số chỉ độ sụt giảm vốn ở khu vực i, giả thiết 0 < µ
0
< µ
1
< ∞.
- γ
i
là hệ số được xác định bởi hàm sản phẩm và hàm chi dùng ở khu vực i, giả
thiết 0 < γ
0
; γ
1

G = {(R
0
; R
1
; L
0
) : 0 < R
0
, R
1
< ∞, 0 < L
0
< 1}.
Mọi điểm thuộc miền này có các thành phần tọa độ đều dương. Thuật ngữ "điểm
cân bằng dương" dùng để chỉ một điểm cân bằng, thuộc miền G của hệ.
Trường hợp đặc biệt, khi không có sự chuyển dịch lao động giữa các vùng
(a = b = 0) ta có hệ đơn giản hơn














1
R
α
1
1
,
dL
0
(t)
dt
= 0,
dL
1
(t)
dt
= 0.
Điểm cân bằng tìm được



−µ
0
R
0
+ ν
0
R
α
0
0

,
R
1
= (
ν
1
µ
1
)
1/β
1
= r
1
.
Nhận xét:
i) Hệ cuối có duy nhất một điểm cân bằng dương với hai thành phần toạ độ đầu
là r
0
= (
ν
0
µ
0
)
1/β
0
, r
1
= (
ν

0
(t) → r
0
và R
1
(t) → r
1
khi
t → ∞. Thật vậy, cả hai phương trình trên là phương trình Bernouly có nghiệm:
R
0
(t) = (C
1
e
−µ
0
(1−α
0
)t
+
ν
0
µ
0
)
1
β
0
,
R

= r
0
và R
1
(t) → (
ν
1
µ
1
)
1
β
1
= r
1
.
iii) Các phương trình trên có dạng phi tuyến với ẩn là R
0
(t), R
1
(t), L
0
(t), R
1
(t).
iv) So với mô hình di cư quần thể n loài giữa hai vùng mô hình di cư lao động
có độ phức tạp cao hơn. Điều này thể hiện ở số mũ của R
0
là α
0

(t); L
0
(t)

,
F

P (t)

=

dR
0
(t)
dt
;
dR
1
(t)
dt
;
dL
0
(t)
dt

.
Ta có hệ
dP
dt

− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
]
R
0
L
0
, (a)
dR
1
dt
= −µ
1
R
1
+ ν
1
R
α
1
1
+ [a + b(R

|)L
0
. (c)
(2.3)
Phương trình (2.3.c) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với L
0
. Giải
phương trình này:
dL
0
dt
= a + b(R
0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
18
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
Xét phương trình thuần nhất
dL
0
dt
= −(2a + b|R

0
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ
L
0
(0).
Sử dụng công thức nghiệm Cauchy, ta được
L
0
(t) =e
−2at
e
−b

t
0
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ
L
0
(0)
+

t

= −(2a + b|R
1
− R
0
|)L
1
+ a + b(R
1
− R
0
)
+
ta được
L
1
(t) =e
−2at
e
−b

t
0
|R
1
(τ )−R
0
(τ )|dτ
L
1
(0)

dL
0
dt
= a + b(R
0
− R
1
)
+
− (2a + b|R
1
− R
0
|)L
0
⇔
d
dt
(lnL
0
) =
˙
L
0
L
0
=
1
L
0

lnL
0
)R
0
.
Đây là phương trình Bernouly đối với R
0
. Phương trình này được viết lại như
sau
˙
R
0
R
α
0
0
= −µ
0
R
1−α
0
0
+ ν
0
− (
d
dt
lnL
0
)R

)ρ
0
+ β
0
ν
0
. (2.6)
19
Chương 2. Ổn định điểm cân bằng trong mô hình di cư lao động giữa hai vùng
Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, trước hết ta xét phương trình
thuần nhất
˙ρ
0
ρ
0
= −β
0
µ
0
− β
0
d
dt
(lnL
0
).
Nghiệm tổng quát của phương trình này là
ˆρ
0
(t) = e

(t)

β
0
C.
Ma trận nghiệm cơ bản
Φ(t, s) = e
−β
0
µ
0
t
e
ln

L
0
(s)
L
0
(t)

β
0
.
Theo công thức nghiệm Cauchy, ta có nghiệm của phương trình không thuần
nhất (2.6) là
ρ
0
(t) =e

µ
0
(t−s)
e
ln

L
0
(s)
L
0
(t)

β
0
ds
=e
−β
0
µ
0
t

L
0
(0)
L
0
(t)


Thay ngược lại
R
0
(t) =

ρ
0
(t)

1
β
0
,
ta được
R
0
(t) =
e
−µ
0
t
L
0
(t)

[L
0
(0)R
0
(0)]

= −µ
1
R
1
+ ν
1
R
α
1
1
+
dL
0
dt
R
1
L
1
= −µ
1
R
1
+ ν
1
R
α
1
1
−


1

t
0
[e
µ
1
s
L
1
(s)]
β
1
ds

1
β
1
. (2.8)
20