SỞ GI ÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT SÔNG RAY
Mã số:………………………
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ
VẬT LÝ: TRƯỜNG HỢP Ý NGHĨA VẬT
LÝ CỦA VECTƠ
Người thực hiện: Phạm Văn Tánh
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
- Lĩnh vực khác: 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2014 – 2015
MỐI LIÊN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ: TRƯỜNG HỢP Ý
NGHĨA VẬT LÝ CỦA VECTƠ
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Toán hiện hành, vectơ được đưa vào giảng dạy từ
đầu năm lớp 10. Ngoài những ứng dụng của nó trong hình học giải tích, hình
học vi phân, …vectơ còn được sử dụng rộng rãi trong Vật lý và kĩ thuật.
Trong thực tế dạy học ở phổ thông, một số giáo viên dạy môn Vật lý
thường «than phiền » rằng học sinh rất khó khăn khi sử dụng kiến thức về
vectơ trong môn Vật lý.
Trong khuôn khổ của đề tài này tôi muốn đề cập đến vấn đề là: Trong
dạy học Vật lý, vectơ được đưa vào sử dụng như thế nào? Học sinh đã gặp
vectơ trong Vật lý trước hay sau khi đối tượng này được giảng dạy ở Toán
học?
Ngoài những băn khoăn kể trên, đề tài còn muốn đề cập đến một vấn đề

sinh. Khi xây dựng các tình huống đòi hỏi vận dụng các kiến thức của phân
môn học hoặc của nhiều môn học, học sinh sẽ phát huy được năng lực tự lực,
phát triển tư duy sáng tạo”. ([1], tr. 18)
Đề tài này đề cập đến dạy học tích hợp ở một mức độ thấp, tức là mức
độ tích hợp liên môn. Cụ thể là dạy nội dung “vectơ” gắn với các tình huống
Vật lý. Vectơ được xem như một công cụ biểu thị những đại lượng có hướng
nên cần khai thác ý nghĩa Vật lý của vectơ để đưa vào các khái niệm mới.
Điều đó góp phần làm sinh động hóa, trực quan hóa kiến thức của học sinh,
đồng thời điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn trong dạy học ở trường
phổ thông.
Bảng sau đây được dẫn theo tác giả Nguyễn Bá Kim ( [6], tr. 123), bảng trình
bày một số tình huống Vật lý ở phổ thông mà có liên quan đến vectơ:
- 2 -
Kiến thức vectơ Tình huống Vật lý
• Định nghĩa vectơ
• Vectơ – không
• Véctơ cùng hướng
(hoặc ngược
hướng).
• Vectơ bằng nhau.
• Vectơ đối nhau.
• Tổng hai vectơ
• Phép nhân vectơ với
một số thực
• Biểu thị các đại lượng có hướng như lực,
vận tốc, gia tốc,…
• Định luật 1 Newton: Một vật hoàn toàn
không tương tác với một vật khác thì
chuyển động với gia tốc
0a =

trường:
F qE=
ur ur
- 3 -
3. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
3.1. Sơ lược về vectơ trong chương trình và sách giáo khoa Toán hiện
hành
Vectơ được đưa vào giảng dạy ở phân môn hình học ngay từ đầu cấp
THPT, sau đó chúng còn xuất hiện với các mức độ khác nhau ở lớp 11 và lớp
12.
Mục đích của việc dạy học vectơ là nhằm cung cấp cho học sinh một
phương pháp mới để nghiên cứu hình học đó là phương pháp vectơ. Sau đó,
vectơ được sử dụng làm công cụ chứng minh các hệ thức lượng trong tam
giác và xây dựng hệ tọa độ trong mặt phẳng. Ở lớp 11, công cụ vectơ được sử
dụng để nghiên cứu các phép biến hình, các khái niệm về vectơ trong mặt
phẳng được mở rộng vào trong không gian nhằm cung cấp thêm công cụ để
nghiên cứu quan hệ vuông góc trong không gian. Vectơ tiếp tục được sử dụng
trong chương trình lớp 12 để đưa vào phương pháp tọa độ trong không gian.
3.2. Vectơ trong dạy học Vật lý ở trường phổ thông
1
Vectơ trong Vật lý 8
Trong Vật lý 8, vectơ xuất hiện trong bài “Biểu diễn lực” với vai trò là
công cụ biểu diễn lực. Vectơ ở đây gồm có các đặc trưng sau: gốc (điểm đặt),
phương, chiều và độ dài. Các vectơ này mang nghĩa vectơ buộc. Phương và
chiều của vectơ được hiểu thông qua phương và chiều của lực. Vật lý 8
nghiên cứu các lực: lực ma sát (có phương nằm ngang), lực đẩy Ác – si – mét
(có phương thẳng đứng).
Vectơ trong Vật lý 9
Vectơ được dùng để biểu diễn cho lực điện từ. Lực điện từ được dạy
trong bài “Lực điện từ” ở chương II “Điện từ học”. Trọng tâm của bài là xác

r ur r
r
.
Khi vật chuyển động thẳng nhanh dần đều, vectơ gia tốc có gốc ở vật chuyển
động, có phương và chiều trùng với phương và chiều của vectơ vận tốc và có
độ dài tỉ lệ với độ lớn của gia tốc theo một tỉ xích nào đó”. (SGK Vật lí 10,
tr.18)
“Vectơ gia tốc của chuyển động thẳng chậm dần đều ngược chiều với vectơ
vận tốc” (SGK Vật lí 10, tr.20).
“Trong chuyển động tròn đều, tuy vận tốc có độ lớn không đổi, nhưng có
hướng luôn thay đổi, nên chuyển động này có gia tốc. Gia tốc trong chuyển
động tròn đều luôn hướng vào tâm của quỹ đạo nên gọi là gia tốc hướng tâm”
(SGK Vật lí 10, tr.32).
Các vectơ được nhắc đến ở trên đều là vectơ buộc vì nó gắn với vật
đang xét. Khi đó các mối quan hệ về phương, chiều và độ lớn của các đại
lượng vận tốc và gia tốc được thể hiện bằng các hệ thức vectơ thông qua các
phép toán vectơ.
- 5 -
• Lực được nghiên cứu trong các chương “Động lực học chất điểm”,
“Cân bằng và chuyển động của vật rắn”. Sau khi nhắc lại khái niệm lực và
biểu diễn lực bằng vectơ SGK trình bày thí nghiệm chứng tỏ việc tổng hợp
lực áp dụng các quy tắc tìm tổng các vectơ: quy tắc hình bình hành. Điều này
chứng tỏ lực là đại lượng vectơ. Khi đó ngoài vai trò biểu diễn lực, vectơ còn
là công cụ để tổng hợp và phân tích lực. SGK định nghĩa tổng hợp lực “Tổng
hợp lực là thay thế các lực tác dụng đồng thời vào cùng một vật bằng một lực
có tác dụng giống hệt như lực ấy. Lực thay thế gọi là hợp lực”. Sau đó SGK
đưa ra quy tắc hình bình hành bằng ngôn ngữ Vật lí: “Nếu hai lực đồng quy
làm thành hai cạnh của một hình bình hành, thì đường chéo kẻ từ điểm đồng
quy biểu diễn hợp lực của chúng. Về mặt Toán học, ta viết:
1 2

, hai vectơ đối nhau được thể hiện ở Định
luật III:
AB BA
F F= −
uuur uuur
.
• Vectơ còn được dùng để nghiên cứu trong chương trình Vật lí lớp 11
và 12 như: cường độ điện trường, cảm ứng từ. Cường độ điện trường được
nghiên cứu trong chương “Điện tích – Điện trường”, cảm ứng từ được nghiên
cứu trong chương “Từ trường” (Thuộc chương trình Vật lí 11). Còn ở lớp 12
vectơ được dùng để biểu diễn cho phương trình của dao động điều hòa được
đề cập trong bài “Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.
Phương pháp giản đồ Fre-nen” trong chương I “Dao động cơ”. Do khách thể
của đề tài chỉ nghiên cứu với đối tượng là học sinh lớp 10 nên tôi không đi
sâu vào phân tích chương trình lớp 11 và 12.
Kết luận từ việc phân tích vectơ trong Vật lí
Trong chương trình Vật lí phổ thông, vectơ xuất hiện trước Toán học
(Từ lớp 8, 9). Tuy nhiên, các khái niệm về vectơ không xuất hiện tường minh
mà chỉ ngầm ẩn thông qua các biểu diễn trực quan.
Vectơ đóng vai trò là công cụ để biểu diễn các đại lượng vectơ và
biểu diễn cho phương trình của dao động điều hòa. Các vectơ biểu diễn các
đại lượng: vận tốc, gia tốc, lực tác dụng lên chất điểm, động lượng, cường độ
điện trường, cảm ứng từ đều mang ý nghĩa vectơ buộc. Vectơ biểu diễn cho
lực tác dụng lên vật rắn mang nghĩa vectơ trượt. Không có đại lượng nào
được biểu diễn bằng vectơ tự do.
Ngoài vai trò biểu diễn đại lượng vectơ nhằm minh họa trực quan các
đặc trưng của đại lượng vectơ, công cụ vectơ còn được dùng để tổng hợp hai
đại lượng vectơ cùng loại.
Các phép toán đại số vectơ được sử dụng trong việc định nghĩa các
đại lượng vectơ, mô tả các định luật Vật lí liên quan đến đại lượng vectơ đồng

2
F
uur
trong các hình vẽ dưới đây:

30
°
F
2
F
1

F
2
F
1F
2
F
1

F
1
F
2
Bài tập này muốn đề cập đến nội dung: “Hai vectơ không cùng phương”, “Hai
vectơ cùng hướng, ngược hướng”, “Hai vectơ bằng nhau”.
Tình huống 2

và
2
F
uur
theo hai phương OA và OB
như hình vẽ. Giá trị nào sau đây là độ lớn của hai lực thành phần? (BT 7 Vật
lí 10, trang 58).
a.
1 2
F F F= =
b.
1 2
1
2
F F F= =
c.
1 2
1,15F F F= =
d.
1 2
0,58F F F= =

F
30
°
B
A
O
30
°

nên chúng không thể cân bằng nhau.
Ba bài tập trong tình huống này đều dẫn đến nội dung: Tích của một
vectơ với một số trong Toán học.
4. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Các tình huống được xây dựng ở trên đã được áp dụng trong năm học
2014 – 2015. Để chứng minh tính hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành thực
nghiệm trên 36 HS lớp 10C2 của trường THPT Sông Ray năm học 2014 –
2015. Lớp đối chứng là lớp 10C13 gồm 37 HS. Cả hai lớp này đều học ban cơ
bản tức là các em học môn Toán theo chương trình chuẩn. Hai lớp này có
trình độ môn Toán khá tương đương với nhau. GV dạy lớp thực nghiệm: Thầy
- 10 -
Ngô Văn Vũ, GV dạy lớp đối chứng: Thầy Lê Văn Tùng. Thời gian dạy thực
nghiệm: Ngay từ đầu năm học.
Một số hình ảnh trong tiết dạy thực nghiệmSau khi học xong chương I “Vectơ” và học xong bài “Ba định luật
Newton” trong chương trình Vật lí 10, chúng tôi cho các em học sinh ở cả hai
lớp học làm bài kiểm tra để kiểm chứng. Thời gian làm bài là 20 phút, nội
dung bài kiểm tra như sau:
Bài 1: Các em hãy quan sát hình vẽ:
F
2
F
1
Hình 1

F
2
F

F
uur
cùng chiều
1
F
uur
và
2
F
uur
ngược chiều
Giải thích
1
2
3
4
Bài 2: Cho ba lực
1
F
uur
,
2
F
uur
và
3
F
uur
đồng quy tại O như hình vẽ, OABC là hình
thoi.

F F F F+ + >
uur uur uur uur
”
Hạnh: “
1 3 2
F F F+ >
uur uur uur
”
Phúc: “
1 3 2
F F F+ =
uur uur uur
”
Theo em, nhận định của các bạn đúng hay sai? Vì sao?

Đúng Sai Giải thích
Bình
An
- 12 -
Hạnh
Phúc
Bài 3: Một vật có khối lượng 2,5 kg được đặt trên một bề mặt không ma sát.
Người ta tác dụng lên vật một lực
F
ur
có phương hợp với phương nằm ngang
một góc
30°
(theo như hình vẽ) làm vật chuyển động với gia tốc
2

này với lời giải thích khá rõ ràng, còn lại 11% trả lời sai. Các em đã chọn
Bình, An hoặc Hạnh có ý kiến đúng.
- Có 19 học sinh (51%) của lớp đối chứng trả lời đúng. Nhiều em còn
lại cho rằng Bình đúng vì ta có OA = OB = OC nên
1
F
uur
=
2
F
uur
=
3
F
uur
. Một số em
cho rằng An đúng hoặc Hạnh đúng vì tổng ba vectơ (hoặc hai vectơ) phải lớn
hơn vectơ còn lại.
Bài 3: Với bài 3, ở lớp thực nghiệm có 9 học sinh (chiếm 25%) và ở lớp đối
chứng có 16 (chiếm 43%) làm sai. Các em tính lực F bằng công thức
F ma=
.
Trong khi công thức này chỉ áp dụng được khi lực
F
ur
chính là lực gây ra gia
tốc, tức là
F
ur
và

( )
cos30 3
ma
F N= =
°
Nhận xét được rút ra từ thực nghiệm
Học sinh gặp khó khăn trong các tình huống Vật lí có liên quan đến
vectơ, cụ thể như:
- 14 -
• Việc xác định chiều tác động của lực, một số em hiểu rằng “Hai vectơ
đi từ trái qua phải (hoặc các tình huống tương tự) là cùng hướng”. Trong khi
đó, về mặt Toán học ta chỉ nói hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng khi
chúng cùng phương.
• Sự bằng nhau của hai vectơ bị các em nhầm lẫn với sự bằng nhau về độ
lớn của các vectơ.
• Khi thực hiện tổng các vectơ các em đã lấy tổng các độ lớn của véctơ.
5. KẾT LUẬN
Nghiên cứu của đề tài qua các mục đã cho phép tôi trả lời các câu hỏi
nghiên cứu được đặt ra ở phần mở đầu. Về mặt lí luận, tôi đã làm rõ được một
số nội dung kiến thức Vật lí có liên quan đến vectơ. Về nội dung, tôi đã xây
dựng được một số tình huống Vật lí tích hợp vào giảng dạy toán với nội dung
vectơ. Để kiểm chứng hiệu quả của đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm trên
lớp 10 C2 của Trường.
Qua đây, cho phép tôi được cảm ơn quý thầy cô trong Tổ Toán đã giúp
tôi tiến hành thực nghiệm và góp ý cho đề tài của tôi. Tôi cũng xin chân thành
cảm ơn một số thầy cô trong tổ Vật lí như thầy Phan Sĩ, thầy Phan Hà Quốc
Dũng đã cung cấp tư liệu cũng như việc đóng góp những ý kiến với nội dung
Vật lí trong đề tài.
Trên đây cũng chỉ là một hoạt động rất nhỏ trong rất nhiều hoạt động
giáo dục của giáo viên. Đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong

Hình 1

F
2
F
1
Hình 2
F
2
F
1
Hình 3

F
2
F
1
Hình 4
Nhận xét về hai lực
1
F
uur
và
2
F
uur
và hoàn thành bảng sau đây (Đánh dấu X và
giải thích):
Hình
1

F
uur
đồng quy tại O như hình vẽ, OABC là hình
thoi.
17
F
3
F
2
F
1
C
B
A
O
60
°
60
°
Sau đây là ý kiến của bốn bạn Bình, An, Hạnh, Phúc:
Bình: “
1
F
uur
=
2
F
uur
=
3

một góc
30°
(theo như hình vẽ) làm vật chuyển động với gia tốc
2
2 /m s
theo
phương nằm ngang. Hãy xác định lực
F
ur
tác dụng vào vật.
18
a
F
30
° 19