Người thực hiện:
Phan Văn Hóa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học
 - Lĩnh vực khác:

Có đính kèm:  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2014 - 2015


+ Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán.
+ Một số sai lầm khi tính tích phân.
+ Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit.
+ Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình.
+ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi của các năm bài toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hầu như không thể thiếu. Đặc biệt bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một trong những bài toán hay và khó, đòi hỏi
người học phải có tư duy tốt, có tính sáng tạo cao. Vấn đề đặt ra là làm sao để giảng
dạy học sinh học tốt chủ đề này. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong
quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy sử dụng phương
pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất giúp học sinh dễ tiếp thu và chủ động
giải quyết các bài toán hơn. Với những ưu điểm đó nên tôi chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng
phƣơng pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất’’ để trao đổi với đồng
nghiệp.

II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1. Định nghĩa: Cho hàm số
()y f x
xác định trên


  


2. Định lí:
a. Nếu hàm số
()y f x

đồng biến trên
 
;ab
thì
 
;
min ( ) ( )
x a b
f x f a


;
 
;
( ) ( )
x a b
max f x f b


.
b. Nếu hàm số
()y f x


A. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM MỘT BIẾN.
1. PHƢƠNG PHÁP 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
()y f x

trên một đoạn
 
;ab

● Tính
'( )fx

● Tìm các điểm
12
, , ,
n
x x x
trên khoảng
 
;ab
mà tại đó
'( ) 0fx

hoặc
'( )fx

không
xác định.
● Tính

trên một khoảng
 
;ab
(có thể là
 
; 
)
● Tính
'( )fx

● Tìm các điểm
12
, , ,
n
x x x
trên khoảng
 
;ab
mà tại đó
'( ) 0fx

hoặc
'( )fx

không
xác định.
● Lập bảng biến thiên.
● Dựa vào bảng biến thiên rồi kết luận
 
;

fx
x


trên đoạn
 
1;2Giải:
2
22
8
'( )
(4 )
xx
fx
x



,
1
;6
3
x

  



Vậy
 
 
1;2
ax ( ) 2 2
x
m f x f


và
 
 
1;2
min ( ) 0 0
x
f x f



Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 3 1 3 6f x x x   

Giải:
TXĐ:
1
;6
3
D



57
3
f




;
5
2 19
4
f




;
 
6 19f 

Vậy
1
;6
3
5
ax ( ) 2 19
4
x
m f x f


fx
xx




Giải:
TXĐ:
DR

2
22
4 22 10
'( )
( 2 3)
xx
fx
xx
  



2
1
'( ) 0 4 22 10
2
5
x
f x x x
x


Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( ) 16f x x x  

Giải:
TXĐ:
 
4;4D 

2
'( ) 1
16
x
fx
x


,
 
4;4x  

 
2
2 2 2
0
00
'( ) 0 16 2 2 4;4
16 8
22

-
1
2
-
∞
x
3
0
0
-
+
-
+
∞
3
7
5
2
5

Vậy
 
 
4;4
ax ( ) 2 2 4 2
x
m f x f


và

aa




với
03a

 
22
54 81
'( ) , 0;3
(3 )
a
f a a
aa

  


 
3
'( ) 0 0;3
2
f a a   

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:



B. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN.
1. PHƢƠNG PHÁP:
● Biến đổi hoặc sử dụng bất đẳng thức để chuyển biểu thức ban đầu sang biểu thức
mới. Biểu diễn các biến số ban đầu của biểu thức theo một biến số mới.
3
-
+
0
a
3
2
f'(a)
f(a)
3
0
6

● Dựa vào điều kiện của các biến số ban đầu để tìm điều kiện cho biến số mới.
● Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số theo biến mới.
2. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG DÙNG:
a. Bất đẳng thức Cô – si, với
, , 0abc
, ta có:
2a b ab
; dấu “=” xảy ra
ab
.
3

,a b R
; dấu “=” xảy ra
ab
.
d.
 
2
2 2 2 2 2 2
3
abc
a b c ab bc ca a b c ab bc ca

           
, với
,,a b c R
; dấu “=”
xảy ra
abc  

Hiển nhiên, ta có:
22
22
2
2
ab
a b ab ab

   
, với
,a b R

abc
a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca

              

2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
()
( ) 2( ) 3( )
3
abc
a b c a b c ab bc ca a b c a b c

              

e.
1 1 4
a b a b


, (với
0, 0ab
); dấu “=” xảy ra
ab

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2a b ab
và
1 1 2
ab

. Tìm giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 1 1
xy
P
yx


.
Giải:
2 2 2
2 4 2 ( 2 ) 4 2 6 4
2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 3
x y x y x y x y xy x y xy
P
y x xy x y xy x y xy
       
    
        

Đặt
2
( 2 )
2 1 0 1
4
xy
t xy t

     

 
1 (1) ( ) (0) 2, 0;1f f t f t     

Vậy
max 2P 
khi
2; 0xy

hoặc
0; 1xymin 1P 
khi
1
1;
2
xy

Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện
3x y xy  
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
22
33
11
x y xy
P x y
y x x y
    

xy
x y xy x y t t t

           

Xét hàm số
2
2
3 9 18 3
( ) 6 2
4
t t t
f t t t
t
  
    

với
23tSuy ra hàm số nghịch biến trên


2;3
nên


3
( ) (2) , 2;3

( 1)( 3) 4 3 0 4 3
x x x x x x
y y y y y y

       



       



Từ đó suy ra:
   
4
5
11
5 5 5 4 4 4 1
4 2 4 2
y x y
x
P
x y y x x y
x y x y

    
     
   

Đặt


  
   
.
 
 
 
1 3;6
'0
5 3;6
t
ft
t








Bảng biến thiên:


3 2 3 2
2 2 2
2
2
6 9 3 2 12 (2 12) 24
'( ) 2 2

khi
3; 2xy

hoặc
2; 3xyVí dụ 4: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện
13x y xy  
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
22
3 3 1 1
( 1) ( 1)
xy
P
y x x y x y
   

.
Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 1 1 ( 1) ( 1) 1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
xy xy x y x y
P
y x x y x y y x x y x y
   

x y xy
xy t t t

       

Xét hàm số
2
51
()
4
t
ft
t



với
1t Suy ra hàm số nghịch biến trên


1; 
nên


( ) (1) 1, 1;f t f t    

103

22
3 2 3 2x y xy x y    
. Tìm giá
trị giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2 2
8 ( 1)(3 4) 2P x y x y x y x y         
.
Giải:
2 2 2 2 2 2
8 3 3 4 6 8 4 ( )P x y x y x y xy y x x y x y x y                

2 2 2 2
( ) 2 ( )x y x y xy x y     
, dấu “=” xảy ra khi
0xy 

2
( ) 8 4 ( )P x y x y x y       

Từ giả thiết, ta có:
2
( ) 3( ) ( ) 0x y x y xy y      
(vì x, y không âm nên
0xy y
)
12xy   

Đặt
t x y


)
Suy ra hàm số đồng biến trên
 
1;2
nên
   
 
2 6 8 2, 1;2f t f t    

Vậy
max 6 8 2P 
khi
2; 0xy

Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện
22
1
2( ) 5xy
xy
  
. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
22
3 3 4
1 1 1 2
P
x y xy
  
  
.


Từ giả thiết, ta có:
2 2 2
1 1 1
5 2( ) 4 4( ) 5 1 0 1
4
x y xy xy xy xy
xy xy
           
.
11

Đặt
t xy

với
1
1
4
t

Xét hàm số
3
27 3 4
()
2 7 1 1 2
t
ft
t t t



nên
 
1 112 1
, ;1
4 15 4
f t f t
   
   


   

Vậy
112
max
15
P 
khi
1
2
xy

Ví dụ 7: Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn
3
( ) 4 2x y xy  
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
4 4 2 2 2 2
33


  
và
2 2 2
22
()
4
xy
xy



4 4 2 2 2 2
3
( ) ( ) 5
2
P x y x y x y     
2 2 2 2 2 2 2
3
[( ) ] ( ) 5
2
x y x y x y     

2 2 2
2 2 2 2 2
3 ( )
( ) ( ) 5
24
xy
x y x y


9 9 1 1 1
'( ) 1 0,
4 4 2 8 2
f t t t t

       



12

Suy ra hàm số đồng biến trên
1
;
2





nên
 
1 153 1
,;
2 32 2
f t f t
   
    
  

Với a, b dương, ta có:
22
6( ) 20 5( )( 3)a b ab a b ab    
     
1 1 1 1 1 1
6 20 5 3 5 15 10 3
ab
ab a b a b
b a a b b a b a
       
            
       
       10 3 2
ab
ba

  



Đặt
ab
t
ba

. Suy ra
2

4 3 2
( ) 9 16 11 48 32f t t t t t    
với
10
3
t 

3 2 2
10
'( ) 36 48 22 48 36 ( 4) 96 ( 4) 362 48 0,
3
f t t t t t t t t t t            

Suy ra hàm số đồng biến trên
10
;
3





nên
 
10 14156 10
,;
3 27 3
f t f t
   
    

 
1 1 1
9abc
abc

    



Dấu “=” xảy ra khi
abc

 
1 1 1 1 1 1 9
9x y z
x y z x y z x y z

        




Do đó
9
P x y z
x y z
   


Đặt

2 2 2
f t f t
   
   
  

   

Vậy
15
min
2
P 
khi
1
2
x y z  Ví dụ 10: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn
2 2 2
2x y z  
. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức
P x y z xy yz xz     
.
Giải:
Đặt
t x y z  
,(

2
2
2 2 2 2
9 27 3 3 27
9 9 3
4 4 2 2 4
'( ) 1 0, 0;
2
t t t
t
f t t
t t t t
    
    
    


    
       




'( ) 1 0, 0; 6f t t t

    

14

Suy ra hàm số đồng biến trên

  
.
Giải:
Dễ dàng chứng minh với mọi a, b, c dương, ta có:
 
1 1 1
9abc
abc

    



Dấu “=” xảy ra khi
abc 
1 1 1 1 1 1 3
2 ) ( 2 ) ( 2 9
2 2 2 2 2 2
x y y z z x
x y y z z x x y y z z x x y z

           



       


2




nên
 
3 7 3
, 0;
2 2 2
f t f t
   
   
  

   

Vậy
7
min
2
P 
khi
1
2
x y z  

Ví dụ 12: Cho x, y, z là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 2
12



15

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, với mọi a, b, c không âm, ta có:
2
22
()
2
ab
ab


, dấu “=” xảy ra khi
ab

3
3
abc
abc





, dấu “=” xảy ra khi
abc

Ta có:
2 2 2

11t x y z t     
,(vì
0x y z  
)
Xét hàm số
2
2 54
()
( 2)
ft
tt



với
 
1;t  

 
24
2 162
'( ) , 1;
( 2)
f t t
tt

    


 

0
-
+
+
∞
1
4
16

Vậy
1
max
4
P 
khi
1x y z  

Ví dụ 13: Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn điều kiện
2 2 2
1abc  
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c c a a b

  
.
Giải:

1abc  

nên
, , (0;1)abc
.
Xét hàm số
2
( ) (1 )f t t t

với
01t

2
'( ) 3 1f t t  

 
 
1
0;1
3
'( ) 0
1
0;1
3
t
ft
t




( ) (1 )
9 9 (1 ) 2 1 2
f t t t t
t t t
       


Do đó
 
2 2 2
3 3 3 3
22
P a b c   

Vậy
33
min
2
P 
khi
1
3
abc  

Ví dụ 14: Cho a, b, c là số thực không âm thỏa mãn điều kiện
3abc  
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2

 
2
2 2 2
x y z
x y z
m n p m n p

  

(với
0, 0, 0m n p  
)
Do đó
     
 
2
2 2 2
4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
abc
a b c
P
a b b c c a a b c
a b b c c a

   
    
  

với
3t 



2
9
'( ) 0, 3:
( 3)
f t t
t
    


Suy ra hàm số đồng biến trên


3:
nên


3
( ) (3) , 3:
2
f t f t    

18

Vậy
3

c a b
a b c
  


  


  


Do đó
     
1 3 5
1 3 1 3 1 3
P
a a b b c c
  
  

Xét hàm số
2
( ) (1 3 )f t t t

với
1
0
3
t



4
243
2
9
+
-
0
t
1
3
f'(t)
f(t)
0
19

Dựa vào bảng biến thiên, với
1
0
3
t
, ta có:
2
2
4 4 1 243 1 243
( ) (1 3 )
243 243 (1 3 ) 4 (1 3 ) 4
f t t t t
t t t t
       

Giải:
Ta có:
2 2 2 2
( ) 2( )x y z x y z xy yz zx       

2
2 2 2 2
1 ( ) 3
( ) ( )
22
x y z
xy yz zx x y z x y z
  

         


Do đó
2
( ) 3 3
2
x y z
P
x y z
  



Vì
2 2 2

    
2
3
22
3 3 3 3 3 1
3
'( ) 0, 3;3
t t t
t
f t t
tt
    


    


Suy ra hàm số đồng biến trên
3;3


nên
   
3 4, 3;3f t f t

   


Vậy
max 4P 


Dấu “=” xảy ra
x y z  

Từ giả thiết, ta có:
   
22
2 2 2
2
2( ) 3 3
33
x y z x y z
x y z xy yz zx
   
        

Từ đó suy ra:

 
2
93x y z x y z      

và
 
2
2 2 2
9
6
x y z
x y z




với
03t



2
9
'( ) 0, 0;3
3 ( 2)
t
f t t
t
    

.
Suy ra hàm số đồng biến trên


0;3
nên
    

6
3 , 0;3
5
f t f t   



21

2 2 2 2 2 2
14
1 ( )
P
x y z x y z

    

Đặt
2 2 2
t x y z  

Vì x, y, z là các số thực dương và
1x y z  

nên
, , (0;1)x y z
. Do đó
2 2 2
,,x x y y z z  
. Suy ra
2 2 2
11x y z x y z t       

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, với mọi a, b, c không âm, ta có:
2 2 2
ab bc ca a b c    


    





22
11
;1
33
'( ) 0 4 (1 )
1
1 ;1
3
t
f t t t
t








    


  

1
+
0
t
1
3
f'(t)
f(t)
22 Ví dụ 19: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
1x y z  
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
 
22
2
2 2 2 2
3
7 7 4
xy
P x y
y z yz z x zx
   
   
.
Giải:
Ta có:
2 2 2

     

     
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
4 4 3 4 3 2 3
9( ) 9( ) 4 9 ( ) ( ) 4 9 4
x y x y x y
x y x y x y
y z z x y z z x y z z x


           


     


   
22
2 2 2
22
2 2 2
2 ( ) 3 2 2( ) 4 ( ) 3
9 ( ) 4 9 ( ) 4 ( ) 4 4
x y z x y x y z x y
x y x y
xy z x y z x y z x y z

2
2
2
22
2
2 2 2 3 8 1 3
11
9 2 1 4 9 1 4
zz
zz
z z z

  

     


  



Xét hàm số
 
2
2
8 1 3
( ) 1
9 1 4
z
f z z



 
 
1 0;1
'( ) 0
1
0;1
3
z
fz
z









Bảng biến thiên:
23 Dựa vào bảng biến thiên, ta có
   
11
, 0;1
39

0;2
. (Đề thi Đại học khối D năm 2011)
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2
2 12
()
23
xx
fx
xx




3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
42
2
18 81
()
5
xx
fx
x




4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 14 5f x x x   

-
-1
9