Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 1
ĐỀ THAM KHẢO 3
MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT
(Được sử dụng tài liệu và máy tính)
(GV: Trần Ngọc Hội - 2009)
oOo

Câu 1. Một máy sản xuất sản phẩm X với tỉ lệ loại tốt là 60%. Một lô hàng chứa 20 sản
phẩm X với tỉ lệ loại tốt là 60%. Cho máy sản xuất 3 sản phẩm rồi bỏ vào lô hàng, sau đó
từ lô hàng chọn ra 4 sản phẩm thì được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất
để 2 sản phẩm tốt thu được là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước.

Câu 2. Một xưởng có 15 máy gồm 9 máy loại I và 6 máy loại II, trong đó tỉ lệ sản phẩm
tốt do máy I sản xuất là 60%, do máy II sản xuất là 70%. Chọn ngẫu nhiên một máy để
sản xuất và đóng sản phẩm thành 250 kiện, mỗi kiện 8 sản phẩm. Một kiện được xếp vào
loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu. Tính xác suất để trong 250 kiện có từ 150 đến 235
kiện loạ
i A.

Câu 3. Để khảo sát trọng lượng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát
một mẫu và có kết qủa sau:
X(kg)
10−18 18−26 26−34 34−42 42−50 50−58 58−66
Số con 12 25 30 28 18 15 10
a) Nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ chính xác
2,5kg thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?
b) Những con vật có trọng lượng từ 50kg trở lên được xếp vào loại A. Ước lượng

• B là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu.

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có
điều kiện P(A/B).
Ta có
P(AB)
P(A / B)
P(B)
=
.
Sau đây ta tìm P(B) và P(AB).

Gọi A
j
(j = 0, , 3) là biến cố có j sản phẩm tốt và (3-j) sản phẩm xấu có trong 3 sản phẩm
lấy từ lô I. Khi đó A
0
, A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và theo công thức
Bernoulli với n = 3 , p = 60% = 0,6, ta có:

003 3
03
112 1 2
13

)P(B/A
3
)
Theo công thức Xác suất lựa chọn, ta có:
22
12 11
0
4
23
22
13 10
1
4
23
22
14 9
2
4
23
22
15 8
3
4
23
CC
66
P(B / A ) ;
161
C
CC

) + P(A
1
)P(AB/A
1
) + P(A
2
)P(AB/A
2
) + P(A
3
)P(AB/A
3
)
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 3

Nhận xét rằng AB là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm
xấu mà 2 sản phẩm tốt là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước.
Theo công thức Xác suất lựa chọn, ta có:
22
12 11
0
4
23
22
12 10
1

115
C
==
==
==
==

Suy ra:
66 54 216 24
P(AB) =0,064 0,288 0,432 0,216 0,2838.
161 161 805 115
+++=Từ các kết quả trên ta suy ra:

P(AB) 0,2838
P(A / B) 0,7631
P(B) 0,3719
== =
.

Vậy xác suất cần tìm là 0,7631.

Câu 2. Gọi X là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện. Yêu cầu bài toán là tính xác
suất P(150 ≤ X ≤ 235).

Gọi - A
1
, A

= k) + 0,4.P(X
2
= k).
Do đó
P(150 ≤ X ≤ 235) = 0,6.P(150 ≤ X
1
≤ 235) + 0,4.P(150 ≤ X
2
≤ 235) (1)

Bây giờ ta tìm phân phối của X
1
và X
2
.
• Phân phối của X
1
: Ta có X
1
là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong
trường hợp chọn được máy loại I.
Ta xét trường hợp đã chọn được máy loại I. Trước hết ta cần tính xác suất p
1
để một kiện
thuộc loại A trong trường hợp này.
Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 4
Chọn ngẫu nhiên một kiện. Gọi B là biến cố kiện thuộc loại A. Ta cần tính p

= 250 khá lớn và p
1
= 0,5941 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên
ta có thể xem X
1
có phân phối chuẩn như sau:
X
1
∼ N(μ
1
, σ
1
2
)
với μ
1
= n
1
p
1
= 250.0,5941 = 148,525;
1 111
n p q 250.0,5941.(1 0,5941) 7,7644σ= = − =
.

• Phân phối của X
2
: Ta có X
2
là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong

2
) với n
2
= 250, p
2
=
0,8059. Vì n
2
= 250 khá lớn và p
2
= 0,8059 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên
ta có thể xem X
2
có phân phối chuẩn như sau:
X
2
∼ N(μ
2
, σ
2
2
)
với μ
2
= n
2
p
2
= 250.0,8059 = 201,475;


6,2535
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 5
(
)
(
)
()()
()()
= 0, 6 (11,14) (0, 19) 0, 4 (5, 36) ( 8, 23)
0, 6 (5) (0,19) 0, 4 (5) (5)
0, 6 0, 5 0, 0754 0, 4 0, 5 0, 5 0, 6548
ϕ−ϕ+ϕ−ϕ−
=ϕ−ϕ +ϕ+ϕ
=−++=

Vậy xác suất để trong 250 kiện có từ 150 đến 235 kiện loại A là 65,48%.

Câu 3. Lập bảng

X

- Phương sai mẫu của X là:


2
22
ii
1
SXnX
n
=−=
∑
(13,5439)
2- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:


2
2
n
SS
n1
==
−
(13,5932)
2a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1 − α khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X

Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 6

Vậy độ tin cậy đạt được là 96,92%.

b) Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ
A
= M(X
A
) của chỉ tiêu X = X
A
của
những con loại A với độ tin cậy γ = 1 − α = 99% = 0,99.

Các số liệu của X
A
thu được như sau:

X
Ai
54 62
n
Ai
15 10
Từ bảng trên ta tính được:
A
n
=

1
SXnX
n
=
−=
∑
(3,9192)
2

- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X
A
là:

2
22
A
A
A
A
n
SS4
n1
=
=
−

Vì n
A
< 30, X
A

2,797. Vậy ước lượng khoảng
là
44
(57,2 2,797 ;57,2 2,797 ) (54, 9624; 59,4376).
25 25
−+=

Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình của con loại A từ 54,9624kg
đến 59,4376kg.

Câu 4. Từ các giả thiết của bài toán ta suy ra đối với loại thuốc B:
• Cỡ mẫu n

= 350.
• Số bệnh nhân khỏi bệnh: 273.
• Tỉ lệ mẫu bệnh nhân khỏi bệnh F
n
= 273/350 = 0,78.

a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p

các bệnh nhân khỏi bệnh khi được điều
trị bằng thuốc B với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
Xác suất thống kê – Đề tham khảo 3 Trần Ngọc Hội 7

H

= 2,33.
Bước 3: Vì z = 2,5 > 2,33 = z
2α
nên ta bác bỏ giả thiết H
0
: p = 0,72, nghĩa là chấp
nhận H
1
: p

> 0,72.

Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, có thể cho rằng thuốc B có khả năng chữa bệnh tốt
hơn thuốc A.

b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ p

các bệnh nhân khỏi bệnh khi được điều
trị bằng thuốc B với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05:

H
0
: p = 82% = 0,82

với giả thiết đối H
1
: p ≠ 0,82.

Ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com