Trang 1
Tên đề tài
A. ĐẶT VẤN ĐỀ CHUNG:
-Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được xây dựng
trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm.
-Để xác định các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích
các hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ cấp, hàm
siêu việt, phép tính đạo hàm, tích phân …
-Việc sử dụng toán học có ý nghĩa và hiệu quả vào bài toán vật lý vẫn là chuyện khó
đối với học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường. Làm thế nào để học sinh hiểu phương
pháp sử dụng để giải quyết vấn đề quen thuộc, tiết kiệm được thời gian và vận dung linh hoạt
vào bài toán lạ.
-Sau đây chỉ là một số phương pháp đơn giản để giải quyết 1 phần của vấn đề khó mà
các em học sinh được bồi dưỡng để ôn tập trong các kỳ thi học kỳ, tốt nghiệp, đại học, học sinh
giỏi …
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG:
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một đại lượng vật lý khi có một đại
lượng vật lý khác thay đổi… khảo sát sự biến thiên của chúng thường gặp ở bài toán điện
1 chiều và xoay chiều.
1.Các phương pháp thực hiện:
+Chọn đối số và lập luận hàm số y=f(x)
+Dùng 1 trong các phương pháp sau đây để giải
a.Phương pháp 1: Dùng bất đẳng thức Côsi:
Nội dung:
+Áp dụng cho 2 số dương a,b
a + b  2. ba. 


dấu bất đẳng thức xảy ra khi a
1
=a
2
= … = a
n

b.Phương pháp 2:
+Dùng định lý hàm số sin trong tam giác:
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin

+Định lý hàm số cosin trong tam giác: a
2
= b
2
+ c
2
+ 2.b.c.cos

.
b c
 

b
a


+Đồ thị:

y
min
0
-
b/2a

y
max

0
-
b/2a

y

x

a>0

+Lập bảng biến thiên tìm cực trị.
+Vẽ đồ thị nếu đề bài yêu cầu khảo sát sự biến thiên.
e.Ngoài các phương pháp trên còn có một số phương pháp khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của một đại lượng vật lý. Tùy theo biểu thức của đại lượng vật lý có dạng hàm số nào mà
áp dụng bài toán để giải.
Ví dụ: Có những hàm số không có cực trị, chỉ có tính đồng biến hoặc nghịch
biến ta tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong miền nào đó.
Trong đoạn: [a,b]
f(b) lớn nhất khi x=b
f(a) nhỏ nhất khi x=a.
Sau đây là một số bài toán tiêu biểu áp dụng cho phương pháp 1.
2.Vấn đề 1:
Bài toán 1: Cho 2 điện tích điểm cùng dấu (điện tích dương) q
1
= q
2
= q đặt tại hai điểm A và B
cách nhau 2R.
a.Xác định cường độ điện trường tổng hợp tại M nằm trên đường trung trực và cách AB
một đoạn x.
b.Định vị trí M để E
M
cực đại, cực tiểu.
Cách làm:
a.Xác định E
M
: Cường độ điện trường tổng hợp tại M do hai điện
tích gây ra.

M A B








 

E
M
= 2.E
A
.cos
Trong tam giác vuông AOM:
cos =
2 2
x x
AM
R x


thay vào E
M
=
3
2 2
2
2 . .
( )

2
R
,
2
2
R
, x
2
.

2
2
R
+
2
2
R
+ x
2
≥ 3
2 2
2
3
. .
2 2
R R
x

Lũy thừa 3 hai vế: (
2

x R x
 
  
 
 Trang 3


2


2
Chuyển vế:
3
2
2 2
2
2
3 3.
( )
x
y
R
R x
 


y

4.
3 3
kq
R

Định vị trí M để E
M
cực tiểu
Nhìn vào biểu thức E
M
ta thấy (E
M
)min=0 khi x=0, lúc này M trùng O
 Nhận xét 1: Qua một bài toán trên nếu tại M ta đặt điện tích thử q
0
. Tìm vị trí M để lực tĩnh
điện tác dụng lên q
0
cực đại cực tiểu thì cách làm cũng tương tự áp dụng
cho biểu thức lực tổng hợp tại M.
F
M
= q
0
. E
M
. Biểu thức cho thấy (E
M
) max thì (F
M


   


Cường độ điện trường tổng hợp của cả vòng dây gây ra tại M.

M M
E E
 

 

Độ lớn:

3 3
2 2 2 2
2 2
. .2
2
( ) ( )
M M
k x q kx
E E q
R x R x

    
 
  
E


,
M
E



Nhận xét 3: không áp dụng được cho điện thế tại M do 2 điện tích điểm gây ra hoặc vòng
dây gây ra vì điện thế là đại lượng vô hướng. Áp dụng được cho cảm ứng từ
B

của dòng điện.
Từ hình vẽ nếu ta xem hai điện tích dương tại A và B là 2 dòng diện cùng chiều, cùng độ lớn
chạy trong hai dây dẫn song song M là điểm nằm trong mặt phẳng
vuông góc hai dây dẫn nằm trên đường trung trực AB cách AB một
đoạn x.
Cảm ứng từ tổng hợp tại M.
1 2
M
B B B
 
  

B
1
= B
2
= 2.



B
M
=2B
1
.cos = 4.
7
7
2
2 2
. 4.10 .
10 .
I x I
RR x
x
x





(với cos=
2 2
x
R x

)
Tìm (B
M

P=
2
2
( ).
( )
R x
R x r


 
(1)
Chia tử và mẫu cho R+x: P =
2
2
( )
r
R x
R x

 


Vì tử số của P là hằng số, P
max
khi mẫu cực tiểu. Theo bất đẳng thức Côsi:

r
R x r
R x
  

:
Công suất tiêu thụ trên x: P
x
= x.I
2
=
2
2
.
( )
x
R x r

 

P
x
=
2
2
( )
R r
x
x



(2)
Lý luận tương tự: P
xmax

= 2. Tìm điện trở của biến trở R
1
để:
a.Công suất mạch ngoài cực đại.
b.Công suất tiêu thụ ở R
3
cực đại.
c.Công suất tiêu thụ ở R
2
cực đại.
d.Công suất tiêu thụ ở R
1
cực đại.
Cách làm:
a.Tính R
1
để P
max
:
Công suất tiêu thụ mạch ngoài.
P = R
tđ
. I
2
với R
tđ
= R
3
+
1 2

 
td
R
= r  R
3
+
1 2
1 2
R R
R R

= r
Giải ra R
1
= 3
P
max
=
2
4
r

= 16w
b.Công suất tiêu thụ trên R
3
cực đại:
P
3
= R
3

=
2
3
2
3
( )
R
R r


=14,2 w
c.Công suất tiêu thụ trên R
2
cực đại:
P
2
= R
2
2
2
I
mà I
2
=
2
MN
U
R
P
2

1 2
1 2
.
R R
R R


P
2
=
2
2
3
2
12 12
1
R
r
R
R R

 
 
 
 

Để P
2max
thì R
12

3 12
R R


với R
12
=
1 2 1
1 2 1
6
6
R R R
R R R

 Trang 6
+ I=
1 1
1
1 1
1
16( 6) 4( 6)
16
6
8 12 2 3
2
6
R R

R
.
2
2 1 2
1
2
2
1 1
1
1
24 24 24
3
2 3 (2 3)
(2 )
R R
R R
R
R
 
 
 
 
 


Dùng côsi mẫu số: P
1max
khi R
1
= 1,5

a
x b

hình 1
b.U =
R
R r


có dạng f(x) =
ax
x b

hình 2
c.P = R.I
2
=
2
2
( )
R
R r


có dạng f(x) =
2
( )
ax
x b



H

R
O
E
r

Hình 1

Hình 2

I

R
U

O

R

P

Hình 3


Nhận xét: Để vẽ đồ thị của hàm sơ cấp đơn giản có tính liên tục không bị gián đoạn đối với
giá trị dương của biến trở R ta chọn 2 trong 3 giá trị R.
+Chọn R=0 cho điểm đầu (tìm giới hạn R0)
+Chọn R= cho điểm cuối (tìm
lim
x

f(x))
+Nếu hàm có cực trị ta tìm cực trị chọn giá trị R nằm ở phần giữa. Đồ thị hàm số qua
giá trị này tăng hoặc giảm. Cụ thể hàm số đang tăng qua giá trị R này đạt cực đại, tiếp tục tăng
R thì hàm số không tăng nữa mà giảm. Ngược lại hàm số đang giảm qua giá trị R này đạt cực
tiểu, tiếp tục tăng R hàm số không giảm nữa mà tăng lên.
Bài toán 5:
Khảo sát sự phụ thuộc của đại lượng sau vào cường
độ dòng điện trong mạch kín.
a.Hiệu điện thế ở hai cực của nguồn điện.
b.Công suất tiêu thụ mạch ngoài.
c.Công suất của nguồn điện.
d.hiệu suất của nguồn điện.
Trong thực tế thay đổi I bằng cách thay đổi biến trở R.
Cách làm: Lập các biểu thức là hàm số theo biến I.
a. U = E – rI có dạng f(x) = b – ax.
b. P = EI – rI
2
có dạng f(x) = bx – ax
2
.
c. P
E

1.Thay đổi L hoặc C hoặc W để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB cực đại
Cách làm: Công suất tiêu thụ trên mạch
I
U

E

O
E/r

I
P

O
E/2r

E/4r

I
P
E

O
I
H

O
E/
r
1

max
thì hiệu Z
L
– Z
C
=0, mạch có cộng hưởng điện
LCw
2
= 1  Tính L hoặc C hoặc w
P
max
=
2
U
R r


Nếu đề bài đòi hỏi khảo sát sự biến thiên thì ta lập thêm bảng biến thiên để vẽ đồ thị cụ
thể như sau:
a.P thay đổi theo L. ta khảo sát P theo Z
L
và để ý Z
L
= Lw giữa Z
L
và L quan hệ đồng biến.

Bảng biến thiên:
Z
L

b.Thay đổi theo C. Ta khảo sát P theo Z
C
và để ý Z
C
=
1
Cw
giữa Z
C
và C quan hệ nghịch biến.
Bảng biến thiên:
Z
C
0 Z
C
=Z
L

P
2
2 2
( ).
( )
L
R r U
R r Z

 

2



Đồ thị: Z
C
Z
L
Z
L
P

2
U
R r


O Z
L
=Z
C

P

2
U

R
=R.I
2
=
2
2 2
.
( ) ( )
L C
RU
R r Z Z  

Công suất tiêu thụ trên cuộn dây
P
R
=r.I
2
=
2
2 2
.
( ) ( )
L C
rU
R r Z Z  

Hai biểu thức P
R
và P
r

R r

 


Dùng Côsi mẫu số: P
max
=
2
2( )
U
R r

khi R+r =
L C
Z Z

R
0
=R=
L C
Z Z
 - r
Khảo sát sự biến thiên của P theo R
R 0 R
0
=
L C
Z Z
 - r 

2
2 2
.
( ) ( )
L C
RU
R r Z Z  
khai triển mẫu rồi chia tử và mẫu cho R
P
R
= R.I
2
=
2
2 2 2
.
2 ( )
L C
RU
R Rr r Z Z   
=
2
2 2
( )
2
L C
U
r Z Z
R r
R


Trang 10

Khảo sát P
R
theo R
R 0 R
0

P
R
0 P
Rmax
0

Đồ thị:
c.Tính R để P
rmax
:
P
r
= r.I
2
=

L C
rU
r Z Z 
0

Đồ thị:
Bài toán 7: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ
Thay đổi C để số chỉ V
1
cực đại. Khảo sát số chỉ V
1
khi
C thay đổi.
Số chỉ V
1
chỉ U
1
= I. Z
1
U
1
=
2 2
2 2

C
=
1
Cw
Z
C
và C nghịch biến.
Bảng biến thiên:
Z
C
0 Z
C
=Z
L

U
1
U
2 2
L
U R Z
R

0

Đồ thị:


U
Z
L
=Z
CTrang 11
Nhận xét: đại lượng biến thiên C hoặc L nằm ngoài số chỉ vôn kế đều rơi vào trường hợp
công hưởng.
Nếu đại lượng biến thiên L hoặc C hoặc w nằm trong số chỉ vôn kế bài toán trở nên
phức tạp hơn. Bài toán sau đây minh hoạ điều này.
Bài toán 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ
1.Thay đổi R để U
R
cực đại.
2.Thay đổi L để U
L
cực đại.
3.Thay đổi C để U
C
cực đại.
4.Thay đổi w lần lượt để U
R
cực đại, U
L
cực đại, U

Đồ thị:
2.Định L để U
L
cực đại:
Cách 1: U
L
= I.Z
L
=
2 2 2 2 2
. .
( ) 2
L L
L C L L C C
U Z U Z
R Z Z R Z Z Z Z

    

Chia tử và mẫu cho Z
L
và thu gọn: U
L
=



 


U
L=
U
y

Để U
Lmax
thì y
min

Vì a>0 nên y
min
=
4
a

 khi x =
2
b
a

Thay a, b vào:
1
L
Z

a R Z



 U
Lmax
=
2 2
C
U R Z
R


Bảng biến thiên:
Z
L
0 
U
R
(v)

O
R(

)

U

Trang 12
U
R L C
U U U U
  
   

Vẽ giản đồ theo cách nối tiếp vectơ:
AB= U
AB
= U
AM = U
R

MN = AN’ = U
L

NB = U
C

Kẻ AN’ song song MN và bằng MN để tạo
thành tam giác ABN’
Dùng định lý hàm số sin:
'
sin sin
AB AN
 


sin sin

tg R Z


 

Còn góc  thay đổi
U
Lmax
=
sin
U

khi sin = 1   = 90
0
tam giác ABN’ vuông tại B
U
Lmax
=
2 2
C
U R Z
R

lúc này góc

BAM



tg =

1
+Đối với mạch xoay chiều phức tạp phương pháp hình học ở cách 2 có lợi hơn.
3.Định C để U
C
cực đại:
U
C
= I.Z
C
=
2 2
( )
C
L C
UZ
R Z Z 

Dùng cách 1 giải như câu 2 chỉ cần thay đổi đại lượng Z
C
= Z
L
được kết quả.
U
Cmax
=
2 2
.
L
U R Z
R

=Z
C

O
U
L
(v)

U
Lmax

Trang 13
Đồ thị có dạng như câu 2
4.Thay đổi lần lượt w để
a.U
R
cực đại
U
R
= I.R =
2 2
2 2
. .
1
( )
( )
L C
U R U R
R Z Z
R L


Đồ thị: b.Định w để U
Lmax

U
L
=I.Z
L
=
2 2 2 2 2
. .
( ) 2
L L
L C L C L C
U Z U Z
R Z Z R Z Z Z Z

    

U
L
=
2 2 2
2 2


y= ax
2
+ bx + d với
2
2
2
1
2
a
C
L
b R
C
d L





 







U
L

R LC C R

khi w
0
=
2
1 2
2L
C
R
C

với điều kiện
2
2L
R
C


Bảng biến thiên:
w 0 w
0

O
w
U
R

U
Rmax

. .
C
L C
U Z
U
L
R Z Z
C R L
C C
 


 
  

U
C
=
2 4 2 2
2
1
( 2 )
U
L
C L R
C C
 
  

Đặt w

=
U
C y

U
Cmax
khi y
min

Vì a>0 nên y
min
=
4
a

khi x=
2
b
a


Thay các hằng số a,b,d vào và biến đổi ta được
U
Cmax
=
2 2
2 .
4
U L
R LC C R

đổi được.
1.Điều chỉnh L =
3
2

H rồi thay đổi điện dung C. Tìm điện dung C để U
MB
cực tiểu.
Khảo sát U
MB
khi C thay đổi
2.Điều chỉnh C =
3
1
.10
7


F rồi thay đổi L. Tìm độ cảm L để U
AN
cực đại. Khảo sát
U
AN
khi L thay đổi.
Cách làm:
1.Tìm C để U
MB
cực tiểu.
Z
L

w(rad/s)
(v)

U
Lmax
w
0
U
L
UTrang 15
Ở bài toán này biểu thức phức tạp nên thay số vào rồi đặt ẩn số cho giống biểu thức toán
Đặt x = (Z
L
– Z
C
)
2
(x>0)
y=
2 2
2
2 2 2
( )
80
( ) ( ) 150
L C
L C

y
min
= 0.2845 khi x= 0  (Z
L
– Z
C
)
2
= 0  Z
C
= Z
L
= 150   C=
3
1
.10
15


F
U
MBmin
= U
min
y
= 85
0,2845
= 45,33 (v)
Bảng biến thiên:
Z

L C
U R Z
R Z
U
R r Z Z
R r Z Z



  
  

Đặt x= Z
L
(x>0)
y=
2 2
2 2
2 2 2 2
70
( ) ( ) 150 ( 150)
L
L C
R Z x
R r Z Z x
 

    

U


y’= 0  -300x
2
+80200x + 1470000 = 0

x = -17,22
x=284,55




Bảng biến thiên:
x -17,22 0 284,55 
y’ 0 + + 0
y 2,11
0,108 1
y
max
= 2,11 khi x= 284,55
Z
L
=284,55  thì U
AMmax
= U
y
max
= 85
2,11
= 123,47 v
Vậy khi L=

85

U
AN

123,47
27,9

Trang 16


Đồ thị: Nhận xét: ở bài tập 9 không thể đưa về tam thức bậc 2 ở mẫu số như các bài tập trước vì tử
số có thêm 1 hằng số nên không thể thực hiện phép chia.
II.Bài toán áp dụng phép tính tích phân
1.Đặt vấn đề: Để xác định vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chuyển động khi biết sự
phụ thuộc của vị trí của vật theo thời gian đã dẫn chúng ta đến khái niệm về đạo hàm
v(t) =
dx
dt
a(t)=
dv

dx: dR = .
dx
S
: là điện trở suất
Theo hình:
b a
tg
L
r
tg
x












 r=x.tg
S=.r
2

Thay vào: dR=.
2 2 2
.


B



dx

I
A
l

x
0
x
B



R =
2 2
2
1
1 1
2 2 2 2 2
. 1
. .
. . . .
x x
x
x


 
   
 
 

Khi a=b khối điện trở có dạng hình trụ
R=
2
.
.
L L
a S



 S: tiết diện đáy hình trụ.
Nhận xét:Từ bài toán trên cho học sinh tính điện dung C của tụ điện phẳng có 2 mặt phẳng
tạo với nhau một góc .
Bài toán 11: Trong cùng một mặt phẳng với một dòng điện
thẳng dài vô hạn có cường độ I=20A người ta đặt hai thanh
kim loại trượt song song với dòng điện cách dòng điện một
khoảng x
0
= 1 cm và cách nhau l = 0,5 m (như hình vẽ).
Trên hai thanh trượt người ta lồng vào một đoạn dây dẫn AB
dài l. tìm hiệu điện thế xuất hiện giữa 2 đầu dây AB nếu cho dây AB trượt tịnh tiến trên các
thanh với vận tốc v=3m/s
Cách làm:
Dây AB chuyển động trong từ trường của dòng I nên trong

  
 
      
 

  

=
 

0 0
0
.I.v.t x l
.ln
2 x

U
AB
=
0
C
0
x l
d I.v
E .In
dt 2 x


  


n
=I
2
(
1
– 
2
)
Trong đó: 
1
: là từ thông gởi qua khung lúc đầu.

2
: là từ thông gởi qua khung lúc sau khi di chuyển một đoạn a.
tương tự: từ thông gởi qua dS của khung có chiều dài dx.
d = B.dS với (B=2.10
-7
.
1
I
x
; dS=b.dx)
d = 2.10
-7
.I
1
.
b.dx
x


2 1 1
0
x a
x 2a
b.dx
2.10 .I . 2.10 .I .b.Ln
x x

A
n
=2.10
-7
.b.I
1
.I
2
.
 
 

 

 
0 0
0 0
x a x 2a
Ln Ln
x x a
= 2.10
-7



cũng có giá trị cũ nhưng vectơ
n

của khung ngược chiều lần trước.
2


=
2


n
A

=I
2
(
1


–
2


) 
n
A


0
0
x 2a
Ln
x
=3,2.10
-7
(J)
Bổ sung: công thức tính công của lực từ khi một khung dây mang dòng điện chuyển động trong
từ trường:
A= I (
2 1
  
)
Công của lực ngoài: A
n
= – A
A
n
=I (
1 2
  
) > 0
Nhận xét: Qua 3 bài toán trên ta lấy cận tích phân theo đơn vị độ dài. Đối với các bài toán
cần xác định đại lượng vật lý là một đại lượng vectơ, phương của các phần tử vi phân biến đổi
liên tục. Để tính độ lớn ta phải chiếu lên trục đối xứng và chọn góc để làm cận tích phân. Bài
toán sau đây sẽ minh hoạ điều đó.
Bài toán 13: Thanh nhựa tích điện âm –q uốn thành ½ cung tròn bán kính R có tâm là O.
a.Xác định hướng và độ lớn của cường độ điện trường tại tâm O.
b.Một thanh nhưạ khác tích điện dương +q uốn thành ½ cung tròn bán kính R được nối

i 1
AB
E dE dE

 


  

Để tính độ lớn E ta chiếu đẳng thức vectơ lên đường OC là phương của
E


E =
 
2
AB AB
.dl
dE.cos k. .cos
R

  
 

Thay dl= R.d vào E=

AB
k. .cos .d
R


 

Vì AB =
1
2
cung tròn nên: 
0
=
2

 sin
0
= 1  =
q q
l .R



Thay vào E=
2
2kq
.R

với (k =
0
1
4

) hướng
E

ng
=
0 0 0
0
q U ( )
  

trong
đó q
0
là điện tích trên các bản tụ điện ban đầu (khi chưa lấp đầy điện môi)
b.Tính công thực hiện bởi lực cơ học (lấp đầy điện môi). Công thực hiện do lực đặt lên
điện môi hay bởi điện môi thực hiện?
c.Nhiệt lượng tỏa ra ở tụ trong thời gian lấp đầy.
Cách làm:
-Biểu thức năng lượng của tụ: w=
2
Q
2C
(1)
-Trong quá trình điện môi dịch chuyển vào tụ thì:
+Điện tích các bản tụ thay đổi.
+Điện dung C của tụ thay đổi.
+Hiệu thế U
0
giữa hai bản tụ không đổi do nối với nguồn.
-Lấy vi phân hai vế biểu thức (1)
dw =
2
2

2
0
U
dC
2
là công cơ học cần thết đặt trên điện môi.
dW: độ biến thiên năng lượng của tụ cũng chính là nhiệt lượng tỏa ra.
a.Chứng minh: A
ng
=
0 0 0
0
q U ( )
  


Từ biểu thức: dA
ng
= U
0
.dQ
A
ng
=
1 1
1
0
0 0
q q
q

ng
=
0 0 0
0 0
0 0
q U ( )
q .U ( 1)
  

 
 

b.Tính công cơ học:
Từ biểu thức dA
C
=
2
0
U
dC
2
 A
C
= 

1
1
0
0
C

Thay vào: A
C
=
0 0
0
q U
( 1)
2



. Vì A
C
>0 công này do lực tác dụng lên điện môi gây ra.
c.Q= dW = A
ng
– A
C
=
0 0
0
q U
( 1)
2




C.HIỆU QUẢ CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP:
Bài toán tìm giá trị lớn nhất giúp học sinh lớp 11 có dịp làm quen ở các bài tập điện

nhiệt tình, biết tạo ra những tình huống làm cho các em say mê yêu thích môn vật lý. Xin được
phép nhắc lại lời tâm sự của một em học sinh giỏi vòng tỉnh như sau: “Nhờ được học môn vật
lý mà các môn tự nhiên khác như môn toán, môn hóa em cũng giỏi theo”. Đó cũng là niềm vui,
niềm hạnh phúc, an ủi được người thầy đã bỏ công sức ra dạy dỗ cho các em, cũng là lời động
viên chân tình giúp cho người thầy vẫn còn đứng vững trên bục giảng.

Lần đầu tiên viết sáng kiến kinh nghiệm, vẫn còn hạn chế về ngôn ngữ, không tránh
khỏi sai sót. Kiến thức toán học thì rộng rãi, chỉ là đóng góp phần nhỏ kinh nghiệm dạy học
của mình. Kính mong các đồng nghiệp đóng góp và bổ sung thêm, để sáng kiến kinh nghiệm
được hoàn hảo hơn và được dùng làm tài liệu tham khảo cho học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!.

Cái Bè, ngày 15 tháng 3 năm 2004
Người viết, Phạm Việt Dũng