Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỤC LỤC Trang
Mở đầu ................................................................................................ 2
Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5
1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7
1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10
1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13
Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15
2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24
Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37
3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44
3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55
Kết luận .............................................................................................. 59
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60
, , , : , , ,
nn
A B C I L x I I a RR
a là hằng số,
det 0 A t t I
. Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
,
. 0, ;
loc nn
BL
K
, ở đây công thức bán
kính ổn định được đưa ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô
giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa
Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày
tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường
PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm
học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Học viên cao học
Lƣu Thị Thu Hoài
UV
tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao
cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V.
Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U.
Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận)
Cho
n
AL
. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là
indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà
1kk
KerA KerA
.
1
min :
kk
indA k KerA KerA
Định lý 1.1.4. Với mọi
n
AL
ta luôn có:
cA B A
.
1
,ind A B ind cA B A
(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Định lý 1.1.7. Nếu
n
QL
không suy biến thì:
, , ,ind QA QB ind AQ BQ ind A B
.
Nếu A, B là giao hoán được thì
,ind A B ind A
.
nr
B Pdiag W U Q
ở đó
1
1 ij
,..., , max ,
sr
r
l l l
l
s i r
U diag U U l k U u L
với
ij
1 khi 1
;
0 khi 1
ji
u
ji
6) Với
::
n
S x Bx ImA
thì
n
S KerA
.
7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp
n
EL
thoả mãn:
1
,
0
A
EA
1
2
,
B
EB
Xét hệ phương trình vi phân dạng:
, , ' 0F t x t x t
(1.2.1)
trong đó:
:
n
xI
,
,Ia :
nn
F I D
, , , ,t x y F t x y
D là tập mở trong
,
n
,
'A t x t B t x t q t
(1.2.2)
trong đó:
,,
n
A B C I L
, q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi
,tI
là
hệ phương trình vi phân đại số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân
đại số ([3], [9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:
, , ' 0F t x t x t
(1.2.3)
trong đó:
:
n
xI
,
;Ia
,
, , ' 0
x
KerF t x x
, , '
n
t x x I D
.
Giả thiết
'
'
, , '
x
KerF t x x
không phụ thuộc vào x và x’ tức là:
'
'
, , '
x
KerF t x x N t
, , '
n
t x x I D
.
.
Ta có:
1
'
'
0
, , , , , , 1
x
F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds
và từ
''
''
, , ' , , 0
xx
Q t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y
. Từ đó ta
suy ra:
1
,
n
Qx C I
. Bây giờ ta quan tâm tới không gian
hàm sau:
1 1 1
, , : ,
n n n
N
C I x C I Px C I
.
Đặt
''
, , : , , , ,
n
xy
S t x y z F t x y z ImF t x y
''
1
, , : , , , ,
yx
G t x y F t x y F t x y Q t
,,
n
N t S t x y
,,t x y G
.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 2 trên tập mở
n
G I D
nếu:
1
dim , , 0N t x y const
và
11
, , , ,
n
N t x y S t x y
,,t x y G
Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng:
'0A t x t B t x t
(1.2.4)
trong đó
1
:'A t A t B t A t P t Q t
11
:N t KerA t
11
::
n
S t z B t P t z ImA t
Gọi
1
Qt
là phép chiếu khả vi liên tục lên
1
Nt
dọc theo
1
St
,
11
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi
và chỉ khi
1
11
dim 0
n
N t const
N t S t t I
R
tức là
1
2
det 0
det 0
A t t I
A t t I
Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA).
1
:A A BQ
,
11
:N KerA
,
11
::
n
S z B z ImA
Gọi
1
Q
là phép chiếu lên
1
N
dọc
1
S
, đặt
11
:P I Q
.
1
:B BP
,
det 0
A
A
1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi
phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số
1 , 3
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân
thường và hệ phương trình đại số.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
'Ax t Bx t q t
(1.3.1)
trong đó:
:
n
xI
,
1
Q + BP
Do vậy, hệ (1.3.1)
11
'APx t AQx t BPx t q t
.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
1
PA
và
1
1
QA
ta được
hệ tương đương:
11
11
11
11
'Px t PA BPx t PA q t
Qx t QA BPx t QA q t
()
()
trong đó
()
là hệ phương trình vi phân thường, còn
()
là hệ phương trình
đại số.
Đặc biệt, khi
0qt
ta được hệ:
-1
1
-1
1
'0
( ')
( ')
0
u t PA Bu t
v t QA Bu t
''A BQ P Px Qx BPx A P Px Qx BPx
=
1 1 1 1 1 1
'A BPQ PP Px t PQx Q x BPx BPQ x
=
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx
Do vậy, hệ (1.3.1)
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx q t
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
12
,PPA
1
12
,QPA
Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ
1
, PP
1
cũng là các phép
chiếu đồng thời
11
,,Q PQ PP
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có:
-1
1 1 2
,Q Q A BP
1
0,QQ
11
,PPP PP
1
0,PPQ
11
,QPP QQ
1
QPQ Q
11
,Q Q P
11
QQ P QQ
và hệ trên trở thành:
-1 -1
1 2 1 2
-1 -1
1 2 1 2
-1
12
'
'
u PPA Bu PPA q
Qv w QPA Bu QPA q
v Q A q
Đặc biệt, khi
0qt
ta nhận được hệ:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
-1
n
xI
,
,
n
A B L
,
det 0A
,
.,
n
q C I R
Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường
0xt
.
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và
KerA t
trơn. Gọi
Qt
là phép chiếu
khả vi liên tục lên
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
00
P t x
thì
00
;,x t t x
với mọi
0
tt
.
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
đều tồn tại số
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
00
P t x
thì
0
00
;,
tt
x t t x e
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
0
cho trước và mọi
0
tI
đều tồn tại
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x
thì
00
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương
và với mọi số
0
cho trước
đều tồn tại số
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x
thì
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và
phức bằng nhau cũng được chứng minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số
Xét phương trình
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
(2.1.1)
trong đó
, , ,(
m m m
x A B
KK
hoặc
)
, det A = 0, cặp
( , )AB
là chính quy chỉ
số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho
1
-
-1 -1
0
0
; ,
0
0
,..., J
l
) với
0 1 ... 0
0 ... 0
, 1,2,... .
. . ... 1
0 0 ... 0
ii
pp
i
J R i l
(2.1.3)
sao cho
1
1
max , - .
l
trong đó
,.
r m r
y t z t
KK
Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường
0x
của (2.1.1) được gọi là ổn định
tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu
m
PLK
và các hằng số dương
,c
sao
cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):
,ta viết
B
thay cho
,
m
IB
.
Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị
riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái
1
' 0,
' 0,
y t B y t
Uz t z t
0
, 0.
t
x t c Px e t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
(xem[9]). Nếu
,AB
= thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm
x
0 vì khi đó với
mọi s ta có
1
1
det det .det det det
r m r
sA B W sI B sU I T
pq
K
KV
sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc
không ổn định tiệm cận}.
Nghĩa là,
K
V
là tập các nhiếu “xấu”.
Kí hiệu
inf : ,d
K K
V
trong đó
.
là một chuẩn ma trận
tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta
gọi
d
K
là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}
Nếu
K
ta gọi
d
là bán kính ổn định phức, còn nếu
K
sup
s
d G s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Lấy
V
bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:
(i) Cặp
,A B E F
là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị
,s A B E F
, sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng
V
Do đó,
1
sup
s
d G s
Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được
1
sup
s
d G s
.
Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại
1
sup
s
d G s
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Khi đó tồn tại
p
u
:
1u
và
00
G s u G s
. Theo một hệ quả của định
lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính
*
y
xác định trên
*
:1
q
y
và
*
0 0 0
.y G s u G s u G s
Đặt
1
ta có
1
0
G s u
.
Kết hợp hai bất đẳng thức ta có
1
0
.Gs
Hơn nữa, từ
0
G s u u
ta
nhận được
0
E G s u Eu
0. Đặt
1
0
Nghĩa là,
.
V
Mặt khác, ta có,
1
1
0
sup
s
d G s G s
.
Vì
là bé tuý ý, nên
.
Để ý rằng, hàm
Gs
là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng
. Do đó
theo nguyên lý cực đại,
Gs
đạt cực đại tại
s
hoặc trên biên
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
Vậy,
1
sup
si
d G s
0
max ,
s
d G s G s
và ma trận
1
1
*
0
,F s A B E uy
sẽ là ma trận “xấu” với
d
.
Trường hợp hàm
định tiệm cận.
Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận
như thế.
Lấy
0
,s A B E F
và
x
là vectơ riêng của nó, nghĩa là,
0
s Ax B E F x
0. Lập luận như trên ta thấy
1
1
00
sup
s
G s G s d
tương ứng với
n
s
được xây dựng như trên, khi đó hệ
0
'-Ax B E F x
= 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
tại
0
lim
n
n
, vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con
k
n
của dãy bị chặn
n
sao cho
0
lim .
k
k
, trong đó
1
.G s sA B
Ta chứng minh rằng, nếu
,1ind A B k
, thì ma trận hàm G(s) là
không bị chặn trên
i
. Thật vậy,
1
1
1
-1
0
0
W
0
0
r
r
mr
sI B
T
sU I
1
1
-1
1
0
0
W
0
r
k
i
i
, dễ dàng chứng minh được rằng ,
Gs
là bị chặn
trên
, nghĩa là
d
> 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu”
nào, sao cho
d
.
Ta có định lý sau đây
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
22
Định lý 2.1.2.
i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức
1
sup
si
d G s
E F I d
0 khi và chỉ khi
,ind A B
1.
Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm
Gs
đạt được giá trị lớn
nhất tại một giá trị hữu hạn
0
s
? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào
việc chọn chuẩn của
m
vì
Gs
có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn
này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác.
Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta
không thực hiện ở đây.
Các ví dụ
Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng
chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích.
Ví dụ 2.1.3.
Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc
1 1 1 ,
000
E
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
F
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
23
Ta thấy
,ind A B
2,
1
Vậy,
31
1
3max ,
31
s
s
s
Gs
s
đạt được max tại
0 1 0y
và ta có:
1
*
1
00
3
1
0 0 0 .
3
1
00
3
G uy
Hơn nữa,
det 2sA B E F s
1
,AB
-1 và
1
1
12
11
24
s
s
G s sA B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
24
vì vậy,
3
d
.
Chọn
2
1
1
si
u
s
rõ ràng
u
1 và
G s u G s
khi phần thực
của
s
đủ lớn. Với
*
nghĩa là
,AB
và
phương trình
'( ) - ( )Ax t B x t
0. Tức là hệ
''
1 2 1 2
''
1 2 1
5
2 2 0,
3
4
2 4 0,
3
x x x x
x x x
có thể không còn bất biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
25
đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này,
chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt.
Giả sử rằng
, , .
mm
m
A B E F I
Định nghĩa 2.2.1.
i) Ma trận
ij
mm
H
được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu
ij
0,
,.ij
ij
,m
với
12
, ,..., .
m
x x x x
Trong
mm
ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau.
Định nghĩa 2.2.2.
i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là
,MN
nếu
MN
0.
ii) Số
, ax Re : ,A B m A B
được gọi là hoành độ phổ của
cặp ma trận {A,B}
Chúng ta xét phương trình
'( ) - ( )Ax t Bx t
t t t t A B n
(2.2.2)
Copyright: Tài liệu đại học ©