Phần I - Đặt vấn đề
1. Lí do chọn đề tài:
a) Cơ sở lí luận:
Để phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dỡng và
phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá
trình dạy học là nội dung của việc đổi mới phơng pháp dạy học theo chơng trình cải
tiến.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giải toán để vận dụng
kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học đợc trang bị cho
học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh ph-
ơng pháp giải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào đó đòi hỏi
học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn
thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập
có liên quan. Thông qua việc giải bài tập chống t tởng hình thức hoá, t tởng ngại khó
đặc biệt việc xác định các vấn đề thiếu căn cứ. Do đó nâng cao năng lực t duy, óc tởng
tợng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học sinh.
b) Cơ sở thực tiễn:
hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào tính tổng và tích các nghiệm
của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
- Nắm đợc những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh :
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai trong các trờng hợp a + b + c = 0 ; a - b +
c = 0 , hoặc các trờng hợp mà tổng, tích của hai nghiệm là những số nguyên với
giá trị tuyệt đối không quá lớn.
+ Tìm đợc hai số biết tổng và tích của chúng .
+ Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng của hai nghiệm qua các
hệ số của phơng trình.
Trong chơng trình giảng dạy bộ môn toán ở lớp 9 tôi nhận thấy học sinh gặp rất
nhiều khó khăn trong việc vận dụng hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi
ét vào tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
t việc việc làm khá mới mẻ. đề bài toán đã cho không phải là những
Một đặc điểm quan trọng của hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi ét vào

(Kí hiệu

: đọc là đen ta)
+) Nếu > 0

phơng trình có hai nghiệm:
1

2
b
x
a
+
=
;
2
x
2
b
a

=
+) Nếu = 0

phơng trình có nghiệm kép là:
1 2
2
b
x x
a

3) Cách giải bài toán bằng cách giải phơng trình hệ phơng trình:
gồm 3 bớc:
B ớc 1: Lập phơng trình Hệ phơng trình.
- Chọn ẩn số (chú ý ghi rõ đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn số và các số liệu cha biết.
- Lập phơng trình, hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng.
B ớc 2: Giải phơng trình Hệ phơng trình.
Tuỳ thuộc vào dạng phơng trình hay hệ phơng trình mà có phơng pháp giải thích
hợp.
B ớc 3: Chọn kết qua thích hợp và trả lời bài toán.
Chú ý so sánh điệu kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không và trả lời kết quả của
bài toán.
Một số công thức về chuyển động
+) Công thức tính quãng đờng trong chuyển động:
.S v t
=
+) Công thức tính vận tốc trong chuyển động:
S
v
t
=
+) Công thức tính thời gian trong chuyển động:
S
t
v
=
+) Vận tốc xuôi dòng:
xuoi thuc nuoc
v v v= +
+) Vận tốc ngợc dòng:

a, Đối t ợng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9
b, Ph ơng pháp nghiên cứu:
* Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9 (7), sách nâng cao, các đề thi vào các trờng
THPT, chuyên đề đại số, Tạp chí Toán tuổi thơ.
Phần II: giải quyết vấn đề
A. Một số vấn đề lí thuyết :
I. Khái niệm : Hệ thuc Vi et
2
0ax bx c+ + =

( )
0a
1. m đợc gọi là một giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều
kiện sau đây:
a, f(x)

m với D
b,

x
0

D sao cho f(x
0
) = m ; Kí hiệu m = max f(x),
x
D
4
2. m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều
kiện sau đây:

x
R, n

Z


[ ]
)(xf
2n
+ M


M

Hoặc -
[ ]
)(xf
2n
+ M
M
2) a,
x


0 với

x


( ) ( )
2
2
2
)( yxyxyx +=++



yxyx ++

Hay:
yxyx ++
(đpcm)
Dấu = xảy ra khi x,y cùng dấu.
c, Ta có:
yxyx

5



yxyx

yxxy 22
3
3
abc
cba

++

n
n
n
aaa
n
aaa21
21

+++
b, Dạng luỹ thừa:

ab
ba












+++
* Hệ quả:
- Nếu x > 0, y > 0 và x.y = k
2
(không đổi) thì x + y nhỏ nhất

x = y
- Nếu x > 0, y > 0 và x + y = k
2
(không đổi) thì x.y lớn nhất

x = y
4) Bất đẳng thức Bunhiacospki:
a, Dạng căn thức:
6
*
byax +



( )( )
2222
yxba ++
*
( )( )
222222

a
x
=

( )
( )( )
222222
2
zyxcbaczbyax ++++++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
c
z
b
y
a
x
==
( )
( )( )
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211


Giả sử tìm cực trị của hàm số f(x) với

x
D. Gọi y
0
là một giá trị của tuỳ ý của hàm
số xét trên miền đã cho có nghĩa hệ phơng trình sau có nghiệm :






=
)2 (
)1( )(
0
Dx
yxf
Tuỳ dạng phơng trình mà ta có điều kiện thích hợp sau khi rút gọn đa về dạng:
Mym
0
Vì y
0
là một giá trị bất kì của f(x) nên ta có:
min
)(xf
= m ; max
)(xf
=M

(Đề thi tuyển sinh vào THPT Năm học 2005 -2006)
Giải:
a) Xét phơng trình
2
4 1 0x x+ + =

( )
1
Ta có:
2
' 4 4.1.1 16 4 12 0 = = = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
4 2 3
2 3
2.1
x
+
= = +
và
2
4 2 3
2 3
2.1
x

= =
b) áp dụng đinh lí Vi ét ta có:
1 2

Vậy
3 3
1 2
x x+
= 52
2. Bài 2: Cho phơng trình
2
2 7 4 0x x + =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
2
1 2
x x
và




=

b) Ta có:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
8
=
3
7 7
3.2.
2 2


ữ ữ

=

=
2 2
1 2
x x+
-
( )
1 2
x x+
=
( )
2
1 2 1 2
2x x x x+
-
( )
1 2
x x+
=
2
7 7
2.2
2 2

+
ữ

=
49 7 49 16 14 47
4
4 2 4 4

=
( )
2
1 2
x x
-
( )
3 3
1 2
x x+
-
1 2
.x x

= 2
2
-
175
8
- 2 =
175 16 175 159
2
8 8 8

= =


u . v
159
8

1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận
1 2
2 3x x
và
2 1
2 3x x
là nghiệm.
Giải:
1) Xét phơng trình
2
2 9 6 0x x + =
Ta có:
( )
2

3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
3
9 9
3.3.
2 2


ữ ữ

=
729 81 729 324 405
8 2 8 8

= =
Vậy
3 3
1 2
x x+
=
405
8
2) Đặt u =

u + v =
7
2

Mà: u . v =
( )
1 2
2 3x x
.
( )
2
1
2 3x x
=
1 2
4 .x x
-
( )
2 2
1 2
6 x x+
-
1 2
9 .x x
=
1 2
7 .x x
( )
2
1 2

2
7 3
0
2 4
X X =
Vậy phơng trình cần tìm là:
2
7 3
0
2 4
X X =
Bài 1: Cho phơng trình
2
2 5 1 0x x =
gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
2 2
1 2 1 2
2x x x x+

x x+
Giải:
a) Xét phơng trình
2
2 5 6 0x x
+ =

( )
1
10
Ta có:
( )
2
5 4.2. 6 25 48 73 0 = = + = >



73 =

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
1
5 73 5 73
2.2 4
x
+ +
= =
và
2
5 73 5 73
2.2 4

3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ +
=
( )
3
5 5 125 45 125 180 205
3. 3 .
2 2 8 2 8 8


= = =
ữ ữ


Vậy
3 3
1 2
x x+
=
205
8

3. Bài 3 Cho phơng trình
2
2 7 1 0x x + =
gọi x
1
; x
2

7
2
1
.
2
x x
x x

+ =




=





1
0;x >

2
0x >
;
1 2
. 0x x >




2 2 2 2 2
+
= + = + =
( Vì A > 0 )



7 2 2
A
2
+
=

Vậy
1 1
x x+
=
7 2 2
2
+
Phần bài tập tổng hợp về hệ phơng trình
1. Bài 1: Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 2x + m (*)
11
1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua:
a) A (- 1; 3) b) B
( )
2; 5 2
c) C ( 2; - 1)
2) Tìm m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x-2 trong góc phần t thứ
IV

2; 5 2

c) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)

-1 = 2.2+ m

-1 = 4 + m

m = - 5
Vậy với m = -5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)
2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2 là
nghiệm của hệ phơng trình
y = 2x + m
y = 3x - 2






3x - 2 = 2x + m
y = 3x - 2




3x - 2x = m + 2

Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x 2
là
( )
m+ 2 ; 3m +4
Để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
thì
0
0
x
y
>


<



m + 2 > 0
3m + 4 < 0





m > - 2
4
m < -
3



2 2
1 2
1 1
2
x x
+ =
.
Câu
II
2,0điể
m
1)
1,0điểm
f(1) = - 4.1+1 = - 3 f(2) = 4.2 + 1 = - 7
Có 3 > - 7 nên f(1) >f(2)
2)
1,0điểm
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng
trình:
2 2
1
2 2 0
2
x x m x x m= + =
(1)
Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt


'
>0

x x
x x x x x x
+
+
+ = = =
(*)
Thay x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= -2m vào (*) ta có
2 2
2
1
4 4
2 1 2 2 1 0
1
4
2
m
m
m m m m
m
m
=


1
+ x
2
= 3 và x
1
x
2
= 1
0,25
Có
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 7x x x x x x+ = + =
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 3 ( ) 27 3.1.3 18x x x x x x x x+ = + + = =
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 7 2.1 47x x x x x x+ = + = =
0,25
7 7 3 3 4 4 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( )( ) ( ) 18.47 1.3 743x x x x x x x x x x+ = + + + = =
7
7 7
2 1
3 5
743
2
x x


là 742
0,25
1) Cho phơng trình ( ẩn x): x
2
2x 2m = 0 . Tìm m để phơng trình có 2
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn :
2 2
1 2
(1 )(1 ) 5x x
+ + =
.
2)
1,0điểm
Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt


'
>0
<=> 1+2m > 0 <=> m >
1
2

Khi đó phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x

2
= 2 và x
1
x
2
= -2m vào (*) có

2
4 4 4 4m m+ + =
2
4 4 0m m + =
0
1
m
m
=



=

Kết hợp với m >
1
2

ta có m = 0 thỏa mãn.
Vậy với m= 0 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2

2008
x x
x x
+ =
+ +
(a)
Tơng tự có
2
2
2008
2008
2008
y y
y y
+ =
+ +
(b)
Cộng từng vế của (a) và (b) ta có
2 2
2 2
2008 2008
2008 2008
2008 2008
x x y y
x x y y
+ + + = +
+ + + +
(
)
(

2 2 0x y
=
0x y
+ =
Vậy x + y = 0
1) Cho phơng trình
( )
2
4 3 3 0x m x m + + + =
(m là tham số)
a) Xác định m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3 3
1 2
0x x+
Cho Parabol
2
1
2
y x=
và điểm
( )
M -1; 2
1) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2)Gọi

2 2 1
x = y + 3y
Câu II: ( 2,5 điểm)
Cho Parabol
2
1
2
y x=
và điểm
( )
M -1; 2
2) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ số góc là k luôn cắt
Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi giá trị của k.
2) Gọi
A
x
,
B
x
là hoành độ giao điểm của A và B. Xác định k để
( )
2 2
2
A B A B A B
x x x x x x+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị ấy.
Câu II: ( 2,5 điểm)
Cho Parabol
2
1

x
2
là hai nghiệm của phơng trình)
Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình
2
2x - 5x + 1 = 0
Tính
1221
xxxx +
( x
1
và

x
2
là hai nghiệm của phơng trình)
Câu I:
15
Cho phơng trình
( )
2
2 1 2 15 0x m x m
+ + =
1) Giải phơng trình khi m = 0
2) Gọi
1
x
và
2
x

Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình:
( )
2
2 3 0x m x m + =
3) Giải phơng trình khi m = - 2
4) Gọi

;

là các nghiệm của phơng trình. Tìm m để
2 2

+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình:
( )
2
2 3 0x m x m + =
5) Giải phơng trình khi m = - 2
6) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
7) Gọi

;

là các nghiệm của phơng trình.

Tìm m để
2 2

+

21

Bài 3: (1,5 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y = x + 2 và Parabol (P):
y = x
2
4) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)
5) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với 1 m 2). CMR: S
MAB

28
8
1. Chứng minh:
3 3 3
2 1
3
3 3
x x x
x
x
x x

+ +
=
ữ ữ
ữ ữ

+

(với
0x


ữ

.
7) Viết phơng trình của parabol (P).
8) Viết phơng trình đờng thẳng
d
song song với đờng thẳng
2 1x y+ =
và đi qua
điểm
(0; )B m
. Với giá trị nào của
m
thì đờng thẳng
d
cắt parabol (P) tại hai
điểm có hoành độ
1 2
,x x
sao cho
1 2
3 5 5x x+ =
.
Bài III ( 1,50 điểm). Chứng minh rằng, nếu phơng trình:
02
2
=++ nmxx
(1) có nghiệm, thì phơng trình:
0

Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc đồ thị
(P) của hàm số
2
y ax=
và điểm B không thuộc (P).
a) Tìm hệ số
a
và vẽ (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B.
Xác định tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và đờng
thẳng AB.
Bài 1: (1 điểm)
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):
3 7+
và
19
.
Bài 2: (1 điểm)
a) Biến đổi
3 1x x +
về dạng
2
A b+
với b là hằng số và A là một biểu thức.
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức
1
3 1x x +
. Giá trị đó đạt đợc khi
x
bằng

2x x
+ =
.
Cho phương trình :
− + − + =
2 2
x 2mx m m 1 0

vớim là tham số và x là ẩn số.
a)Giải phương trình với m = 1.
b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ,x
.
c)Với điềukiện câu b hãy tìm m để biểu thức
= − −
1 2 1 2
A x x x x

đạt giá trò
nhỏ nhất.
C©u 1 : (1.5 ®iĨm)
Cho ph¬ng tr×nh : x
2
- mx + m -1 = 0 (1)
1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 1.
2. Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm víi mäi m .
C©u 2. (1.5 ®iĨm)
C©u 4 (1.0 ®iĨm)
Gäi x

)+ x
2
(1-x
1
) kh«ng phơ thc vµo m
Bµi 3(2,0 ®iĨm)
Cho y = ax
2
(P)
a) T×m a biÕt (P) ®i qua ®iĨm A(1;
1
2
)
b) Trªn (P) lÊy M, N cã hoµnh ®é lÇn lỵt lµ 2 vµ 1. ViÕt ph¬ng tr×nh MN
c) X¸c ®Þnh hµm sè y = ax+b (D) biÕt (D) song song víi MN vµ tiÕp xóc víi (P)
Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x
2
-2(m-1)x+m-3 = 0 (1)
a) T×m m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt
b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiƯm ©m
c) T×m m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm cïng dÊu tho¶ m·n nghiƯm nµy gÊp ®«i nghiƯm kia
Bµi 2(2,0 ®iĨm):
Cho ph¬ng tr×nh : mx
2
+2(m-2)x+m-3 = 0 (1)
a) T×m m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu
b) X¸c ®Þnh m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu sao cho nghiƯm ©m cã gi¸ trÞ tut
®èi lín h¬n
c) Gäi x
1

x
2
(P) và mx+y = 2 (d)
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định C.
b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định m để AB ngắn nhất. Khi đó hãy tính diện tích AOB
d) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi
Xét phơng trình: x
2
-12x+m = 0 (x là ẩn).
Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện x
2
=x
1
2
.
câu 2: (3,5 điểm)
Cho Parabol y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=2mx-m
2
+4.
a. Tìm hoành độ của các điểm thuộc Parabol biết tung độ của chúng
b. Chứng minh rằng Parabol và đờng thẳng (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt. Tìm toạ độ giao điểm của chúng. Với giá trị nào của m thì tổng các tung
độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất?

điểm phân biệt.
3. Giả sử (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là toạ độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
Chứng minh rằng
( )
( )
2121
122 xxyy ++
.
bài 2: (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng
trình:
(P): y=x
2

(d): y=2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
19
2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x
1
, x
2

2
-2.
câu III:
Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) của hàm số y=-x
2
và đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-
1;-2) có hệ số góc k.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại 2 điểm A, B.
Tìm k cho A, B nằm về hai phía của trục tung.
2. Gọi (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là toạ độ của các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng S=x
1
+y
1
+x
2
+y
2
đạt giá trị lớn nhất.
câu III:(2,5 điểm)
Cho phơng trình: x
2
- (m-1)x-m=0 (1)

21
+
=

= xx
.
3. Tính giá trị của P(x)=x
4
-7x
2
+2x+1+
5
, khi
2
53
=x
.
câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho 2 số sau:
623
623
=
+=
b
a
Chứng tỏ a
3
+b
3
là số nguyên. Tìm số nguyên ấy.

- 9q = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia.
2. Nếu phơng trình có 2 nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì 2p
2
- 9q
= 0.
bài 2: (2,5 điểm)
Gọi u và v là các nghiệm của phơng trình: x
2
+px+1=0
Gọi r và s là các nghiệm của phơng trình : x
2
+qx+1=0
ở đó p và q là các số nguyên.
1. Chứng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) là số nguyên.
2. Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3.
bài 3: (2 điểm)
Cho phơng trình:
(x
2
+bx+c)
2
+b(x
2
+bx+c)+c=0.
Nếu phơng trình vô nghiệm thì chứng tỏ rằng c là số dơng.
bài 3(1,5 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) và parabol (P) có phơng trình là :
2
2

=
+
= xx
Tính:
44
53
4
53
4









+








+
=P
bài 3(2 điểm):

-
x
2
2
=
24
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình x
2
+x-1=0. Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái
dấu. Gọi x
1
là nghiệm âm của phơng trình. Hãy tính giá trị của biểu thức:
11
8
1
1310 xxxP +++=
bài 3.(3 điểm)
Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=mx
2
(d): y=2x+m
trong đó m là tham số, m0.
1. Với m=
3
, tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi m0, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt.
3. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ là
( )

1111
xxxx
+++
theo m.
Câu II
CâuI
1) Giải phơng trình: (x
2
- 3x 2)
2
- 3(x
2
- 3x 2) - 2- x = 0
2) Lập phơng trình bạc hai có hai nghiệm x
1
;x
2
thoả mãn:
x
1
.x
2
= 4 và
4
7
11
2
2
2
2

.
Giải: Bình phơng hai vế của (1) suy ra bc = 1 - a ( b + c) = = a
2
+ 2a + 1.
Ta lại có b + c = - ( a +2) do đó b,c là nghiệm của PT:
X
2
+ ( a + 2)X + a
2
+ 2a + 1 = 0. Từ đk có nghiệm suy ra kết quả của a.
Tơng tự với b và c.
23
Cho a,b,c là các số dương.
1\ Cho và , hãy chứng minh:
a, .
b, với khác .
2\ Rút gọn biểu thức:
Bài 2:
Giả sử hai phương trình bậc 2 ẩn : và có nghiệm chung.
Chứng minh rằng:
.
Bài 3:
Với giá trị nào của m thì một trong các nghiệm của phương trình sẽ gấp đôi một
nghiệm nào đó của phương trình .
Bài 1: Cho phương trình
a, Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng
b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hà Tây 06-07
Bài 1:
a)Tính giá trị biểu thức:

trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
H ớng dẫn cách giải: Giáo viên đa ra hình vẽ minh hoạ và dẫn dắt học sinh dựa
vào tính chất đối xứng (Gọi A là điểm đối xứng của điểm A qua trục Ox).
Hãy so sánh MA và MA (MA = MA ) => MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi nào ?
Giải
25