ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
1

XC SUT V THNG Kấ
(i hc v Cao ủng)
Ti liu tham kho:
1. Giỏo trỡnh Xỏc sut Thng kờ v ng dng Nguyn Phỳ Vinh NXB Thng kờ.
2. Ngõn hng cõu hi Xỏc sut Thng kờ v ng dng HCN TP.HCM.
3. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc.
4. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ toỏn Nguyn Thanh Sn, Lờ Khỏnh Lun NXBTKờ.
5. Xỏc sut Thng kờ Lý thuyt v cỏc bi tp u Th Cp NXB Giỏo dc.
6. Lý thuyt Xỏc sut v Thng kờ inh Vn Gng NXB Giỏo dc.
7. Xỏc sut Thng kờ v ng dng Lờ S ng NXB Giỏo dc.
8. Xỏc sut v Thng kờ ng Hn NXB Giỏo dc.
9. Giỏo trỡnh Xỏc sut v Thng kờ Phm Xuõn Kiu NXB Giỏo dc.
10. Giỏo trỡnh Lý thuyt Xỏc sut & Thng kờ ToỏnNguyn Cao VnNXB Kt Quc dõn. PHN I. Lí THUYT XC SUT

B TC I S T HP
1. Tớnh cht cỏc phộp toỏn

,


a) Tớnh giao hoỏn:
A B B A
=

=

.2. Quy tc nhõn
Gi s mt cụng vic no ủú ủc chia thnh k giai
ủon. Cú n
1
cỏch thc hin giai ủon th 1, cú n
2
cỏch
thc hin giai ủon th 2, , cú n
k
cỏch thc hin giai
ủon th k. Khi ủú ta cú n = n
1
.n
2
n
k
cỏch thc hin
ton b cụng vic.

3. Quy tc cng
Gi s mt cụng vic cú th thc hin ủc k cỏch
(trng hp) loi tr ln nhau: cỏch th nht cho m
1
kt
qu, cỏch th hai cho m

t ủc ký hiu l
n
P
,
n
P n!
=
.

5.2. Chnh hp lp (cú th t)
nh ngha: Chnh hp lp k ca n phn t
(k n)

l
mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khụng nht thit
khỏc nhau chn t n phn t ủó cho. S cỏc chnh hp
lp k ca n phn t l n
k
.
5.3. Chnh hp (mu khụng lp, cú th t)
nh ngha: Chnh hp chp k ca n phn t
(k n)

l
mt nhúm (b) cú th t gm phn k t khỏc nhau chn
t n phn t ủó cho. S chnh hp chp k ca n phn t
ký hiu l

C
k! n k !
=

. Quy c: 0! = 1.
Tớnh cht:
k n k
n n
C C

=
;
k k 1 k
n n 1 n 1
C C C


= +
.

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
2
Chng 1. CC KHI NIM C BN CA XC SUT

Đ1. BIN C NGU NHIấN

l cỏc bin c s cp v

= {A
0
, A
1
, A
2
, A
3
}.
Gi B l cú ớt nht 1 ht ny mm thỡ B khụng l
bin c s cp. b) Bin c chc chn v bin c khụng th
Trong mt phộp th, bin c nht ủnh xy ra l chc
chn, ký hiu l

.
Bin c khụng th l bin c khụng th xy ra khi thc
hin phộp th, ký hiu

.
VD 3.
T mt nhúm cú 6 nam v 4 n chn ra 5 ngi.
Khi ủú, bin c chn ủc 5 ngi n l khụng th,
bin c chn ủc ớt nht 1 nam l chc chn.

c) S trng hp ủng kh nng

C AB A B
= =

, xy
ra khi v ch khi c A v B cựng xy ra.
VD 6.
Mt ngi chn mua ỏo. Gi A: chn ủc ỏo mu
xanh, B: chn ủc ỏo smi v
C: chn ủc ỏo smi mu xanh thỡ C = AB.
VD 7.
Chn ngu nhiờn 10 linh kin trong 1 lụ ra kim tra. Gi
A
i
: chn ủc linh kin th
i
tt v
C: chn ủc 10 linh kin tt thỡ
10
1 2 10 i
i 1
C A A A A
=
= =

.
Phn bự ca A, ký hiu:
{
}
A \ A A
= =

xy ra thỡ cỏc bin c cũn li khụng xy ra.
Ngha l
i j
A A , i j
=
.
VD 9. Mt hp cú 3 viờn phn mu ủ, xanh v trng.
Chn ngu nhiờn 1 viờn. Gi A: chn ủc viờn mu
ủ, B: chn ủc viờn mu trng v C: chn ủc
viờn mu xanh thỡ A, B, C l xung khc.
b) Bin c ủi lp
Hai bin c A v B ủc gi l ủi lp nhau nu chỳng
tha món 2 ủiu sau:
1) A v B xung khc vi nhau.

2) Phi cú ớt nht mt trong 2 bin c xy ra.
VD 10.
Trng 1 cõy bch ủn. Gi A: cõy bch ủn
sng, B: cõy bch ủn cht thỡ A v B l ủi lp.

H cỏc bin c {A
i
} (i = 1,, n) ủc gi l h ủy ủ
cỏc bin c nu tha món 2 ủiu sau:
1) H xung khc, ngha l
i j
A A , i j
=
.
2) Phi cú ớt nht 1 bin c trong h xy ra,

VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đó có 3 phế
phẩm. Tính xác suất:
a) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp được phế phẩm.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm được 2
phế phẩm.

VD 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 sản phẩm (lấy 1 lần), tính
xác suất để:
a) Cả 3 sản phẩm đều tốt; b) Có đúng 2 phế phẩm.
VD 3. Một lớp có 60 học sinh trong đó có 28 em giỏi
tốn, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừa
giỏi tốn vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại
ngữ, 12 em vừa giỏi tốn vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏi
cả 3 mơn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính
xác suất:
a) Chọn được em giỏi ít nhất 1 mơn.
b) Chọn được em chỉ giỏi tốn.
c) Chọn được em giỏi đúng 2 mơn. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa dạng cổ điển
• Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất mà
khơng cần thực hiện phép thử.
• Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vơ hạn các
biến cố và biến cố khơng đồng khả năng.

2.3. ðịnh nghĩa theo hình học
Cho miền
Ω

, với mọi biến cố A;
2)
P( ) 0
∅ =
; 3)
P( ) 1
Ω =
.
2.5. Ý nghĩa của xác suất
• Xác suất là số đo mức độ tin chắc, thường xun xảy ra
của 1 biến cố trong phép thử.
Chú ý. Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử.

§3. CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
3.1. Cơng thức cộng xác suất
a) Biến cố xung khắc
• A và B xung khắc thì:
P(A B) P(A) P(B)
= +
∪
.
• Họ {A
i
} (i = 1, 2,…, n) thì:
(
)
1 2 n 1 2 n
P A A A =P(A )+P(A )+ +P(A )
∪ ∪ ∪
.




 
+ −
∑ ∑
∑
∪
.

c) Biến cố đối lập
(
)
P A 1 P(A)
= −
.

VD 1. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu
đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất
để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ.

VD 2. Có 33 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi
gồm 2 vòng thi. Biết rằng có 17 học sinh thi đỗ vòng 1;
14 học sinh thi đỗ vòng 2 và 11 học sinh trượt cả hai
vòng thi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sách
dự thi. Tìm xác suất để học sinh đó chỉ thi đỗ duy nhất 1
trong 2 vòng thi. 3.2. Cơng thức nhân xác suất

)
P A B 1 P A B
= −
;

4) nếu A
1
và A
2
xung khắc thì:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
P A A B P A B P A B
= +∪
.
VD 3. Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng.
Người thứ nhất đã bốc 1 vé khơng trúng thưởng. Tính
xác suất để người thứ 2 bốc được vé trúng thưởng (mỗi
người chỉ bốc 1 vé).
b) Cơng thức nhân
• A và B là 2 biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay khơng
cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược
lại, nghĩa là
(
)

VD 5. Mt lụ hng gm 12 sn phm trong ủú cú 8 sn
phm tt v 4 ph phm. Rỳt ngu nhiờn 1 sn phm t
lụ hng v khụng ủ ý ti sn phm ủú, sau ủú rỳt tip
sn phm th 2. Tớnh xỏc sut ủ sn phm th hai l tt.
VD 6. Mt cu th búng r cú 4 qu búng ủang nộm
tng qu vo r. Nu búng vo r hoc ht búng thỡ cu
th ngng nộm. Bit xỏc sut vo r ca qu búng th 1,
2, 3 v 4 ln lt l 90%, 80%, 85% v 70%.
Tớnh xỏc sut cu th nộm ủc búng vo r.

3.3. Cụng thc xỏc sut ủy ủ v Bayes.
a) Cụng thc xỏc sut ủy ủ
Cho h cỏc bin c {A
i
} (i = 1, 2,, n) ủy ủ v B l
bin c bt k trong phộp th, ta cú:
( )
(
)
(
)
n
i i
i 1
1 1 n n
P(B) P(A ) B A
P(A )P B A P(A )P B A
=
=
= + +

=

.

VD 8. T s ụtụ ti v ụtụ con ủi qua ủng cú trm
bm du l 5/2. Xỏc sut ủ 1 ụtụ ti ủi qua ủng ny
vo bm du l 10%; ụtụ con l 20%. Cú 1 ụtụ qua
ủng ủ bm du, tớnh xỏc sut ủ ủú l ụtụ ti.

VD 9. Cú 3 bao lỳa cựng loi. Bao 1 nng 20kg cha 1%
ht lộp, bao 2 nng 30kg cha 1,2% ht lộp v bao 3
nng 50kg cha 1,5% ht lộp. Trn c 3 bao li ri bc
ngu nhiờn 1 ht thỡ ủc ht lộp.
Tớnh xỏc sut ủ ht lộp ny l ca bao th ba.

VD 10. Ba kin hng ủu cú 20 sn phm vi s sn
phm tt tng ng l 12, 15, 18. Ly ngu nhiờn 1 kin
hng (gi s 3 kin hng cú cựng kh nng) ri t kin
ủú ly tựy ý ra 1 sn phm.
a) Tớnh xỏc sut ủ sn phm chn ra l tt.
b) Gi s sn phm chn ra l tt, tớnh xỏc sut ủ sn
phm ủú thuc kin hng th hai. Chng II. BIN (I LNG) NGU NHIấN

Đ1. BIN NGU NHIấN V LUT PHN PHI XC SUT
1.1. Khỏi nim v phõn loi bin ngu nhiờn
a) Khỏi nim
Mt bin s ủc gi l ngu nhiờn nu trong kt qu

cỏch biu din quan h gia cỏc giỏ tr ca bin ngu
nhiờn vi cỏc xỏc sut tng ng m nú nhn cỏc giỏ
tr ủú.
1.2.1. Phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn
a) Trng hp ri rc
Cho bin ngu nhiờn ri rc X cú
1 2 n
X {x , x , , x }
=

vi xỏc sut tng ng l
i i
p P(X x )
= =
.
Ta cú phõn phi xỏc sut (dng bng)
X x
1
x
2
x
n
P p
1
p
2
p
n
.
VD 4. Mt lụ hng cú 12 sn phm tt v 8 ph phm.
Ly ngu nhiờn t lụ hng ra 8 sn phm.
Gi X l s ph phm trong 8 sn phm ly ra.
Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v chng minh:
0 8 1 7 7 1 8 0 8
8 12 8 12 8 12 8 12 20
C C C C C C C C C
+ + + + =
. ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
5VD 5. Xỏc sut ủ 1 ngi thi ủt mi khi thi ly bng
lỏi xe l 0,3. Ngi ủú thi cho ủn khi ủt mi thụi.
Gi X l s ln ngi ủú d thi.
Tỡm phõn phi xỏc sut ca X v tớnh xỏc sut ủ ngi
ủú phi thi khụng ớt hn 2 ln.
b) Trng hp liờn tc
Cho bin ngu nhiờn liờn tc X. Hm f(x),
x



ủc gi l hm mt ủ xỏc sut ca X nu tha:

nờn ta khụng quan
tõm ủn xỏc sut ủ X nhn giỏ tr c th. Suy ra
b
a
P(a X b) P(a X b) P(a X b)
P(a X b) f(x)dx
< = < =
= < < =

.
3) V mt hỡnh hc, xỏc sut bin ngu nhiờn (bnn) X
nhn giỏ tr trong (a; b) bng din tớch hỡnh thang cong
gii hn bi x = a, x = b, y = f(x) v trc Ox. 4) Nu f(x) tha
f(x) 0, x


v
f(x)dx 1
+

=


thỡ f(x) l hm mt ủ xỏc sut ca 1 bnn no ủú.
VD 6. Chng t
3
4x , x (0; 1)


1.2.2. Hm phõn phi xỏc sut
Hm phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn X, ký
hiu F(x) hoc F
X
(x), l xỏc sut ủ X nhn giỏ tr nh
hn x (vi x l s thc bt k). F(x) = P(X < x),
x


.
Hm phõn phi xỏc sut cho bit t l phn trm giỏ tr
ca X nm bờn trỏi ca s x.
Vi bin ngu nhiờn ri rc X = {x
1
, x
2
, , x
n
}:

i i
i i
x x x x
F(x) P(X x ) p
< <
= = =

.
Vi bin ngu nhiờn liờn tc X:

=
+ + + <
neỏu
neỏu
neỏu
neỏu
n
n
1 x x



















>



=
.
VD 8. Mt phõn xng cú 2 mỏy hot ủng ủc lp.
Xỏc sut trong 1 ngy lm vic cỏc mỏy ủú hng tng
ng l 0,1 v 0,2. Gi X l s mỏy hng trong 1 ngy
lm vic.
Lp hm phõn phi xỏc sut ca X v v ủ th ca F(x).

VD 9. Tui th X(gi) ca 1 thit b cú hm mt ủ xỏc
sut
2
0, x 100
f(x)
100
, x 100
x
<


=




.
a) Tỡm hm phõn phi xỏc sut ca X.
b) Thit b ủc gi l loi A nu tui th ca nú kộo di
ớt nht l 400 gi. Tớnh t l (xỏc sut) loi A.
VD 10. Bin ngu nhiờn X cú hm mt ủ xỏc sut:

.
Tỡm a v hm phõn phi xỏc sut F(x). VD 11.
Thi gian ch phc v ca khỏch hng l bnn
X(phỳt) liờn tc cú hm ppxs
4
0, x 0
F(x) ax , x (0; 3]
1, x 3



=


>

.

a) Tỡm a v hm mt ủ xỏc sut f(x) ca X.
b) Tớnh
(
)
P 2 Y 5
<
vi
2
Y X 1
b) Trng hp nhiu bin
VD 13. Cho bng:
Y
X

1

0

1
1 0,1 0,15 0,05
2 0,3 0,2 0,2

Lp bng phõn phi xỏc sut ca:
a)
2
Y 2X X 1
= +
.
b)
Z (X,Y) 2X Y 5
= = +
.
c)
2 2
Z (X, Y) X Y
= = .


j
y
n
P
X
x
1

x
2

.
x
i

.
x
m

p
11
p
12
p
1j
p
1n
p
21
p

i

p
m

P
Y
q
1
q
2
q
j
q
n
1
P
ij
= P(X = x
i
, Y = y
j
) (i = 1,,m; j = 1,,n) l xỏc sut
ủ X = x
i
, Y = y
j
v
m n
ij


n n
ij i j i i
j 1 j 1
p p(X x , Y y ) p(X x ) p
= =
= = = = = =

.
Phõn phi xỏc sut biờn ca Y
Y y
1
y
2
y
i
y
n

P
Y
q
1
q
2
q
i
q
n



a) Tỡm phõn phi biờn ca X, ca Y.
b) Xột xem X v Y cú ủc lp khụng ?
c) Tỡm phõn phi xỏc sut ca Z = X + Y.
Đ2. CC C TRNG S (THAM S C TRNG) CA BIN NGU NHIấN

Nhng thụng tin cụ ủng phn ỏnh tng phn v bin
ngu nhiờn giỳp ta so sỏnh gia cỏc ủi lng vi nhau
ủc gi l cỏc ủc trng s.
Cú ba loi ủc trng s:

Cỏc ủc trng s cho xu hng trung tõm ca bnn:
K vng toỏn, Trung v, Mod,

Cỏc ủc trng s cho ủ phõn tỏn ca bnn:
Phng sai, lch chun, H s bin thiờn,

Cỏc ủc trng s cho dng phõn phi xỏc sut.

2.1. K vng toỏn
2.1.1. nh ngha
a) Bin ngu nhiờn ri rc
Cho X = {x
1
, x
2
,, x

b) Biến ngẫu nhiên liên tục
• Bnn X có hàm mật độ là f(x) thì:
EX x.f(x)dx
+∞
−∞
=
∫
.
VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật
độ xác suất
2
3
(x 2x), x (0; 1)
f(x)
4
0, x (0; 1)



+ ∈

=



∉


.
Chú ý

=



∉


. Tính thời gian trung bình
chờ mua hàng của 1 khách hàng.
VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
2
ax bx , x (0; 1)
f(x)
0, x (0; 1)


+ ∈

=


∉


.
Cho biết EX = 0,6 hãy tính
1
P X
2
 

năng) để A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết
kế là 70% và 80%. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phải
trả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả
100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trả
cho C là 1 tỉ đồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu
đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ đồng và 10%
thuế doanh thu.
Hỏi viện C có nên nhận thiết kế hay khơng?
2.1.3. Tính chất của EX
1) E(C) = C với C là hằng số.
2) E(CX) = C.EX.
3) E(X
±
Y) = EX
±
EY, với X và Y là hai biến ngẫu
nhiên.
4) E(XY) = EX.EY nếu X và Y là hai bnn độc lập.
5) Nếu
Y (X)
= ϕ
thì:
i i
i
(x )p ,
EY
(x)f(x)dx,

X –1 0 1 2
P 0,1 0,3 0,35 0,25
VD 8. Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:
2
2
, x [1; 2]
f(x)
x
0, x [1; 2]



∈


=



∉



.
a) Tính EX.
b) Tính kỳ vọng của
5
2
Y X
X

 





−







 


=

 








−


(1 x ), x 1
f(x)
4
0, x 1



− ≤

=



>


.
Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X
2
.
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang
82.2.2. Ý nghĩa của VarX

2.2.3. Tính chất của VarX
1)
VarX 0
≥
; VarC = 0, với C là hằng số.
2) Var(CX) = C
2
.VarX;
(CX) C . X
σ = σ
.
3) Nếu a và b là hằng số thì Var(aX + b) = a
2
.VarX.
4) Nếu X và Y ñộc lập thì:
Var(X Y) VarX VarY
± = +
;
2 2
(X Y) (X) (Y)
σ ± = σ + σ
.
2.3. Trung vị và Mod
2.3.1. Trung vị
• Trung vị của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu medX, là số m
thỏa
1
P(X m)
2
< ≤

P 0,1 0,2 0,15
0,3
0,45
Khi ñó ta có medX = 4. VD 14. Tìm med của bnn X có bảng phân phối xác suất:
X –1 0 1 2
P

0,25 0,15 0,30 0,30
VD 15. Cho hàm
5
4
, x 1
f(x)
x
0, x 1



≥


=



<


1
f(x) .e , x
2
−
= ∈
π
ℝ
. Tìm modX.

§3. MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

3.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
3.1.1. Phân phối siêu bội
• Xét tập có N phần tử, trong ñó có N
A
phần tử có tính
chất A. Từ tập ñó lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử
có tính chất A thì X có phân phối siêu bội.
Ký hiệu:
A
X H(N, N , n)
∈
hay
A
X H(N,N , n)
∼
.

a) ðịnh nghĩa
• Phân phối siêu bội là phân phối của biến ngẫu nhiên rời

N
p , q 1 p
N
= = −
.
VD 2.
Một rổ mận có 20 trái trong ñó có 6 trái bị hư.
Chọn ngẫu nhiên từ rổ ñó ra 4 trái. Gọi X là số trái mận
hư chọn phải. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính
EX, VarX bằng hai cách.

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
93.1.2. Phõn phi nh thc
a) Cụng thc Bernoulli
Dóy phộp th Bernoulli l dóy n phộp th tha 3 ủiu
kin:
1) Cỏc phộp th ca dóy ủc lp vi nhau.
2) Trong mi phộp th ta ch quan tõm ủn 1 bin c A,
ngha l ch cú A v
A
xut hin.
3) Xỏc sut xut hin A trong mi phộp th ca dóy luụn
l hng s:
(
)

=





.
Tớnh xỏc sut ủ trong 3 phộp th ủc lp cú 2 ln X
nhn giỏ tr trong khong
(0, 25; 0,5)
. b) nh ngha
Phõn phi nh thc l phõn phi ca bin ngu nhiờn
ri rc X = {0; 1; 2; ; n} vi xỏc sut tng ng l:
k k n k
k n
p P(X k) C p q

= = =
.
Ký hiu: X

B(n, p) hay X ~ B(n, p).
Chỳ ý
Khi n = 1 thỡ X

B(1, p) B(p), khi ủú X cũn ủc
gi l cú phõn phi khụng mt hay Bernoulli.

2
) tha món hai
ủiu kin:
1) S ln xut hin bin c A trong khong (t
1
; t
2
) khụng
nh hng ủn xỏc sut xut hin A trong khong thi
gian k tip.
2) S ln xut hin bin c A trong 1 khong thi gian
bt k t l vi ủ di ca khong ủú.
Khi ủú X cú phõn phi Poisson, ký hiu
X P( )

vi
2 1
c(t t ) 0
= >
, c: cng ủ xut hin A.

Chng hn, s xe qua 1 trm hoc s cuc ủin thoi ti
1 trm cụng cng cú phõn phi Poisson.

b) nh ngha
Bin ngu nhiờn X cú phõn phi Poisson vi tham s
0
>
(trung bỡnh s ln xut hin A) nu X nhn cỏc
giỏ tr 0, 1, 2,, n, vi xỏc sut tng ng l:

vo cng.

3.2. Phõn phi xỏc sut ca bin ngu nhiờn liờn tc
3.2.1. Phõn phi chun
a) nh ngha
Bnn X ủc gi l cú phõn phi chun vi tham s
à

v
2


( 0)
>
, ký hiu
(
)
2
X N ,
à
, nu hm mt
ủ phõn phi xỏc sut ca X cú dng:
2
2
(x )

2
1
f(x) e , x
2

X
T
à
=

thỡ T cú phõn
phi chun ủn gin
(
)
T N 0, 1

.
Hm mt ủ phõn phi xỏc sut ca T:
2
t

2
1
f(t) e
2

=

(giỏ tr ủc cho trong bng A).
Cụng thc xỏc sut:
2
b
t

2


Tớnh cht ca hm Laplace (dựng ủ tra bng)
1)
( x) (x)
=
(hm l);
2) vi x > 5 thỡ
(x) 0,5

;
3)
P(T x) 0,5 (x)
< = +
.
Phõn v mc
Ta gi
t

l phõn v mc

ca T nu:
(
)
P T t

> =
.

c) Phng phỏp tớnh xỏc sut phõn phi chun tng
quỏt

.
a) Tớnh xỏc sut khỏch phi ch ủ ủc phc v t 3,5
phỳt ủn 5 phỳt; khụng quỏ 6 phỳt.
b) Tớnh thi gian ti thiu t nu xỏc sut khỏch phi ch
vt quỏ t l khụng quỏ 5%.

VD 12. Thng kờ ủim thi X (ủim) trong mt k tuyn
sinh i hc mụn toỏn ca hc sinh c nc cho thy X
l bin ngu nhiờn vi
X N(4; 2, 25)

.
Tớnh t l ủim thi X 5,5.

VD 13. Tui th ca 1 loi búng ủốn l X (nm) vi
X N(4,2; 6,25)

. Khi bỏn 1 búng ủốn thỡ lói ủc 100
ngn ủng nhng nu búng ủốn phi bo hnh thỡ l 300
ngn ủng. Vy ủ cú tin lói trung bỡnh khi bỏn mi
búng ủốn loi ny l 30 ngn ủng thỡ cn phi quy ủnh
thi gian bo hnh l bao nhiờu?

VD 14. Cho X cú phõn phi chun vi EX = 10 v
(
)
P 10 X 20 0,3
< < =
. Tớnh
(

.

3.2.3. Phõn phi
2
(n) (xem giỏo trỡnh)

3.2.4. Phõn phi Student T(n) (vi n bc t do)
Cho
T N(0, 1)

v
2
Y (n)

thỡ

T
X T(n)
Y
n
=
cú hm mt ủ xỏc sut:
n 1
2
2
n 1
2 x
f(x) 1
n n
n .





.
Giỏ tr ủc ca t(n) ủc cho trong bng C. Chng III. NH Lí GII HN TRONG XC SUT
Đ1. MT S LOI HI T TRONG XC SUT V CC NH Lí (H ủi hc)
1.1. Hi t theo xỏc sut Lut s ln
a) nh ngha
Dóy bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc gi l
hi t theo xỏc sut ủn bin ngu nhiờn X nu:
(
)
n
n
, 0 : lim P X ( ) X( ) 0

> =
.
Ký hiu:
P
n
( )
n
P
i i
i 1
1
X EX 0
n
=


.

b) Bt ủng thc Tchộbyshev
Nu bin ngu nhiờn X cú EX v VarX hu hn thỡ:
( )
2
VarX
0 : P X EX >


hay
( )
2
VarX
P X EX 1 <

.

.
Vy ớt nht 95% dõn c vựng ủú cú thu nhp hng nm
trong khong (163,344USD; 1236,656USD).

c) nh lý lut s ln Tchộbyshev
nh lý
Nu h cỏc bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc
lp tng ủụi cú EX
i
hu hn v VarX
i
b chn trờn bi
hng C thỡ:
n n
i i
n
i 1 i 1
1 1
0 : lim P X EX 0
n n

= =





> =

.
í ngha

Th hin tớnh n ủnh ca trung bỡnh s hc cỏc bin
ngu nhiờn ủc lp cựng phõn phi v cú phng sai hu
hn.

ủo 1 ủi lng vt lý no ủú ta ủo n ln v ly trung
bỡnh cỏc kt qu lm giỏ tr thc ca ủi lng cn ủo.

p dng trong thng kờ l da vo mt mu khỏ nh
ủ kt lun tng th.

1.2. Hi t yu nh lý gii hn trung tõm

a) nh ngha
Dóy bin ngu nhiờn {X
i
} (i = 1, 2,, n) ủc gi l
hi t yu hay hi t theo phõn phi ủn b.n.n X nu:
n
n
lim F (x) F(x), x C(F)

=
.
Trong ủú, C(F) l tp cỏc ủim liờn tc ca F(x).

i 1 i 1
Y X , EX
= =
= à =

,
n
2
i
i 1
VarX
=
=

. Nu EX
i
, VarX
i
hu hn v
3
n
i i
3
n
i 1
E X EX
lim 0

=


n
n
N
C C
C p q
C




.
Xp x phõn phi siờu bi bng Nh thc
Nu N khỏ ln v n rt nh so vi N (n < 0,05N) thỡ
A
N
X B(n;p), p
N
=
.
VD 1. Mt vn lan cú 10000 cõy sp n hoa, trong ủú
cú 1000 cõy hoa mu ủ. Chn ngu nhiờn 20 cõy lan
trong vn ny.
Tớnh xỏc sut ủ chn ủc 5 cõy lan cú hoa mu ủ. 2.2. Liờn h gia Nh thc v Poisson
Nu
n , p 0, np

thỡ:


2.3. nh lý gii hn Moivre Laplace

nh lý 1 (gii hn ủa phng)

Gi p
k
l xỏc sut xut hin k ln bin c A trong n
phộp th Bernoulli vi P(A) = p (p khụng quỏ gn 0 v
khụng quỏ gn 1) thỡ
n
n
k
npq.P (k)
lim 1
f(x )

=
.
Trong ủú,
2
x

2
k
1 k np
f(x) e , x
2 npq



, nếu n khá lớn, p khơng q gần 0
và 1 thì
2
X N( ; )
µ σ
∼
với
2
np, npq
µ = σ = .
Khi đó:
1)
1 k
P(X k) .f
 
− µ


= =





σ σ
 
(tra bảng A, f(–x) = f(x)).
2)
2 1
1 2

phòng.

………………………………………………………………… PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ
Chương IV. LÝ THUYẾT MẪU
§1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH MẪU

1.1. Mẫu và tổng thể (đám đơng)
• Tập hợp có các phần tử là các đối tượng mà ta nghiên
cứu được gọi là tổng thể. Số phần tử của tổng thể được
gọi là kích thước của tổng thể.
• Từ tổng thể ta chọn ra n phần tử thì n phần tử đó được
gọi là một mẫu có kích thước (cỡ mẫu) n. Mẫu được
chọn ngẫu nhiên một cách khách quan được gọi là mẫu
ngẫu nhiên.
VD 1. Khi nghiên cứu về số cá trong một hồ thì số cá
trong hồ là kích thước của tổng thể. Từ hồ đó bắt lên 10
con cá thì được 1 mẫu khơng hồn lại kích thước là 10.

Nếu từ hồ đó bắt lên 1 con cá rồi thả xuống, sau đó tiếp
tục bắt con khác, tiến hành 10 lần như thế ta được mẫu
có hồn lại kích thước 10.
• Khi mẫu có kích thước lớn thì ta khơng phân biệt mẫu
có hồn hay khơng hồn lại.
1.2. Phương pháp xác định mẫu
• Mẫu định tính là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần
tử của nó có tính chất A nào đó hay khơng.
VD 2. ðiều tra 100 hộ dân của một thành phố về thu

x
2
,…, x
n
.
VD 4. Chiều cao của cây bạch đàn là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn. ðo ngẫu nhiên 5 cây X
1
, X
2
,…, X
n
ta
được X
1
=3,5m; X
2
=3,2m; X
3
=2,5m; X
4
=4,1m; X
5
=3m.
Khi đó, {X
1
, X

Số phần tử của tổng thể
.

1.3. Sắp xếp số liệu thực nghiệm
1.3.1. Sắp xếp theo các giá trị khác nhau
• Giả sử mẫu (X
1
, X
2
,…, X
n
) có k quan sát khác nhau là
X
1
, X
2
,…, X
k
(
k n
≤
) và X
i
có tần số n
i
(số lần lặp lại)
với
1 2 k
n n n n
+ + + =

khác nhau rất ít thì ta sắp xếp chúng dưới
dạng khoảng.
Xét khoảng
(
)
min max
x , x
chứa tồn bộ quan sát X
i
.
Ta chia
(
)
min max
x , x
thành các khoảng bằng nhau (còn
gọi là lớp ) theo ngun tắc:
Số khoảng tối ưu là 1 + 3,322lgn, độ dài khoảng là:
max min
x x
h
1 3,322 lg n
−
=
+
. VD 6. ðo chiều cao của n = 100 thanh niên, ta có bảng
số liệu ở dạng khoảng:

Sử dụng cơng thức
i 1 i
i
a a
x
2
−
+
=
ta có bảng số liệu ở
dạng bảng (dùng để tính tốn):

x
i

Tần số n
i

Tần suất
i
n
n

150
154
158
162
166
5
20

2
VarX
= σ
và tỉ lệ p phần tử có tính chất A.
2.1.1. Tỉ lệ mẫu F
n

• Cho mẫu định tính kích thước n, ta gọi
n
n i i
i 1
0
1
F X , X
1
n
=



= =




∑
là tỉ lệ mẫu tổng qt.
• Cho mẫu định tính kích thước n, trong đó có m phần tử
có tính chất A. Khi đó ta gọi:
n

b) Phương sai của tỉ lệ mẫu:
1 n
n
X X
pq
VarF Var
n n
 
+ +



= =





 

(các X
i
có phân phối Bernoulli). 2.1.2. Trung bình mẫu
• Trung bình mẫu:
n
n i
i 1

Var X
n n
σ
= =
.
Chú ý

• Tỉ lệ mẫu
1 n
n
X X
F
n
+ +
=
và trung bình mẫu
1 n
n
X X
X
n
+ +
=
khác nhau ở chỗ là trong F
n
, các
X

2 2
2
n
i n
i 1
1
S S X X
n
=
= =


.
Mu c th:
( )
n
2 2
2
n
i n
i 1
1
s s x x
n
=
= =


.
Phng sai mu hiu chnh:

2
2
n 1
E S
n




=







,
(
)
2 2
E S
=
.

Trong tớnh toỏn ta s dng cụng thc:
( )
n
2 2 2
2 2

n
n n
F p, X , S
à
(theo xỏc sut).
Trong thc hnh, khi c mu n khỏ ln (c hng chc
tr lờn) thỡ cỏc ủc trng mu xp x cỏc ủc trng tng
ng ca tng th:
2
2 2 2
x , f p, s , s
à

.

Đ3. PHN PHI XC SUT CA CC C TRNG MU (tham kho)
3.1. Phõn phi xỏc sut ca t l mu F
Do EF = p v
pq
VarF
n
=
nờn vi n khỏ ln thỡ:
pq
F N p,
n





3.2.1. Trng hp tng th X cú phõn phi chun
(
)
2
X N ,
à Do EF = p v
2
EX , VarX
n

= à =
nờn:
( )
2
X
X N , hay n N 0, 1
n

à



à





Khi n < 30 v
2

cha bit thỡ:
2
X
n (n 1)
s
à

cú phõn phi Student vi n 1
bc t do. 3.2.2. Trng hp X khụng cú phõn phi chun
T ủnh lý gii hn trung tõm, ta suy ra:
( )
d
X
n N 0, 1
à



( )
d
X
n N 0, 1
s
à


b)
2

cha bit thỡ:
( )
2
X S
n N 0, 1 , X N ,
S n

à



à







.

3.3. Phõn phi xỏc sut ca phng sai mu
Gi s tng th
(
)
2

thỡ t l mu l
m
f
n
=
.
4.2. Tớnh trung bỡnh mu
x

Mu cú n giỏ tr x
i
thỡ trung bỡnh mu l:
n
1 2 n
i
i 1
x x x
1
x x
n n
=
+ + +
= =

.
Nu x
i
lp li n
i
(i = 1,, k

x
v
( )
n
2
2 2 2 2
1 2 n i
i 1
1 1
x x x x x
n n
=
= + + + =

.
Phng sai mu l:
(
)
2
2 2
s x x
=

.
Phng sai mu cú hiu chnh l:
2
2
n
s s
n 1

n
σ
: ñộ lệch chuẩn của mẫu)
– SHIFT -> 2 -> 3 -> = (xuất kết quả s =
x
n 1
σ −
: ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh)

b) Máy fx 500ES
• Xóa nhớ: SHIFT -> 9 -> 3 -> = -> =
• Vào chế ñộ thống kê nhập dữ liệu
– SHIFT -> MODE -> dịch chuyển mũi tên tìm chọn mục Stat -> 3 (chế ñộ không tần số)
– MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) -> (nhập các số) 12 = 13 =…. 11 =
• Xuất kết quả
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 1 -> = (n: cỡ mẫu)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 2 -> = (
x
: trung bình mẫu)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 3 -> = (
x
n
σ
: ñộ lệch chuẩn của mẫu)
– SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 4 -> = (
x
n 1
σ −
: ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh)


Năng suất (tấn/ha) 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 5,5 5,5 - 6 6 - 6,5 6,5 - 7
Diện tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3
Những thửa ruộng có năng suất ít hơn 4,4 tấn/ha là có năng suất thấp.
a) Tính tỉ lệ diện tích lúa có năng suất thấp.
b) Tính năng suất lúa trung bình, phương sai và ñộ lệch chuẩn của mẫu có hiệu chỉnh.
……………………………………………………………

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
16
Chng V. C LNG C TRNG CA TNG TH (M ễNG)

Đ1. C LNG IM

1.1. Thng kờ
Mt hm ca mu tng quỏt T = T(X
1
, X
2
,, X
n
) ủc
gi l 1 thng kờ.
Cỏc vn ủ ca thng kờ toỏn ủc gii quyt ch yu
nh vo vic xõy dng cỏc hm thng kờ ch ph thuc
vo mu tng quỏt, khụng ph thuc cỏc tham s.

ủim ca t l tng th p.
Trung bỡnh mu
1 2 n
X X X
X
n
+ + +
=
l c
lng ủim ca trung bỡnh tng th
à
.
1.3. c lng khụng chch (tham kho)
Thng kờ
(
)
1 n
X , , X


l c lng khụng chch ca

nu
(
)
1 n
E X , , X

=





(phng sai mu l c lng
khụng chch ca phng sai tng th
2

).
VD 3. Cõn 100 sn phm ca 1 xớ nghip ta cú bng s
liu:
x (gr) 498 502 506 510
n
i
40 20 20 20 Ta cú:
498.40+502.20+506.20+510.20
x
100
=
502, 8(gr)
=
.
D ủoỏn (c lng): Trng lng trung bỡnh ca cỏc
sn phm trong xớ nghip l
502, 8(gr)
à
.

Gii

a)
(
)
( ) ( )
1 2 1 2
1 1 1 1
E X E X X E X E X
2 2 2 2



= + = +




1 1
2 2
= à + à = à
.

(
)




= +




( ) ( )
2 2 2
1 2
1 1
Var X Var X
4 4 4 4 2

= + = + = .

(
)
1 2
1 2
Var X Var X X
3 3





2.1. nh ngha
Khong
(
)
1 2
; ca thng kờ


ủc gi l khong
tin cy ca tham s

nu vi xỏc sut
1

cho trc
thỡ
(
)
1 2
P 1
< < =

.
Xỏc sut
1

l ủ tin cy ca c lng,

P P
< < =

.
Do ủú, ta cú th ghi
1 2
;


.

2.2. c lng khong cho t l tng th p
Gi s t l p cỏc phn t cú tớnh cht A ca tng th
cha bit. Vi ủ tin cy
1

cho trc, khong tin
cy cho p l
(
)
1 2
p ; p
tha:
(
)
1 2
P p p p 1

.
Trong ủú
t

l mc phõn v, tỡm ủc t

1
(t )
2


=
bng cỏch tra bng B.
Chỳ ý

( )
2
2
t
n f 1 f 1
= +

l kớch thc mu cn chn
ng vi


c) Da vo mu trờn, nu mun ủ chớnh xỏc l 0,01 vi
ủ tin cy 97% thỡ cn kim tra thờm bao nhiờu sn
phm na ? 2.3. c lng trung bỡnh tng th
à

Gi s tng th cú trung bỡnh
à
cha bit. Vi ủ tin
cy
1

cho trc, khong tin cy cho
à
l
(
)
1 2
;
à à

tha:
(
)
1 2
P 1
à < à < à =



=
.

VD 4. Kho sỏt ngu nhiờn 100 sinh viờn thy ủim
trung bỡnh mụn XSTK l 5,12 ủim vi ủ lch chun
0,26 ủim. Hóy c lng ủim trung bỡnh mụn XSTK
ca sinh viờn vi ủ tin cy 97%.
b) Trng hp 2. Kớch thc mu
n 30

v phng
sai tng th
2

cha bit.
Tớnh
2 2 2
n
x, s s s s
n 1
=


(ủ lch chun
mu hiu chnh).
T
B
1

c) Trng hp 3. Vi
n 30
<
, phng sai tng th
2


ủó bit v X cú phõn phi chun thỡ ta lm nh trng
hp 1.

d) Trng hp 4. Vi
n 30
<
, phng sai tng th
2


cha bit v X cú phõn phi chun.
Tớnh
2 2 2
n
x, s s s s
n 1
=


.
T
C
n 1

nhiờn cú phõn phi chun. Gt ngu nhiờn 115 ha lỳa ca
vựng ny ta cú s liu:
Nng sut (t/ha) 40 42 42 44 44 46
Din tớch (ha) 7 13 25
Nng sut (t/ha) 46 48 48 50 50 52
Din tớch (ha) 35 30 5
a) Hóy c lng nng sut lỳa trung bỡnh vựng ny
vi ủ tin cy 95%.
b) Nhng tha rung cú nng sut khụng quỏ 44 t/ha l
nng sut thp. Hóy c lng nng sut trung bỡnh ca
nhng tha rung cú nng sut thp vi ủ tin cy 99%.
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
18
VD 8. nghiờn cu nhu cu v loi hng A 1 khu
vc ngi ta tin hnh kho sỏt 400 trong ton b 4000
gia ủỡnh, kt qu:
Nhu cu (kg/thỏng) 01 12 23 34
S gia ủỡnh 10 35 86 132
Nhu cu (kg/thỏng) 45 56 67 78
S gia ủỡnh 78 31 18 10

a) c lng nhu cu trung bỡnh loi hng A ca khu
vc trờn trong 1 nm vi ủ tin cy 95%.
b) Vi mu kho sỏt trờn, nu mun cú c lng vi ủ
chớnh xỏc 4,8 tn v ủ tin cy 95% thỡ cn kho sỏt ti

< < =
.

Trong thc hnh ta cú hai trng hp sau a) Trng hp 1. Trung bỡnh tng th
à
ủó bit.
T mu ta tớnh
( )
k
2
2
i i
i 1
n.s n x , k n
=
= à


.
T
1
2






. b) Trng hp 2. Trung bỡnh tng th
à
cha bit.
T mu ta tớnh
( )
k
2
2
i i
i 1
x (n 1)s n x x , k n
=
=

.
T
1
2


= =


. VD 9. Trng lng gúi mỡ X(gr) l bnn cú phõn phi
chun. Cõn kim tra 15 gúi mỡ cú s liu:
X(gr) 84 84,5 85 85,5
S gúi 2 3 8 2
Vi ủ tin cy 93%, hóy c lng phng sai X trong
mi trng hp sau:
a) Bit trng lng trung bỡnh gúi mỡ l 84,9gr.
b) Cha bit trng lng trung bỡnh gúi mỡ.

VD 10. Kho sỏt 16 sinh viờn v ủim trung bỡnh ca
hc k 2 thỡ tớnh ủc s
2
= 2,25 ủim. c lng
phng sai v ủim trung bỡnh hc k 2 ca sinh viờn

lm loi 1 khụng vt quỏ mc ý ngha . Vi mc ý
ngha ủó cho, ta chp nhn H nu xỏc sut xy ra sai
lm loi 2 l nh nht.

Chỳ ý
Mc ý ngha gim thỡ P(loi I) gim

P(loi II)
tng, ngha l kh nng chp nhn H tng.

1.2. Kim ủnh gi thit t l tng th p

ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
19Vi t l p
0
cho trc thỡ
0
0 0
F p
T N(0; 1)
p q
n

=
v

1


B
1
(t ) t
2 =
.
Nu
t t


thỡ ta chp nhn gi thit, ngha l p = p
0
.
Nu
t t

>
thỡ ta bỏc b gi thit, ngha l
0
p p

.

Trong trng hp bỏc b, nu f > p
0

1.3. Kim ủnh gi thit trung bỡnh tng th à
Vi trung bỡnh à
0
cho trc, tng t bi toỏn c
lng khong cho trung bỡnh tng th, ta cú cỏc trng
hp sau (túm tt):
t gi thit H: à = à
0
(ngha l trung bỡnh tng th
nh trung bỡnh cho trc).
a) Trng hp 1. Vi
2
n 30,

ủó bit.
Tớnh
0
x
t , t
n

à
=

.
Nu
t t


ta chp nhn gi thit;

x
t
s
n
à
=
. T mc ý ngha
C
n 1
t


.
Nu
n 1
t t


ta chp nhn gi thit;

n 1
t t


> ta bỏc b gi thit. Chỳ ý
Trong trng hp bỏc b:
Nu

0, 01
=
.

a) Giỏm ủc tri núi rng trng lng trung bỡnh ca g
tõy l 3,5kg, vi mc ý ngha 2% hóy kim ủnh li núi
trờn ?
b) Gi s ngi ta dựng thc n mi v khi xut chung
trng lng trung bỡnh ca g tõy l 3,9 kg. Vi mc ý
ngha 3%, hóy cho kt lun v loi thc n ny ?

VD 7. Khi lng ca mt bao go ca 1 nh mỏy l
bin ngu nhiờn cú ủ lch tiờu chun l 0,3kg. Ban
giỏm ủc tuyờn b khi lng mi bao go ca nh mỏy
l 50kg. Cõn th 50 bao thỡ thy khi lng trung bỡnh l
49,97kg. Vi mc ý ngha 1%, hóy kim tra li tuyờn b
trờn ?
VD 8. im trung bỡnh mụn toỏn ca sinh viờn nm
trc l 5,72. Nm nay theo dừi 100sv ủc s liu:
im 3 4 5 6 7 8 9
S sinh viờn 3 5 27 43 12 6 4
Vi mc ý ngha 5%, phi chng ủim trung bỡnh ca
sinh viờn nm nay cao hn nm trc?
ThS. ẹoaứn Vửụng Nguyeõn Slide baứi giaỷng XSTK

Trang
20VD 9. Chiu cao cõy ging X(m) trong mt vm m

(n 1)s

=

.
T
D
2 2
n 1 n 1
1 , 1
2 2 2



.
Nu
2 2 2
n 1 n 1
1
2 2


<
.
VD 10. Tin hnh 25 quan sỏt v ch tiờu X ca 1 loi
sn phm, ta tớnh ủc s
2
= 416,667. Cú ti liu núi rng
phng sai ca ch tiờu X l 400. Vi mc ý ngha 3%,
cho nhn xột v ti liu ny?

Đ2. KIM NH SO SNH HAI C TRNG
2.1. So sỏnh hai t l p
x
v p
y
ca hai tng th X, Y

t gi thit H: p
x
= p
y
.
T 2 mu ta tớnh
x
x
x
m
f
n
=
,

n n

=





+






(giỏ tr kim ủnh).

Nu
t t


thỡ chp nhn H
x y
p p
=
;
nu
x y
x y
t t

.

VD 1. T hai tng th X
1
, X
2
tin hnh 2 mu cú kớch
thc n
1
= 100, n
2
= 120 ta tớnh ủc f
1
= 0,2 v f
2
= 0,3.
Vi mc ý ngha 1% hóy so sỏnh hai t l ca hai tng
th ủú.
VD 2. Kim tra 120 sinh viờn trng A thy cú 80 sinh
viờn gii, 150 sinh viờn trng B cú 90 sinh viờn gii.
Hi t l sinh viờn gii ca 2 trng nh nhau khụng vi
mc ý ngha l 5%?
VD 3. Kim tra 120 sn phm kho I thy cú 6 ph
phm. Kim tra 200 sn phm kho II thy cú 24 ph
phm. Cht lng hng hai kho cú khỏc nhau khụng
vi: 1) Mc ý ngha 5% ? 2) Mc ý ngha 1% ?


x y
t
n n

=


+
v
so sỏnh vi
t

.
Trng hp 2.
x y
n , n 30
v
2 2
x y
,

cha bit.
Ta thay
2 2
x y
,

bi
2 2
x y

x y
(n 1)s (n 1)s
s
n n 2
+
=
+
.
Tớnh giỏ tr kim ủnh
x y
x y
t
1 1
s.
n n

=
+
.
T
x y
n n 2
C
t
+


v so sỏnh vi t.

VD 4.

s 56,2
=
. Cú th xem ủng kớnh trung bỡnh ca cỏc
trc mỏy 2 mỏy nh nhau vi mc ý ngha 1% khụng?
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK

Trang
21
VD 6. Khối lượng trung bình của 50 trái dưa hấu do xã
A trồng là 6,72kg với s
x
= 0,72kg. Khối lượng trung bình
của 80 trái dưa hấu do xã B trồng là 6,46kg với
s
y
= 0,91kg. Với mức ý nghĩa 1% có kết luận khối lượng
trung bình trái dưa hấu do xã A trồng nặng hơn không ?

VD 7. Khối lượng trung bình của 23 trái dưa hấu do xã
A trồng là 6,72kg với s
x
= 0,72kg. Khối lượng trung bình
của 19 trái dưa hấu do xã B trồng là 6,46kg với
s
y
= 0,91kg. Với mức ý nghĩa 1% có kết luận khối lượng
trung bình trái dưa hấu do xã A trồng nặng hơn không ?


2
α
⇒
.
Tra bảng E ta tìm ñược
x y
2
f f (n 1, n 1)
α
= − −
. • Nếu g < f ta chấp nhận giả thiết, nếu g > f ta bác bỏ giả
thiết.
• Trong trường hợp bác bỏ giả thiết:
– Nếu
2 2
x y
s s
>
thì kết luận
2 2
x y
σ > σ
và ngược lại.

VD 8. Giá cổ phiếu là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn. ðiều tra ngẫu nhiên giá cổ phiếu của công ty X

Y 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Biểu ñồ liên hệ giữa ñộ tuổi và ñộ cholesterol: Biểu ñồ trên ñây gợi ý cho thấy mối liên hệ giữa ñộ tuổi
(X) và cholesterol (Y) là một ñường thẳng (tuyến tính).
• ðể “ño lường” mối liên hệ này, chúng ta có thể sử
dụng hệ số tương quan:
n
i i
i 1
xy
n n 2 2
x y
2 2
i i
i 1 i 1
(x x)(y y)
xy x.y
r
s .s
(x x) (y y)
=
= =
− −

x y
s .s
⌢ ⌢
có sai số bé hơn
x y
s .s
⌢ ⌢
.

Ý nghĩa

• Hệ số tương quan ño mối quan hệ tuyến tính giữa x, y.
1)
xy
1 1
r
− ≤ ≤
.
2) Nếu
xy
r
0
=
thì hai biến số không có quan hệ tuyến
tính; nếu
xy
r 1
=
±
thì hai biến số có quan hệ tuyến tính

n
,9
=
= =

;
n
i 1
i
y
1
y
3,
n
56
=
= =

;
ij i i
i 1
j 1
xy y 167, 2
1
6
n x
n
=
=
= =

cỏ nhõn i l x
i
v cholesterol l y
i
,
i 1,10
=
.

Cỏc ủim cú ta ủ (x
i
; y
i
) to thnh ủng gp khỳc
v gn vi ủng thng cú dng y = ax + b. Ngi ta
dựng ủng thng y = ax + b ủ tớnh xp x cỏc giỏ tr y
i

theo x
i
:
i i i
y ax b= +

+
vi mt sai s
i

, ủng
thng ny ủc gi l ủng thng hi quy.

Chỳ ý
x
xy
y x
y y
x x
r
s s


=

. VD 2. o chiu cao X(m) v khi lng Y(kg) ca 5 hc
sinh, ta cú kt qu:

X(m) 1,45 1,6 1,5 1,65 1,55
Y(kg) 50 55 45 60 55

a) Tỡm h s tng quan r
xy
.
b) Lp phng trỡnh hi quy tuyn tớnh ca Y theo X.
c) D ủoỏn nu mt hc sinh cao 1,62m thỡ nng khong
bao nhiờu kg? VD 3. S vn ủu t X(triu ủng) v li nhun Y(triu

0,150 5 15 30
0,160 10 25
0,165 15
a) Tớnh h s tng quan r
xy
.
b) Lp phng trỡnh hi tuyn tớnh ca X theo Y.
c) D ủoỏn nu mun bỏn ủc 115 thựng bia thỡ giỏ bỏn
mi thựng c bao nhiờu?
3. S dng mỏy tớnh tỡm ủng hi qui
VD 5. (fx 500ES) Bi toỏn cho dng cp
i i
(x
, y
)
nh sau
X 20

52

30

57

28

43

57


.
Nhp liu:
SHIFT -> MODE -> dch chuyn mi tờn tỡm chn mc
Stat-> 2 (ch ủ khụng tn s)
MODE->2 (stat) ->2 (A+Bx) -> (nhp cỏc giỏ tr ca X,
Y vo 2 ct)
X Y
20 1,9

49 4
Xut kt qu:
SHIFT - > 1 -> 7 ->1(A chớnh l b trong phng trỡnh)
- >2 (B chớnh l a trong phng trỡnh)
-> 3 (r chớnh l
xy
r
).

VD 6.
(fx 500ES) Bi toỏn cho dng bng nh sau

X
Y
21 23 25
3 2
4 5 3
5 11 8
Nhp liu:
SHIFT -> MODE -> dch chuyn mi tờn tỡm chn muc
Stat-> 1 (ch ủ cú tn s)