Luận văn
Phương trình vi phân
đại số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỤC LỤC Trang
Mở đầu
2
Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số
5
1.1
Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
5
1.2
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
7
1.3
Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số
10
1.4
Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
MỞ ĐẦU
Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho
bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều
định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của
A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công
bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm
1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du
mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có
hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công
nghệ, sinh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai
phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến
phương trình vi phân dạng:
'( ) + ( ) 0ttA x t B x t

ở đó,
, , , : , , ,
nn

Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
'( ) - ( ) 0Ax t Bx t
trong đó
A, B là các ma trận thực,
det 0.A

Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại
số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
' , 0A t x t B t x t t

trong đó
. 0, ;
loc nn
AL K
,
. 0, ;
loc nn
BL K
, ở đây công thức bán
kính ổn định được đưa ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô
giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa

PP
.
Nhận xét 1.1.2.
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có:
Im
n
KerP P 
.
ii) Mỗi phân tích
n
UV
tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao
cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V.
Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U.
Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận)
Cho
n
AL
. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là
indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà
1kk
KerA KerA
.

1
min :
kk
indA k KerA KerA

Định lý 1.1.4. Với mọi


1
,ind A B ind cA B A

(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Định lý 1.1.7. Nếu
n
QL
không suy biến thì:

, , ,ind QA QB ind AQ BQ ind A B
.
Nếu A, B là giao hoán được thì
,ind A B ind A
.
Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy,
c R
sao cho cA + B khả
nghịch, đặt
1
Q cA B
. Khi đó, QA và QB là giao hoán được.
Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và
1
k
rank cA B A r
thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho:
,,

0
l
U l k
.
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương:
1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1.
2)
x KerA
và
Bx ImA
suy ra x = 0
3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B).
4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi
n
WL
.
5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên
KerA
.
6) Với
::
n
S x Bx ImA
thì
n
S KerA 
.
7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp
n

1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
2 , 3 , 9

Xét hệ phương trình vi phân dạng:

, , ' 0F t x t x t
(1.2.1)
trong đó:
:
n
xI 
,
,Ia :
nn
F I D , , , ,t x y F t x y

D là tập mở trong
,
n

,
nn
F C I D 
,

hệ phương trình vi phân đại số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân
đại số ([3], [9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:
, , ' 0F t x t x t
(1.2.3)
trong đó:
:
n
xI 
,
;Ia 
,

:
nn
F I D 

, , , ,t x y F t x y

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
D là tập mở trong
,
n

,
nn

KerF t x x N t

, , '
n
t x x I D 
.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch
Nt
được gọi là trơn trên I nếu có ma
trận hàm khả vi liên tục
1
,
n
Q C I L 
sao cho
2
Q t Q t
, ImQ(t) =
N(t)
tI
.
Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt
1
,
n
n
P t I Q t P C I L 
.
Ta có:
1

xI 
là nghiệm của (1.2.3) thì cần
phải có
1
,,
n
Px C I 

,
n
Qx C I 
. Bây giờ ta quan tâm tới không gian
hàm sau:
1 1 1
, , : ,
n n n
N
C I x C I Px C I  
.
Đặt
''
, , : , , , ,
n
xy
S t x y z F t x y z ImF t x y

''
1
, , : , , , ,
yx

.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 2 trên tập mở
n
G I D 
nếu:
1
dim , , 0N t x y const
và
11
, , , ,
n
N t x y S t x y 

,,t x y G

Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng:
'0A t x t B t x t
(1.2.4)
trong đó
:
n
xI 
,
,,
n
A B C I L 
,
det 0At
với mọi

St
,
11
:P t I Q t
.
1 1 1
:'B t B t A t PP P t

Đặt
2 1 1 1
:A t A t B t Q t

Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi
và chỉ khi
n
N t S t 

tI
tức là
1
det 0At

tI
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi
và chỉ khi
1
11

::
n
S z Bz ImA

Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA).
1
:A A BQ
,
11
:N KerA
,
11
::
n
S z B z ImA

Gọi
1
Q
là phép chiếu lên
1
N
dọc
1
S
, đặt
11
:P I Q
.
1

1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi
phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số
1 , 3

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân
thường và hệ phương trình đại số.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
'Ax t Bx t q t
(1.3.1)
trong đó:
:
n
xI 
,
,
n
A B L 
,
det 0A
,
.,
n
q C I R
.
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên
KerA

11
11
11
11
'Px t PA BPx t PA q t
Qx t QA BPx t QA q t

Đặt
u t Px t
,
v t Qx t
ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau:
-1 -1
11
-1 -1
11
'u t PA Bu t PA q t
v t QA Bu t QA q t

()
()

trong đó
()
là hệ phương trình vi phân thường, còn
()
là hệ phương trình
đại số.
Đặc biệt, khi
0qt

1 1 1 1 1 1
'A BPQ PP Px t PQx Q x BPx BPQ x

=
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx

Do vậy, hệ (1.3.1)
2 1 1 1 1
'A PP Px t PQx Q x BPPx q t

Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
1
12
,PPA

1
12
,QPA

1
12
QA
ta được
hệ phương trình tương đương:
-1 -1
1 1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 1 2 1 1 2
-1 -1

11
,Q Q P
11
QQ P QQ
và hệ trên trở thành:

-1 -1
1 1 2 1 1 2
-1 -1
1 1 2 1 1 2
-1
1 1 2
'
'
PPx PPA BPPx PPA q
QQ x Qx QPA BPPx QPA q
Q x Q A q

Đặt
1
,u PPx
1
,v Q x
w Qx
x u Pv w
ta nhận được hệ sau:

-1 -1
1 2 1 2
-1 -1


'0A t x t B t x t
(1.4.1)
trong đó:
:
n
xI 
,
,
n
A B L 
,
det 0A
,
.,
n
q C I R

Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường
0xt
.
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và
KerA t
trơn. Gọi
Qt
là phép chiếu
khả vi liên tục lên
KerA t
, đặt

P t x

thì
00
;,x t t x
với mọi
0
tt
.
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
00
0t
sao cho nếu
0 0 0 0
P t x t
thì
00
; , 0x t t x
khi
t
.
Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số
0
cho trước

như ở mục 1.3.2. Ký hiệu
00
;,x t t x
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn
điều kiện đầu
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
, ,
n
P t P t x t P t P t x t I x 
.
Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường
0xt
của hệ (1.4.1) được gọi là ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
0
cho trước và mọi
0
tI

đều tồn tại
0
,0t
sao cho nếu
0
n
x 
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x


,0t
sao cho nếu
0
n
x 
thoả mãn
0 1 0 0
P t P t x
thì
0
00
;,
tt
x t t x e
với mọi
0
tt
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
CHƢƠNG II
BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định

0
0
r
mr
B
I
A W T B W T
I
U
(2.1.2)
ở đây. I
s
là ma trận đơn vị trong
1
,,
s s r r
BKK
U là ma trận k- luỹ linh có
dạng
U = diag(J
1
, J
2
, , J
l
) với

0 1 0
0 0
, 1,2, .

' - 0,
0,
y t B y t
zt

trong đó
,.
r m r
y t z tKK

Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường
0x
của (2.1.1) được gọi là ổn định
tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu
m
P LK
và các hằng số dương
,c
sao
cho bài toán giá trị ban đầu (IVP):
có nghiệm
xt
duy nhất, thoả mãn Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = I
m

r m r
yt
T x t y t z t
zt
KK
0
0''
00
Ax t Bx t
P x x
0
, 0.
t
x t c Px e t
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
(xem[9]). Nếu
,AB
= thì (2.1.1) có duy nhất nghiệm
x
0 vì khi đó với
mọi s ta có

1
1
det det .det det det
r m r
sA B W sI B sU I T
0.
Như vậy, ta phải có r = 0 tức là phương trình (2.1.4) không có trong hệ.

là tập các nhiếu “xấu”.
Kí hiệu
inf : ,d
K K
V
trong đó
.
là một chuẩn ma trận
tương thích với chuẩn vectơ, thông thường chuẩn Euclide được sử dụng. Ta
gọi
d
K
là bán kính ổn định có cấu trúc của bộ bốn ma trận {A , B, E , F}
Nếu
K
ta gọi
d

là bán kính ổn định phức, còn nếu
K
ta gọi
d

là bán kính ổn định thực.
Tương tự như phương trình vi phân thường, ta đặt
1
G s F sA B E
và ta sẽ chứng minh rằng
1
sup

1
x sA B E Fx
, từ đó ta suy ra
1
.Fx F sA B E Fx G s Fx

Vì vậy,
1
1
sup ,
s
G s G s


V

Do đó,
1
sup
s
d G s



(ii) Cặp
,A B E F
là không chính quy, khi đó
s 
ta có
det sA B E F

s 
sao cho

1
1
0
sup
s
G s G s


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Khi đó tồn tại
p
u 
:
1u
và
00
G s u G s
. Theo một hệ quả của định
lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính
*
y
xác định trên
*
:1
q
y

G s u
.
Kết hợp hai bất đẳng thức ta có
1
0
.Gs
Hơn nữa, từ
0
G s u u
ta
nhận được
0
E G s u Eu
0. Đặt
1
0
x s A B Eu
, khi đó
0
s A B x Eu
. Vậy
0
E Fx s A B x
, hay là
0
s A B E F x
0. Điều
đó có nghĩa là,
0
,s A B E F

Do đó,
1
sup
s
d G s


.
Để ý rằng, hàm
Gs
là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng

. Do đó
theo nguyên lý cực đại,
Gs
đạt cực đại tại
s
hoặc trên biên
i
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Vậy,
1
sup
si
d G s


.

Gs
không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm
hữu hạn
s
thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao
cho
d

như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường
(ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi
s
). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu
Gs
không đạt được giá trị lớn nhất trên

thì không có một ma trận
nào thoả mãn điều kiện
d

và hệ
'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 là không ổn
định tiệm cận.
Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế.
Lấy
0
,s A B E F 
và
x
là vectơ riêng của nó, nghĩa là,

s
được xây dựng như trên, khi đó hệ
0
'-Ax B E F x
= 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
tại
0
lim
n
n
, vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con
k
n
của dãy bị chặn
n
sao cho
0
lim .
k
k
n
n
)
Vì tập hợp các ma trận sao cho cặp
,A B E F
có chỉ số 1 là mở
nên ta suy ra chỉ số của
0

0
0
r
mr
B
sI
sA B T
I
sU
Gs

1
1
-1
1
0
W
0
r
mr
sI B
T
sU I

1
1
-1
1
0
0

> 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu”
nào, sao cho
d

.
Ta có định lý sau đây
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Định lý 2.1.2.
i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức

1
sup
si
d G s


, trong đó
1
.G s F sA B E

ii) Tồn tại ma trận “xấu” :
d

khi và chỉ khi
Gs
đạt được giá trị
lớn nhất trên
i
.

'( ) - ( )Ax t B E F x t
0 trong đó là nhiễu và
1 0 1
0 1 1 ,
000
A

2 1 0
1 1 0 ,
1 0 1
B

111
1 1 1 ,
000
E

1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
F

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
Ta thấy
,ind A B
2,
1
,
3

= 0 và
0G
3. Vì vậy,
1
.
3
d


Chọn
1
1
1
u
thì
00G u G
3.
Giả sử
*
0 1 0y
và ta có:
1
*
1
00
3
1
0 0 0 .
3
1

24
s
s
G s sA B

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
vì vậy,
31
ax ,
4 2 1
s
G s m
s
không đạt được giá trị lớn nhất
trên

.
Hơn nữa,
3
lim
2
s
Gs
nên ta suy ra
2
3
d

.

.
Dễ thấy,
8
det ,
3
sA B s
nghĩa là
,AB
và
phương trình
'( ) - ( )Ax t B x t
0. Tức là hệ
''
1 2 1 2
''
1 2 1
5
2 2 0,
3
4
2 4 0,
3
x x x x
x x x

có duy nhất nghiệm
1
2
0
0