Từ bài toán đơn giản không giải phơng trình tính tổng và tích 2 nghiệm của ph-
ơng trình bậc 2 , học sinh có phơng tiện là hệ thức Vi - ét để tính toán . Hệ thức còn
giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phơng trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm
là bao nhiêu .
Giải và biện luận phơng trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó . Tiếp tục
bài toán này thờng kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm ,
các phép tính trên 2 nghiệm của phơng trình. Việc tính mỗi nghiệm của phơng
trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phơng trình đang chứa tham
số . Trong trờng hợp đó hệ thức Vi - ét là 1 phơng tiện hiệu quả giúp học sinh giải
loại toán này .
Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi
quan trọng nh thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trờng chuyên lớp
chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hớng dẫn
học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =
1 2
b
x x
a
+ =
và P =
1 2

3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của
phơng trình bậc hai :
2
0x Sx P
+ =
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng trình
Bài tập 1: Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
2
13 40 0x x
+ =
b)
2
5 7 1 0x x
+ + =
c)
2
3 5 1 0x x
+ =
Giải
a) Theo hệ thức Vi - ét có S =
1 2
13
b
x x
a
+ = =
P =


+ = = <
nên 2 nghiệm cùng dấu âm
1
c) P =
1 2
1
. 0
3
c
x x
a

= = <
nên 2 nghiệm trái dấu
S =
1 2
5
0
3
b
x x
a
+ = = <

Bài tập 2 : Cho phơng trình
2 2
10 0x x m =
(1)
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của

( 1) 2 0x m x m m + =
(1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2
Tìm m để biểu thức
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

= +
ữ ữ

đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc
2
4 0
1 4.( 4) 17 0
x x
=
= = >

m m P P m

+ <
ữ ữ

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
m
c) Gọi 2
nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Từ kết quả phần b có x
1
, x
2


0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x
1
, x
2
tính
theo m và
3
1 2
2 1
( ) 0;( ) 0
x x

1 1a
a a
+
=

Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và
1
a
( vì a > 0 và
1
0
a
>
)
Có
1 1
( ) : 2 .
1
( ) : 2 1
1
2
a a
a a
a
a
a
a
+
+
+

=
=
+ =
+ =
=
=
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì
3
1 1
1 2
2 2
( ) 1 1
x x
x x
x x
= = =

Theo kết
quả
1 2
x x
=
có
1 2 2 2
0
b
S x x x x
a
= + = + = =


2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0
2 4 4
c m m m m
m m
m
= + = +
= + +

= <
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số
m
Theo hệ thức Vi ét P =
2
1 2
. 2 0
c
x x m m
a
= = + <
do đó 2 nghiệm trái
dấu

x x
+ =
khi m =
2
3

Bài tập 5:
Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu
2
7 0 7 7m m + < < <
Với điều kiện này giả sử x
1
< 0 ,x
2
> 0 theo đề ra ta có
2
2 2
1 1 2
2
1 7
1 ( ) 1 7 2 5 5
2

Giải :
4
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
+ = +
1) Đặt x
2
= y ( ĐK : y

0 ) Pt (1) trở thành
2 2 2
2( 2) 5 3 0y m y m
+ + + =
(2)

2 2 2
4 2 2
4 2
2 2 2
2 2
( 2) (5 3)
4 4 5 3
1
1 1 3
( ) 2 .
2 4 4
1 3
( )
2 4

b m
S y y m
a
+
= + = = = +
2
1 2
. 5 3
c
P y y m
a
= = = +
Xét
2
5 3P m
= +
có
2 2 2
0 5 0 5 3 3m m m
+

nên P > 0 với mọi m

Z
1 2
,y y

cùng dấu
Xét
2

3 2 4 2
,x y x y
= =

2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
M
y y y y
= + + +

5
2
, 2 2
( 2) (5 3)m m

= + +1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
2 2
2 2
.

m
M
m
+
=
+
Bài tập 7:
Cho phơng trình
2
2( 1) 0x m x m
+ + =
( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có
nghiệm với mọi m
b) Trong trờng hợp m > 0 và
1 2
,x x
là các nghiệm
của phơng trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=
Giải:
a)
[ ]

Vì
2
1
( ) 0
2
m
+
nên
2
1 3 3
( )
2 4 4
m
+ +
,
0 m Z
>
Phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá
trị m
b)
2 2
1 2 1 2
1 2
3( ) 6x x x x
A
x x
+ + +
=

Theo kết quả phần a phơng trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

2 2 3( ) 6
.
x x x x x x x x
A
x x
+ + + +
=
=
2
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) 2 . 3( ) 6x x x x x x
x x
+ + +
Thay S và P vào biểu thức A ta đợc :

2
2
(2 2) 2 3(2 2) 6
4 8 4 2 3(2 2) 6
m m m
A
m
m m m m
m
+ + +
=
+ + + +
=


m
m
m
m
m
+
+
+
Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra

m =
1
m

2
1
1
m
m
=
=
Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8
Bài tập 8 :
Xét phuơng trình mx
2
+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
7

1
0 4 1 0
4
m m m m
m
m m
+ +
= +

+
Vậy điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm là m
0
và m
1
4


Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có

1 2
1 2b m
S x x
a m

= + = =

1 2
2
.
c m




)

2
1 2 2
( ) 3 4
m m
m m

=

2
2
2 2 2
2
2
1 4 4 3 6
4
1 4 4 3 6 4
3 2 1 0
3 2 1 0
m m m
m m
m m m m m
m m
m m
+
=

thoả mãn
2 2
1 2 1 2
4x x x x
+ =
8
c) Gọi n
*
N
ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự
nhiên liên tiếp ( TMĐK m

0 )
d) Theo kết quả phần a ta có
2 2
4 1 4 ( 1) 1 4 4 1 (2 1)m n n n n n
= + = + + = + + = +
0

vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
2 1 2 1n n = + = +
( do n > 0 )
2
1
2 2
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 ( 1) 2 (2 1)
2 2 2(1 ) 2(1 )(1 ) 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)
m n n n n n n

N
nên 1- n
Z
và n
*
N
=>
1
1 n
x
n

=
là phân số
Q
tử n +2
*
N
và n +1
*
N
=>
2
2
1
n
x
n
+
=

x = 4 thì y = 7
b) Ta có
5 ( ) 5
6 ( ) 66
x y x y
xy x y
= + =



= = có x , y là nghiệm của phơng trình x
2
- 5x - 66 = 0
2
4b ac
=
= 25 + 264 = 289 > 0 ,

= 17
Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt là
1 2
5 17 5 17
11; 6
2 2
x x
+
= = = =

1 2
7 1 7 1
4; 3
2 2
x x
+
= = = =
* Trờng hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phơng trình x
2
+7x +12 = 0
Giải phơng trình ta đợc x
3
= -3 ; x
4
= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc
tham số :
Bài tập 11 : Cho phơng trình x
2
- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm
1 2
,x x

a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
2 2
1 2 2 1

= + = = =

Vậy
[ ]
2
3 2( 1) 1
3 ( 1)( 1) 2( 1)
( 1) ( 1)
a a
a a a
M
a a a a


+

= =2 2
3( 1) 3( 1) 3( 1)
( 1) ( 1)
a a a
a a a a a

= = =

(ĐK :
0, 1a a


Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình
a) 7 x
2
+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b) 12 x
2
+70x + k
2
+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái
dấu
c) x
2
- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
10
Bài tập 3 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh
a) mx
2
- 2(m +1)x + m + 2 = 0
b) (m -1) x
2
+ 3m + 2m + 1 = 0
c) (1 2m) x
2
+ (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 4 : Cho phơng trình x
2
- 2m + m - 4 = 0
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính
2 nghiệm đó
b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng

1
(5 21)
2
x
+
=
,
2
5 21
2
x

=
b)Với m =
5
, ta có phơng trình bậc hai :
2
5 1 0x x + =
Theo hệ thức Vi ét :
1 2
5S x x
= + =
và
1 2
. 1P x x
= =
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2


+

Thay S và P vào A ta đợc :
14
3
A
=
Bài tập 6 :
Cho phơng trình bậc 2 ẩn x :
2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m
+ + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm khi và chỉ
khi
0 1m

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , chứng minh
rằng
1 2 1 2
8
8
x x x x
+ +
Hớng dẫn giải:
a) Phơng trình (1) có nghiệm <=>

2 2
1 1 9
2 2 ( )
2 2 4 16
m
m m
= =
Vì
2
1 1 3 1 9
0 1 ( )
4 4 4 4 16
m m m

do đó
2
1 9
( ) 0
4 16
m

2 2
9 1 9 1
2 ( ) 2( )
16 4 8 4
Q m m

= =
1 2 2 1 1 2 1 2
( )A x x x x x x x x
= + = +
Nếu
2
1 2 1 2 1 2
5 5 2 2
2 2
2 2
S x x S x x x x S
+
= + = + + = + =
Do đó A =
1 2 2 1
x x x x
+

1 5 2 2 1
5 2 2
2 2
2
+
= = +
Bài tập 8 : a) Xác định m để phơng trình
2 2
2 2 2 0x mx m
+ + =
có 2
nghiệm phân biệt
b) Gọi 2 nghiệm là x

2
1 2 1 2
2
;
2
m
x x m x x

+ = =
Do đó ta có
1 2 1 2
2 4 ( 2)( 3)A x x x x m m
= + + = +
Vì
[ ]
2;2m

nên (m + 2)(m - 3)

0
Khi đó
2 2
1 25 25
( 2)(3 ) 6 ( )
2 4 4
A m m m m m
= + = + + = +
Vậy GTNN của A là
25
4

1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
( ) 2 4 2.1 14
( ) 1
S x x x x x x
P x x x x
= + = + = =
= = =
vậy phơng trình cần tìm là x
2
- 14x +1 = 0
2) Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
2
, 2
1 2
( 1) 2 0
2 3 0
3
3
2
2 3 0
2
m
m m
m
x x m
m

+

13

14