1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhìn lại lịch sử toán học ta có thể thấy có nhiều tri thức của toán học phổ
thông chính là mô hình (hình ảnh) của toán học cao cấp. Sự liên hệ đó được thể
hiện nhiều trong các chủ đề như: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ và bất biến
ánh xạ, véc tơ và các phép toán trên chúng, các cấu trúc đại số… Song do sự hạn
chế về tri thức của học sinh phổ thông nên việc trình bày của sách giáo khoa phổ
thông có nhiều khi phải tránh đi mối liên hệ đó. Điều này đã làm cho không ít
sinh viên khoa toán ở các trường sư phạm khi tiếp xúc với toán học cao cấp đều
cho rằng toán học cao cấp là một thế giới riêng tách biệt với toán học phổ thông
mà họ từng được học ở bậc phổ thông.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp sinh viên khoa toán ở các trường sư
phạm khi học toán học cao cấp có thể tự mình nhận ra mối liên hệ giữa toán học
cao cấp và môn toán ở trường phổ thông, giúp họ những giáo viên tương lai ở
các trường phổ thông có thể tự mình tìm thấy và khai thác các khả năng vận
dụng toán học cao cấp trong giảng dạy sau này để từ đó nâng cao trình độ
chuyên môn nghiệp vụ cho họ. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Xác
lập mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông nhằm giúp sinh
viên ngành toán rèn luyện tay nghề dạy học”.
Tuy nhiên, đây là một đề tài rất rộng và phong phú, trong khóa luận này
chúng tôi chỉ xác lập được mối liên hệ của các vấn đề: Tập hợp và ánh xạ, không
gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit.
Ứng dụng toán học cao cấp vào việc giảng dạy môn toán ở trường phổ
thông là đề tài được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục trên thế giới quan tâm
nghiên cứu. Qua nghiên cứu một số tài liệu, chúng tôi nhận thấy, trên thế giới có
hai hướng chủ yếu được khai thác trong những năm qua là: (1) Giải các bài toán
sơ cấp bằng công cụ của toán học cao cấp: Theo hướng này, vấn đề được giải
quyết một cách đơn lẻ không khái quát và không mang tính lí luận nhưng lại đáp
ứng được nhu cầu mà thực tế dạy học ở bậc phổ thông đòi hỏi. Nó có thể giúp

tham khảo rất tốt cho các sinh viên ngành toán.

3

3. Mục đích nghiên cứu
Xác lập được một số mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ
thông về các vấn đề tập hợp ánh xạ, không gian vectơ, không gian vectơ ơclit,
không gian afine và không gian ơclit để từ đó hình thành được một số định
hướng giúp sinh viên có thể giải toán phổ thông trên cơ sở các định hướng của
toán học cao cấp.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học
phổ thông.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu: tập hợp và tham khảo các tài liệu liên quan đến đề tài
kết hợp nghiên cứu, trao đổi, và tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài gồm ba chương.
Chương 1: Mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông đối
với lý thuyết tập hợp, ánh xạ.
Chương 2: Mối liên hệ giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông đối với
không gian vectơ, không gian vectơ ơclit, không gian afine, không gian ơclit.
Chương 3: Thực hành giải toán phổ thông trên cơ sở sử dụng mối liên hệ
giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông.

phần tử.
Cho hai tập A và B. Ta bảo A là tập con của B và kí hiệu là A⊂B (hay
B ⊃A) nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B. Ta luôn có ∅⊂X
với mọi tập X.
Nếu A ⊂BvàB ⊂A thì ta nói A, B bằng nhau và kí hiệu là A = B. 5

1.1.1.2. Phép toán trên các tập hợp
Tập hợp gồm mọi phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A và B được gọi
là hợp của hai tập ấy và kí hiệu A ∪B.
Tập hợp gồm mọi phần tử thuộc đồng thời hai tập hợp được gọi là giao
của hai tập ấy kí hiệu là A ∩B.
Nếu giao của hai tập là rỗng thì ta bảo hai tập ấy rời nhau.
Hợp và giao có các tính chất:
 Giao hoán : A ∪B =B ∪A ; A∩B= B∩A
 Kết hợp : (A ∪B)∪C = A∪(B∪C); (A ∩B) ∩C= A ∩(B ∩C)
 Phân phối : A ∩
(
B ∪C
)
= (A∩B)∪(A ∩C);
A ∪
(
B ∩C
)
= (A ∪B) ∩(A ∪C)
Tập hợp gồm mọi phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B được gọi
là hiệu của tập A trừ đi tập B (kí hiệu là A ∖B hoặc A – B).


Giữa các phần bù của hợp và giao các tập E
∝
trong tập X (E
∝
⊂X) có các
công thức đối ngẫu (De Morgan) rất quan trọng sau:
C

(
⋃
E
∝∝
)
=
⋂
(
C

E
∝
)
∝

C

(
⋂
E
∝∝

X ×Y × Z
)
×T
…
Các phần tử của X ×Y ×Z là bộ ba
(
x,y,z
)
với x ∈X,y ∈Y,z ∈Z. Cũng
như vậy, các phần tử của X ×Y × Z× T là các bộ bốn
(
x,y,z,t
)
với x ∈X,y ∈
Y,z ∈Z,t ∈T. Cuối cùng nếu X là một tập hợp, ta đặt
X

= X ×X,X

= X × X ×X,X

= X × X ×X ×X,…
1.1.1.3. Xây dựng hệ thống số nhờ lý thuyết tập hợp
Con đường tổng quát như sau: Tập X được phân chia thành các tập con
khác ∅ từng cặp không giao nhau X
∝
∝∈A – chỉ số lấy trong họ tập con A mà
A
∝
là các phần tử - mỗi lớp nói trên. Gọi Y là tập các nhân tử tương ứng (tập các

~
(
m

,n

)
⟺m

+ n

= m

+n


Khi đó mỗi lớp tương đương là một số nguyên. Vậy tập các số nguyên là
tập nhân tử của tập N

hay ℤ là phần tử của P(P(N

)).
- Tương tự tập Q các số hữu tỉ là phần tử của P(P(ℤ× N
∗
)).
- Tập các số thực là phần tử của P(P(ℤ× P(N))).
- Quan hệ bé hơn trong N cho bởi phần tử X ∈P(N

).
- Mỗi hàm tuần hoàn xác định bởi đồ thị của nó – tập con trong R

Về thực chất lý thuyết tập hợp đã được sử dụng ở các lớp trung học cơ sở
nhưng phải đến lớp 10 mới được trình bày một cách tường minh và lý thuyết tập
hợp ở bậc phổ thông được trình bày theo quan điểm “ ngây thơ”. Những vấn đề
cơ bản về lý thuyết tập hợp gói gọn trong bài 3 chương I sách đại số 10 nâng cao
hay bài 2, bài 3 chương I sách đại số 10 cơ bản. Ở đó chỉ trình bày về các vấn đề
như sau:
- Khái niệm khái niệm, ví dụ, phần tử thuộc hay không thuộc tập hợp,
cách cho tập hợp.
- Tập hợp con và tập hợp bằng nhau, biểu đồ ven.
- Một số các tập hợp con của tập hợp số thực.
- Các phép toán trên tập hợp: Phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù.
Mặc dù lý thuyết về tập hợp ở chương trình toán phổ thông chưa được sâu
sắc song các phép toán của tập hợp được sử dụng rộng rãi và xuyên suốt chương
trình toán phổ thông như:
- Các phép toán trên tập hợp được dùng khi giải các phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình…
- Các tập hợp số ở trường phổ thông nhận được từ việc lấy giao và phần
bù của tập hợp
(
−∞,a] = ℝ(a,+∞)
- Các khái niệm của đại số tổ hợp được trình bày dựa vào tập hợp.
- Các bài toán tìm quỹ tích của một điểm.
- Các hình trong mặt phẳng hay không gian được xem là tập hợp các điểm
khi xét vị trí tương đối của chúng.
Khi giải các phương trình, bất phương trình thì tập nghiệm là các phần tử
của một tập hợp, các khoảng, đoạn . . .
8

Ví dụ: Giải phương trình:
f

, 0 ≤i ≤n. Khi đó tập nghiệm của phương
trình (1) là:
∪(N

∩N

∩…∩N

∩M

∩N

)
Vì trên tập N

∩N

∩…∩N

∩M

∩N

nhân tử f

(
x
)
= 0 còn các
nhân tử còn lại xác định.

⟺
x = ∓


x =


,k ∈ℤ
Giải đúng là:
(
2
)
⟺
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
π

9
−x

= 0

sin2x = 0
π

9
−x

⎢
⎢
⎢
⎡
x =∓
π
3
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
x =
kπ
2

x ≤−
π
3
x ≥
π
3
,k ∈ℤ
1.2. Lý thuyết ánh xạ
1.2.1. Lý thuyết ánh xạ trong toán học cao cấp
1.2.1.1. Ánh xạ
Định nghĩa 1: Giả sử X và Y là hai tập đã cho. Một ánh xạ f từ X đến Y
là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử xác định, kí
hiệu f(x) của Y. Ta viết
f ∶X→Y

.
2) Xét tập hợp các số thực ℝ. Tương ứng x ↦x

xác định một ánh xạ từ
ℝ đến ℝ.
Định nghĩa 2: Giả sử f∶X →Y. Bộ phận Γ của X ×Y gồm các cặp
x,f
(
x
)
 với x ∈X gọi là đồ thị của ánh xạ f.
Như vậy, cho một ánh xạ f ∶X →Y, ta được một bộ phận Γ của X × Y có
tính chất: với mọi x ∈X, có một và chỉ một cặp, có phần tử thứ nhất là x, thuộc
Γ. Đảo lại, cho một bộ phận Γ của X ×Y có tính chất đó, thì Γ cho ta một ánh xạ
f ∶X→Y mà đồ thị là Γ. Cho nên người ta đồng nhất ánh xạ f với đồ thị của nó
là một bộ phận tích đề các X ×Y.
1.2.1.2. Ảnh và tạo ảnh
Định nghĩa 3: Giả sử f ∶X →Y là một ánh xạ đã cho, x là một phần tử tùy
ý của X; A là một bộ phận tùy ý của X, B là một bộ phận tùy ý của Y. Thế thì
người ta gọi:
- f(x) là ảnh của x bởi f hay giá trị của ánh xạ f tại điểm x.
- f
(
A
)
=
{
y ∈Y|tồntạix∈Asaochof
(
x

(b) thay cho f

({
b
})
và gọi là tạo ảnh toàn phần của b bởi f.
Kí hiệu f(A) là một điều lạm dụng vì f(A) chỉ có nghĩa khi A ∈X. Rõ ràng
ta có f
(
∅
)
= ∅ với mọi f. Ta chứng minh dễ dàng các quan hệ:
10

- ⊂f

f
(
A
)
 với mọi bộ phận A của X.
- B ⊃ff

(
b
)
 với mọi bộ phận B của Y.
Nhưng ta không có quyền, trong các quan hệ ấy, thay các dấu bao hàm
bằng dấu đẳng thức. Chẳng hạn trong ví dụ 2) ở mục a), nếu lấy A =
{


);
hay với mọi y ∈Y có nhiều nhất một x ∈X sao cho y = f(x). Người ta gọi một
đơn ánh f ∶X →Y là ánh xạ một đối một.
Ví dụ: 1) Xét ánh xạ
f ∶ℝ→ℝ
x ↦x


Rõ ràng f là một đơn ánh, ví nếu x và y là những số thực thì quan hệ
x

= y

kéo theo x = y.
Nếu ta thay ℝ bằng ℂ thì ánh xạ
f ∶ℂ→ℂ
x ↦x


không phải là đơn ánh nữa, vì gọi ε

,ε

,ε

là ba giá trị căn bậc ba của đơn vị, ta
có ε



Định nghĩa 5: Ta bảo một ánh xạ f ∶X →Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y,
nói một cách khác, nếu với mọi y ∈Y có ít nhất một x∈X sao cho y = f(x).
Người ta còn gọi một toàn ánh f ∶X →Y là một ánh xạ từ X lên Y.
Các ánh xạ trong ví dụ 1) và 2) là những toàn ánh.
Định nghĩa 6: Ta bảo một ánh xạ f ∶X →Y là một song ánh hay một ánh
xạ đối một từ X lên Y, nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, nói một cách khác
nếu với mọi y ∈Y có một và chỉ một x ∈X sao cho y = f(x).
Chẳng hạn ánh xạ đồng nhất 1
x
là một song ánh.
1.2.1.4. Tích ánh xạ
Định nghĩa 7: Giả sử cho
f ∶X→Yvàg ∶Y→Z.
Ánh xạ X →Z
x ↦gf
(
x
)

gọi là tích ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g ∘f, hay vắn tắt gf.
Định lí: Giả sử cho f ∶X→Y,g ∶Y →Z,h ∶Z →T
Thế thì:
h
(
gf
)
=
(
hg
)

x↦y = f(x)
Hàm số ở đây chính là ánh xạ mà nguồn và đích là tập hợp của các số
thực ℝ hoặc những bộ phận của ℝ, và số f(x) tương ứng với số x là một biểu
thức đại số hay một biểu thức lượng giác, chẳng hạn:
f
(
x
)
= 2x

−3x

+5x −10hayf
(
x
)
= 3cos2x.
Khái niệm hàm số hợp:
Giả sử u = g(x) là hàm số của x, xác định trên (a, b) lấy giá trị trên (c, d);
y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c, d) lấy giá trị trên ℝ. Khi đó ta lập một
hàm số xác định trên (a, b) lấy giá trị trên ℝ theo qui tắc sau:
x↦f[g
(
x
)
].
Ta gọi hàm y = f[g(x)] là hàm hợp của hàm y = f(u) và u = g(x).
Dựa vào định nghĩa hàm hợp ta thấy khái niệm hàm hợp chính là khái
niệm thu hẹp của khái niệm tích ánh xạ trong chương trình toán học cao cấp.
Ở toán học phổ thông, lý thuyết ánh xạ con có mối liên hệ chặt chẽ với lí


.x

…x

|
=
|
x

|
.
|
x

|
…
|
x

|
.
Trường hợp riêng
|
X

|
=
|
X

Ngược lại ánh xạ chỉ ra dạng tên xác định cho ta bộ có độ dài m từ các phần tử
của X =
{
X

,X

.X

}
.
Từ đó ta có mệnh đề: “Nếu X, Y là hai tập hữu hạn thì số các ánh xạ tập Y
vào tập X bằng
|
X
|
|

|
“
Một tập con bất kì A của tập X cho ta ánh xạ vào tập
{
0,1
}
: f
(
x
)
= 1 nếu
x ∈A và f

(
n−m+ 1
)
=
!
(

)
!
các bộ này
gọi là chỉnh hợp không lặp n phần tử theo m: A


=
!
(

)
!

Khi m = n ta có P
n
= n!
Các kết quả trên liên quan chặt chẽ với ánh xạ các tập hữu hạn: ta xét các
ánh xạ đơn ánh của tập N

=
{
1,2…m
}

là một trong các tập con. Từ A có m! các phép
thế, mỗi phép thế này là chỉnh hợp không lặp từ n phần tử theo m. Nếu các tập
con A, B khác nhau thì số các phép thế khác nhau.
Như vậy A


= m!C


⟺C


=



!
=
!
!
(

)
!
.
Có thể giải thích theo ngôn ngữ ánh xạ như sau:
Các tập X, Y tương ứng có n và m phần tử sắp thứ tự chặt. Giả sử ánh xạ
f:X ⟶Y bảo tồn thứ tự, nghĩa là: từ X

<X

2.1.1. Không gian vectơ trong toán học cao cấp
2.1.1.1. Định nghĩa không gian vectơ
Giả sử V là một tập hợp tùy ý không rỗng, mà các phần tử ta kí hiệu là x,
y, z, … V gọi là một không gian vectơ (KGVT) trên một trường số K nếu có
một ánh xạ
f ∶V × V →V

(
x,y
)
↦x + y
Gọi là phép cộng và một ánh xạ
f ∶K × V →V

(
α,y
)
↦αx
Gọi là phép nhân một số với một phần tử của Vsao cho các điều kiện sau
được thỏa mãn:
1) Phép cộng có tính chất giao hoán
x +y = y + x , với mọi x,y ∈V
2) Phép cộng có tính chất kết hợp
(
x +y
)
+z = x +
(
y+ z
)

Khi K là trường số thực hoặc phức thì V gọi là KGVT thực hoặc phức. Phần tử
θ gọi là vectơ không, phần tử −x gọi là vectơ đối của vectơ x.
Giả sử V là một KGVT và V’ là một tập con khác rỗng của V. Nếu đối
với phép toán cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số xác định trong KGVT
V mà bản thân tập V’ cũng lập thành một KGVT thì V’ gọi là KGVT con của
KGVT V.
2.1.1.2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các vectơ
Trong KGVT cho hệ thống vectơ
α

,α

,…,α

(1)
Hệ vectơ (1) gọi là độc lập tuyến tính nếu từ
k

α

+ k

α

+ ⋯+ k

α

= 0 (2)
Suy ra bắt buộc phải có: k

(1) gọi là hệ sinh hữu hạn của KGVT V và V gọi là một KGVT hữu hạn sinh.
Kí hiệu V = L(α

,α

,… ,α

).
Một hệ sinh hữu hạn độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của KGVT.
Hai cơ sở tùy ý của một KGVT V hữu hạn sinh có số vectơ bằng nhau. Số
vectơ trong một cơ sở tùy ý của KGVT V hữu hạn sinh gọi là có số chiều hoặc
thứ nguyên của KG V và kí hiệu là dimV.
Nếu dimV = n thì V gọi là một KG n-chiều và kí hiệu là V
n
. Trong KGVT
n - chiều V
n
, n > 0, mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều không có quá n vectơ.
Nếu hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n vectơ thì nó là một cơ sở của KG V
n
còn
nếu có ít hơn n vectơ thì có thể bổ sung thêm vào đó để trở thành một cơ sở.
Giả sử V’ là một KG con của KGVT n - chiều V
n
, Thế thì dimV′≤n và
dimV

= n khi và chỉ khi V’ = V
n
.

),f(α

),…,f(α

) là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính trong V’, đặc biệt f(V) là
một KGVT con của V’.
Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f ∶V →V′, kí hiệu Kerf, là tập hợp
{
α∈V|f
(
α
)
= θ′
}
, θ′ là vectơ không của V’.
Kerf là một KGVT con của V.
18

b. Sự xác định ánh xạ tuyến tính
Cho ánh xạ tuyến tính f ∶V

→V′ từ KGVT n-chiều V
n
vào KGVT V’.
Giả sử α

,α

,… ,α


α
)
= f
(
α
)
+ g
(
α
)
,vớimọiα∈X
Với mối số thực k, tích của ánh xạ f với k, kí hiệu là kf, được định nghĩa:
(
kf
)(
α
)
= kf
(
α
)
,vớimọiα∈X
Khi đó, f + g và kf là các ánh xạ tuyến tính từ X đến Y.
d. Ánh xạ đẳng cấu
Cho hai KGVT X và Y, ánh xạ tuyến tính f ∶X →Y được gọi là đẳng cấu
nếu f là song ánh.
Ánh xạ đẳng cấu f ∶X →Y biến hệ vectơ độc lập tuyến tính α

,α


ω

,ω

,,,,ω

}
(2)
Cho f∶V

→W

là một ánh xạ tuyến tính. Ta biểu thị các vectơ
f(ε

),j = 1,2,…,n, qua cơ sở (2) : f(ε

) =
∑
a

ω



,j = 1,2,…,n.
Ma trận A = a


×

y

=

a

a

… a

a

…
a

a

…
a

…
…
…
a

…
a


= 

()

.
trong đó f chạy qua tất cả các phép thế bậc n, và s(f) là dấu của phép thế.
Hạng tử a

(

)
a

(

)
…a
()
có dấu + hay – tùy theo phép thế

1 2
… n
f(1) f(2)
… f(n)

là chẵn hay lẻ.
Số các hạng tử mang dấu “+” bằng số các hạng tử mang dấu “–”.
2.1.2. Không gian vectơ trong toán học phổ thông
* Ký hiệu P
n+1
là tập tất cả các đa thức hệ số thực có bậc bé hơn hoặc bằng
số tự nhiên n.

∈ℝ,i = 0,1,2,…,n.
* Tập các số thực ℝ cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường lập
thành một KGVT trên trường số thực. Ở đây mỗi số thực được xem là một vectơ.
* Tập các hàm số liên tục trên [a, b], kí hiệu C
[a, b]
là một KGVT với phép toán:
(
f+ g
)(
x
)
= f
(
x
)
+g(x) với mọi f,g∈C
[
,
]
, mọi x∈
[
a,b
]

(
αf
)(
x
)
= α.f(x) với mọi f ∈C

x′,y′
)
ta có
u
⃗
+v
⃗
=
(
x +x

,y + y′
)

ku
⃗
=
(
kx,ky
)
,mọik∈ℝ
tập hợp V
2
các véc tơ trong mặt phẳng có chung gốc O với hai phép toán
trên là một KGVT. Cơ sở của nó là
{
ı⃗=
(
1,0
)

+z⃗=
(
x+ x

,y + y

,z +z′
)

ku
⃗
=
(
kx,ky,kz
)
,mọik∈ℝ.
Tập hợp V
3
các vectơ trong KG chung gốc O lập thành một KGVT với
hai phép toán trên. Cơ sở của nó là:
ı⃗=
(
1,0,0
)
,ȷ⃗=
(
0,1,0
)
,k


2
là độc lập tuyến tính ta bổ sung vào hệ
{
ı⃗,ȷ⃗
}
một vectơ
k

⃗
vuông góc với ı⃗vàȷ
⃗
ta được một cơ sở ı
⃗
,ȷ
⃗
,k


⃗
 của V
3
.
Ngoài cơ sở đó, trong mặt phẳng KG còn có các cơ sở khác. Chẳng hạn,
ba cạnh chung đỉnh của một hình hộp trong KG là độc lập tuyến tính nên nó là
một cơ sở của KG.
* Gọi ma trận vuông cấp hai là:
A = 
a b
a′ b′


* Xét bài toán: Tìm giao điểm của đường thẳng ∆ có phương trình

ax + by+cz + d = 0
a

x +b

y + c

z + d

= 0

với mặt phẳng có phương trình là
a

x + b′

y + c

′z+ d

= 0.
Thực chất của bài toán trên là tìm nghiệm của hệ phương trình

ax + by+ cz + d = 0
a

x + b


Xét định thức cấp 3:

a b c
a

b

c

a

b

c

= s
(
f
)

a

(

)
a

(

)

.
* Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’ có phương trình
(
d
)
:
x −x

a

=
y−y

b

=
z −z

c


(
d′
)
:
x −x

a

=

a

,b

,c

)
. Còn đường thẳng d’ qua điểm M

(
x

,y

,z

)
và có vectơ chỉ
phương là u





⃗
=
(
a

,b


,
c

a

c

a

,
a

b

a

b


22

Và M

M








⃗
,u





⃗
]
M

M












⃗
=
=
(

+
(
z

−z

)

a

b

a

b


=
(
x

−x

)

b

c

b


a

b


= 
(
x

−x

) (
y

−y

) (
z

−z

)
a

b

c

a









⃗
= 0
Tương đương với: 
(
x

−x

) (
y

−y

) (
z

−z

)
a

b

,b

⃗
∈V
E

:fa
⃗
,b

⃗
+ c⃗= fa
⃗
,b

⃗
+ f
(
a
⃗
,c⃗
)
với mọi a
⃗
,b

⃗
,c⃗∈V
E


⃗
∈V, f
(
a
⃗
,a
⃗
)
= 0 khi và chỉ khi a
⃗
= 0

⃗

Tích vô hướng thường được kí hiệu là a
⃗
b

⃗
hoặc
〈
a
⃗
|b

⃗
〉

KGVT V cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là KGVT Ơclit, kí
hiệu là V


.
Với mọi a
⃗
,b

⃗
∈V


ta có:
- a
⃗
.b

⃗


≤a
⃗

b

⃗

(BấtđẳngthứcSvácxơ)
- a
⃗
+ b



||
a
⃗
|

2.2.1.2. Cơ sở trực giao
Hai vectơ a
⃗
,b

⃗
của KGVT Ơclit V
E
gọi là vuông góc với nhau nếu
a
⃗
.b

⃗
= 0.
Khi đó, ta có:
. a
⃗
vuông góc với chính nó khi và chỉ khi a
⃗
= 0

⃗



(định lý Pitago)
Hệ vectơ
{
a
⃗

,a
⃗

,…,a
⃗

}
của V
E
gọi là hệ trực giao nếu a
⃗

≠0, (i = 1, 2,…, n),
và a
⃗

a
⃗

= 0 với mọi i, j = 1, 2, …, n và i ≠j.
Vectơ a
⃗
có

Số đo góc giữa hai vectơ a
⃗
,b

⃗
≠0

⃗
của V
E
là một số thực φ(a
⃗
,b

⃗
) được xác
định bởi công thức:
cosφa
⃗
,b

⃗
=
a
⃗
b

⃗
|
a

⃗
=
(
y

,y

,…,y

)
thì
a
⃗
b

⃗
= x

y



,
|
a
⃗
|
=

x

x




∑
y



.
2.2.1.4. Hai không gian bù trực giao với nhau
Cho hai KG con P và Q của V
E
. P và Q gọi là trực giao với nhau nếu với
mọi a
⃗
∈P đều vuông góc với mọi b

⃗
∈Q. Kí hiệu P ⊥Q. Nếu P và Q trực giao
với nhau và V

= P⨁Q thì ta nói P là phần bù trực giao của Q hay P và Q bù
trực giao với nhau. Nếu P bù trực giao với Q thì dimP + dimQ = dimV
E
.
Giả sử P, Q, R là các KG con của V



⃗
,b

⃗
∈V


.
Như vậy, ánh xạ φ∶V


→V


là phép biến đổi trực giao của V


nếu và
chỉ nếu φ là ánh xạ tuyến tính và giữa nguyên môđun của các vectơ, tức là
|
φ
(
a
⃗
)|
=
|
a
⃗
|

, trong đó A
-1
là ma
trận nghịch đảo của A.
Một phép biến đổi tuyến tính φ∶V


→V


là một phép biến đổi trực giao khi
và chỉ khi ma trận của φ đối với cơ sở trực chuẩn của V


là một ma trận trực giao.
2.2.1.7. Tích vectơ trong KG vectơ Ơclit 3-chiều 



Giả sử u
⃗
,v
⃗
∈V


. Với mỗi w


⃗

⃗
↦φ
(
w


⃗
)
là phiếm hàm tuyến tính trên
V


. Do đó tồn tại duy nhất một vectơ z⃗∈V


sao cho:
〈
w


⃗
|z⃗
〉
= φ
(
w


⃗
)

Tích vectơ có các tính chất
 u
⃗
×
(
v
⃗
+ w


⃗
)
= u
⃗
× v
⃗
+ u
⃗
×w


⃗
,vớimọiu
⃗
,v
⃗
,w


⃗

× w


⃗
= u
⃗
× w


⃗
+ v
⃗
× w


⃗
,vớimọiu
⃗
,v
⃗
,w


⃗
∈V




(




Như vậy, tích vectơ của hai vcetơ là một dạng song tuyến tính phản đối xứng.
Chọn cơ sở trực chuẩn ε trong V


và các tọa độ u
⃗
,v
⃗
đối với ε là
u
⃗
=
(
x

,x

,x

)
;v
⃗
=
(
y

,y


x

y

y


Ta có: u
⃗
× v
⃗
= 0

⃗
khi và chỉ khi u
⃗
cộng tuyến với v
⃗
.
Nếu u
⃗
không cộng tuyến với v
⃗
thì u
⃗
×v
⃗
vuông góc với u
⃗