Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ................................................................................................ 2
Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5
1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7
1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10
1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13
Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15
2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24
Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37
3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44
3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55
Kết luận .............................................................................................. 59
Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2

người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, gồm có ba chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau.
Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
trong đó
A, B là các ma trận thực,

chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008
Học viên cao học
Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
CHƢƠNG I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
9

Định nghĩa 1.1.1. Cho
. P L P
được gọi là một phép chiếu nếu
2
PP
.
Nhận xét 1.1.2.
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có:
Im
n

k k k k n
imA KerA imA KerA 
với
k indA
.
Định nghĩa 1.1.5. Cho
,
n
A B L 
. Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính
quy nếu
c 
sao cho
det 0cA B
.
Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà
det 0cA B
. Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là
,ind A B
, là chỉ số
của ma trận
1
cA B A
.

1
,ind A B ind cA B A

(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn


ở đó
1
1 ij
,..., , max ,
sr
r
l l l
l
s i r
U diag U U l k U u L 

với
ij
1 khi 1
;
0 khi 1
ji
u
ji
0
k
U
còn
0
l
U l k
.
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương:

A
EA

1
2
,
B
EB
B

1
rankA rankA
, ta nhận được ma trận
không suy biến
1
2
n
A
L
B

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
2 , 3 , 9

Xét hệ phương trình vi phân dạng:

, , ' 0F t x t x t

Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn
'
'
, , ' 0
x
KerF t x t x t

với mọi
, , '
n
t x x I D 
.
Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính:

'A t x t B t x t q t
(1.2.2)
trong đó:
,,
n
A B C I L 
, q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi
,tI
là
hệ phương trình vi phân đại số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân
đại số ([3], [9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:

F F C I D L

'
'
, , ' 0
x
KerF t x x

, , '
n
t x x I D 
.
Giả thiết
'
'
, , '
x
KerF t x x
không phụ thuộc vào x và x’ tức là:

'
'
, , '
x
KerF t x x N t

, , '
n
t x x I D 
.

và từ
''
''
, , ' , , 0
xx
Q t y ImQ t N t KerF t x x F t x y Q t y
. Từ đó ta
suy ra:
1
'
'
0
, , , , , , 1 0
x
F t x y F t x P t y F t x sy s P t y Q t yds

hay
, , , ,F t x y F t x P t y

, , ' , , ' , , ' 'F t x x F t x P t x F t x Px t P t x t

Điều này cho thấy, để hàm
:
n
xI 
là nghiệm của (1.2.3) thì cần
phải có
1
,,
n

A t x y G t x y F t x y P t Q t

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
11
, , : , ,N t x y KerA t x y

'
11
, , : , , , ,
n
x
S t x y z F t x y P t z ImA t x y

Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 1 trên tập mở
n
G I D 
nếu
,,
n
N t S t x y 

,,t x y G
.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 2 trên tập mở
n
G I D 
nếu:

.
::
n
S t z B t z ImA t

1
:'A t A t B t A t P t Q t

11
:N t KerA t

11
::
n
S t z B t P t z ImA t

Gọi
1
Qt
là phép chiếu khả vi liên tục lên
1
Nt
dọc theo
1
St
,
11
:P t I Q t
.
1 1 1

1
2
det 0
det 0
A t t I
A t t I

Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng:

'0Ax t Bx t
(1.2.5)
trong đó:
:
n
xI 
,
,
n
A B L 
,
det 0A
. Khi đó:
:N KerA

::
n
S z Bz ImA

Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA).
1

khi
n
NS

1
det 0A
.
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ
khi
1
11
dim 0

n
N const
NSR
tức là
1
2
det 0
det 0
A
A

1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi
phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số
1 , 3

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân

n
= A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A
1
P.
B = BI
n
= B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP
= (A+BQ)Q + BP = A
1
Q + BP
Do vậy, hệ (1.3.1)
11
'APx t AQx t BPx t q t
.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
1
PA
và
1
1
QA
ta được
hệ tương đương:
11
11
11
11
'Px t PA BPx t PA q t
Qx t QA BPx t QA q t

'0
( ')
( ')
0
u t PA Bu t
v t QA Bu t

1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó
1
det 0, A
2
det 0.A

Xét vế trái của (1.3.1) ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
' ' 'Ax t Bx t APx t Bx t A Px t Bx t

=
1
''A BQ P Px Qx BPx A P Px Qx BPx

=
1 1 1 1 1 1
'A BPQ PP Px t PQx Q x BPx BPQ x

=
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx


Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ
1
, PP
1
cũng là các phép
chiếu đồng thời
11
,,Q PQ PP
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có:
-1
1 1 2
,Q Q A BP
1
0,QQ
11
,PPP PP
1
0,PPQ
11
,QPP QQ
1
QPQ Q

11
,Q Q P
11
QQ P QQ
và hệ trên trở thành:


Qv w QPA Bu QPA q
v Q A q

Đặc biệt, khi
0qt
ta nhận được hệ:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13

-1
12
-1
12
'0
0
0
u PPA Bu
w QPA Bu
v

1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số
3 14 , 15

Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:

'0A t x t B t x t
(1.4.1)
trong đó:
:
n

;,x t t x
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu
0 0 0 0 0 0
, ,
n
P t x t P t x t I x 

Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
0
cho trước và với mọi
0
tI
đều tồn tại
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x 
thoả mãn
00
P t x

thì
00
;,x t t x
với mọi

0
n
x 
thoả mãn
00
P t x
thì
0
00
;,
tt
x t t x e
với mọi
0
tt
.
1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và
KerA t
trơn. Các phép chiếu
,Pt

1
Pt
như ở mục 1.3.2. Ký hiệu
00
;,x t t x
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn
điều kiện đầu
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

.
Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
00
0t
sao cho nếu
0 1 0 0 0 0
P t P t x t
thì
00
; , 0x t t x
khi
t
.
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số
0
cho trước
đều tồn tại số
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x 
thoả mãn

phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và
phức bằng nhau cũng được chứng minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số
Xét phương trình
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
(2.1.1)
trong đó

, , ,(
m m m
x A BKK
hoặc
)
, det A = 0, cặp
( , )AB
là chính quy chỉ
số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho

1
-
-1 -1
0
0
; ,
0
0
r
mr
B
I

(2.1.3)
sao cho
1
1
max , - .
l
ii
il
i
p k p m r
Nhân hai vế (2.1.1) với
-1
W
ta được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
(2.1.4)
(2.1.5) (2.1.5)

trong đó

Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó,
hệ trên trở thành
1
' - 0,
0,
y t B y t
zt

trong đó

là phổ của cặp {A,B}, nghĩa là
,AB
là tập hợp tất
cả các nghiệm của phương trình det
AB
0.
Trường hợp A = I
m
,ta viết
B
thay cho
,
m
IB
.
Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi giá trị
riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn toàn trong nửa mặt phẳng phức trái
1
' 0,
' 0,
y t B y t
Uz t z t
1
, , .
r m r
yt
T x t y t z t
zt
KK
0

trận ổn định tiệm cận {A,B}. Giả sử
;
m p q m
EFKK
cố định, ta xét hệ
có nhiễu:

A ' tx B E F x t
0, (2.1.6)
trong đó
pq
K
. Ma trận
EF
được gọi là ma trận nhiễu cấu trúc.
Kí hiệu:
pq
K
KV
sao cho hệ (2.1.6) là không chính quy hoặc
không ổn định tiệm cận}.
Nghĩa là,
K
V
là tập các nhiếu “xấu”.
Kí hiệu
inf : ,d
K K
V
trong đó

1
sup
s
d G s



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
Lấy

V
bất kỳ, khi đó xảy ra hai trường hợp:
(i) Cặp
,A B E F
là chính quy. Ta lấy tuỳ ý một giá trị
,s A B E F
, sao cho Res ≥ 0. Giả sử rằng
x
0 là một vectơ riêng
tương ứng với giá trị riêng s, tức là
sA B E F x
0.
Điều này tương đương với
1
x sA B E Fx
, từ đó ta suy ra
1
.Fx F sA B E Fx G s Fx


s 
luôn tồn tại vectơ
x
0 sao cho
sAx B E F x
0.
Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh được
1
sup
s
d G s


.
Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức ngược lại
1
sup
s
d G s



Với mỗi >0, ta tìm giá trị
0
s 
sao cho

1
1
0

1
*
0
.
pq
G s uy 
Rõ ràng,
11
*
0 0 0 0 0
.G s u G s uy G s u G s u G s u

Vì vậy,
1
0
Gs
. Mặt khác, từ
1
*
0
G s uy
ta có
1
0
G s u
.
Kết hợp hai bất đẳng thức ta có
1
0
.Gs

Nghĩa là,

.

V

Mặt khác, ta có,
1
1
0
sup
s
d G s G s


.
Vì là bé tuý ý, nên
1
sup
s
d G s


.
Do đó,
1
sup
s
d G s


s
G s G s

thì
1
1
0
max ,
s
d G s G s



và ma trận
1
1
*
0
,F s A B E uy
sẽ là ma trận “xấu” với
d

.
Trường hợp hàm
Gs
không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm
hữu hạn
s
thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao
cho

sup
s
G s G s d


.
Điều này là mâu thuẫn.
Hơn nữa, giả sử
n
s 
sao cho
n
s
và
lim sup .
n
si
G s G s


Giả sử
n
tương ứng với
n
s
được xây dựng như trên, khi đó hệ
0
'-Ax B E F x
= 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là
1
sup
si
d G s


, trong đó
1
.G s sA B

Ta chứng minh rằng, nếu
,1ind A B k
, thì ma trận hàm G(s) là
không bị chặn trên
i
. Thật vậy,
1
1
1
-1
0
0
W
0
0
r
mr
B
sI

sI B
T
sU
khi
s

Tính không bị chặn của
Gs
kéo theo
d

= 0. Nghĩa là với những nhiễu dù
rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể
không còn ổn định tiệm cận được nữa.
Nếu
,1ind A B
, dễ dàng chứng minh được rằng ,
Gs
là bị chặn
trên

, nghĩa là
d

> 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu”
nào, sao cho
d

.
Ta có định lý sau đây

,ind A B
1.
Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm
Gs
đạt được giá trị lớn
nhất tại một giá trị hữu hạn
0
s
? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào
việc chọn chuẩn của
m

vì
Gs
có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn
này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác.
Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta
không thực hiện ở đây.
Các ví dụ
Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng
chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích.
Ví dụ 2.1.3.
Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc

'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 trong đó là nhiễu và
1 0 1
0 1 1 ,
000
A

.
3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1
sss
sss
sss
G s F sA B E
sss
sss
sss

Vậy,
31
1
3max ,
31
s
s
s
Gs
s
đạt được max tại
0
s
= 0 và
0G
3. Vì vậy,
1
.
3

0 khi
s
0.
Ví dụ 2.1.4.
Xét phương trình
'( ) - ( )Ax t Bx t
0, trong đó
12
24
A
và
12
.
20
B
Rõ ràng
,ind A B
1
,AB
-1 và
1
1
12
11
24
s
s
G s sA B

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

s
rõ ràng
u
1 và
G s u G s
khi phần thực
của
s
đủ lớn. Với
*
1 0 ,y
ta có
1
*
G s uy
hội tụ về
2
0
3
2
0
3
khi
s
.
Dễ thấy,
8
det ,
3
sA B s

Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi
dd

. Đối
với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới
ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương
n

có thể không còn bất biến
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
25
đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này,
chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt.
Giả sử rằng
, , .
mm
m
A B E F I

Định nghĩa 2.2.1.
i) Ma trận
ij
mm
H 
được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu
ij
0,
,.ij

ii) Ma trận

mm

ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau.
Định nghĩa 2.2.2.
i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là
,MN
nếu
MN
0.
ii) Số
, ax Re : ,A B m A B
được gọi là hoành độ phổ của
cặp ma trận {A,B}
Chúng ta xét phương trình
'( ) - ( )Ax t Bx t
0, (2.2.1)
trong đó A, B là các ma trận hằng cấp
mm
, cặp {A,B} là chính quy. Nếu
,ind A B
1, thì
dd

0, vì ta có thể lấy nhiễu thực nhỏ tuỳ ý và “xấu”

V
, sao cho bé tuỳ ý .Vì vậy ta chỉ xét trường hợp
,ind A B
1.
Ta đưa ra các giả thiết sau