TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
1

Methods applied
"circular trigonometric resolution exercises variation"
PHƯƠNG PHáP ứng dụng vòng tròn lợng giác
giải bài tập dao động điều hoà
Trần Quang Thanh
K15-PPGD VậT Lý-ĐH VINH

I. Đặt vắn đề
Trong những năm gần đây theo chủ trơng của Bộ giáo dục và đào tạo đối với
kỳ thi ĐH- CĐ trên toàn quốc thì một số môn thi sẽ chuyển từ hình thức thi tự
luận sang trắc nghiệm, trong đó Vật lý là một môn thi theo hình thức này.
Trong chơng "Dao động cơ học" sách Vật lý 12 THPT với nhiều bài toán có
liên quan đến các đại lợng biến thiên điều hoà bản thân tôi nhận thấy rất nhiều
học sinh khi làm các bài tập dạng này vẫn cha mạnh dạn tiếp cận với phơng
pháp dùng "Đờng tròn lợng giác" để giải bài tập dao động điều hoà. Do một
số hạn chế về kỹ năng kiến thức phơng pháp giải. Vì vậy, để các em làm chủ
đợc phơng pháp này, tôi mạnh dạn " Xây dựng lại" các khái niệm và các mối
liên hệ về "Sự tơng ứng giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà"
vào giải bài tập.

II. Sự tơng quan giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà
Nh chúng ta đ biết: " Một dao động điều hoà có thể đợc coi nh hình
chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đờng thẳng nằm trong mặt
phẳng quỹ đạo"
Vì vậy khi xây dựng mối tơng quan, chúng ta nên chuyển chuyển động tròn
đều sang dao động điều hoà. Vì việc đa vào khái niệm chuyển động tròn đều để
"Vật lý hoá" phơng thức biểu diễn. Thực chất đây là việc giải phơng trình
lợng giác dùng công cụ đờng tròn lợng giác.

Dao động điều hoà:
+) Phơng trình dao động :
. ( . )
x A cos t

= +

+) Vật chuyển động ra xa vị trí cân bằng thì chuyển động là chậm dần:
. 0
d t
a v E E
<
và ngợc lại.
+) Khi vật chuyển động tròn đều trên cung phần t thứ (III) và (IV) thì vật dao
động điều hoà đi theo chiều dơng. Còn trên cung phần t thứ (I) và (II) vật đi
ngợc chiều dơng ( Với quy ớc chiều dơng là chiều quay ngợc chiều kim
đồng hồ).
TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
2

+) Khi vật chuyển động tròn đều đi trên cung phần t thứ (I) và (II) thì vật dao
động điều hoà lại gần VTCB. Còn trên cung (II) và (IV) vật đi ra xa VTCB.
Về năng lợng:
Phơng trình động năng và thế năng:
2
0
2
0
. ( . )
.sin ( . )

2
2
3
sin
4
3.
1
4
d t
E E
cos


=


=


=


, Xảy ra tại các điểm A
1
,A
2
,A
3
,A
4

1,
C
2
, C
3
, C
4
.
III. Các cách vẽ vòng tròn lợng giác khi vật đi từ vị trí x
1
đến vị trí x
2
Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí x
1
đến vị trí x
2
đợc tính qua
công thức sau:
min
( )
*
t


=

Trong đó

đợc tính qua cách vẽ vòng tròn L-G với hàm cosin còn
2

ON A


= = = =
. Vậy thay vào công
1
A

2
A

3
A

4
A

2
B

3
B

4
B

1
B

1


thức (*) trên ta có :
min
6
2
12
T
t
T




= = =

TH2: Vật đi từ VT
1
2
A
x
+
=
đến
2
x A
= +
tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc
cung
MN



= = =

TH3: Vật đi từ VTCB 0 đến VT
2
x A
= +
. Tơng ứng
trên vòng tròn vật quét đợc cung
2
MN


= =


nh hình bên: vậy thay vào công thức (*) ta có:
min
2
2
4
T
t
T




= = =


T




= = =

2
A

A
+

A


O

M

N



H

A
+

O


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
4

TH5: Vật đi từ vị trí :
1
x A
= +
đến
2
x A
=

Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc góc:

=

vậy thay vào công thức (*) ta có:
min
2
2
T
t
T



= = =
đến x
2
?
Phơng pháp :
a) Vẽ đờng tròn lợng giác
b) Xác định toạ độ x
1
và x
2
trên trục Ox, xác định điểm M
1
và M
2
trên đờng tròn
( trong đó x
1
và x
2
lần lợt là hình chiếu của M
1
và M
2
trên Ox).
c) Xác định góc quét

tơng ứng trên vòng tròn khi vật đi từ x
1
đến x
2
, suy ra

suy ra vị trí M
0
, với v=v
1
suy
ra chiều chuyển động. Với x=x
1
suy ra vị trí M
1
.
b) Vẽ đờng tròn lợng giác, xác định điểm M
0
, M
1
trên đờng tròn lợng giác.
c) Thời điểm cần tìm là :
1
.
2
n
t T t
= +
.
( trong đó ta quy ớc gọi
n
là số chẵn nhỏ hơn n và gần n nhất). Ví dụ :
8 7
=
;
7 6


khoảng thời gian t.
Phơng pháp :
a) Tại
0 0
t t M
=

và
0
v v
=
suy ra chiều chuyển động của M.
b) Lập tỷ số :
t
n
T

= ( lấy phần nguyên).
c) Phân tích thành
1
t nT t
= +

d) Vẽ đờng tròn lợng giác suy ra qung đờng vật đi đợc là
1 2
S S S

xác định vị trí của M
0

b) Xác định vị trí M
1
và góc mà vật quét đợc khi năng lợng tho mn điều
kiện cho trớc.
c) Vẽ vòng tròn lợng giác.
c) Từ đó suy ra thời gian cần tìm.
V. Các bài tập vận dụng
Vớ d loi 1: Vt dao ủng ủiu hũa vi phng trỡnh . Tớnh:
a) Thi gian vt ủi t VTCB ủn A/2
b) Thi gian vt ủi t biờn ủn A/2 ủn A/2 theo chiu dng.
c) Tớnh vn tc trung bỡnh ca vt trong cõu a

Bi gii
a) Khi vt ủi t v trớ cõn bng ủn A/2, tng ng vi vt chuyn ủng
trờn ủng trũn t A ủn B ủc mt gúc 30
0
(
6


=
)TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
6






= = =

c) Vn tc trung bỡnh ca vt:
6
2
12
tb
A
S A
v
T
t T
= = =

Ví dụ 2: Vật DĐĐH theo phơng trình:
( . )( )
2
x Acos t cm


=
. Tìm thời gian từ
lúc vật bắt đầu dao động đến khi vật qua vị trí có li độ
2
A
x

TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
7Vậy kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật đi qua VT
2
A
x
=
lần đầu mất một
khoảng thời gian là :
min
1
6
( )
6
t s



= = =

Ví dụ 2: Trong 1T dao động, thời gian ngắn nhất để 1 chất điểm dao động điều
hoà với chu kỳ T đi từ VT
x A
= +
đến
2
A
x

Vật quét đợc cung
2
2 6 3
AOM


= = + =

. Vậy thời gian càn tìm là:
min
2
3
( )
2
3
T
t s
T




= = =

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà theo PT:
10. ( . )( )
3
x cos t cm




= + =




= + = <


Khi vật đi đợc qung đờng 30(cm) thì nó
quét đợc 1 góc
4
6 6 3


= + + =
nh hình vẽ. Vậy thời gian cần tìm là:
min
4
4
3
( )
3
t s
T




= = =

nh hình vẽ. Hiệu 2 cung này là :
2
3 3 3


= + =
Ví dụ 5: 1 vật dao động điều hoà giữa hai điểm P và Q nh HV. T=1(S), O=gốc
toạ độ. Sau khi bắt đầu dao động đợc 2,5(s) vật có toạ độ
5 2( )
x cm
=
và đi
theo chiều âm của quỹ đạo với vận tốc
10 2( )
cm
v
s

=
lấy
2
10

=

1


2


N

A
+

A


P

Q

O

I

J

TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
9

Bài giải:
a) PT dao động của vật là :
. ( )

2
A cos
A
+ =


+ =


(Do thay
2 ( )
rad
s

=
vào )
Lấy :
(2)
(1)
vế theo vế ta có :
tan 1
4
10( )
A cm




1
3
( )
2 6
t s



= = =
Vậy vận tốc trung bình :
. 10
60( )
1
6
tb
S I J cm
v
t t s
= = = = Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình:
5
6. ( )( )
4
x cos t cm





= + =




= + = <


chất điểm ở VT M
0
xác định
bởi toạ độ
1
3 2
x =
Tại thời điểm vật có li độ x=3(cm) Vật quay đợc cung :
0
13
195
12
HK


= = =

nh
hình vẽ. Vậy thời gian cần tìm là :

ban đầu là lúc nào?
A.
1
( )
15
t s
=
B.
2
( )
15
t s
=
C.
17
( )
15
t s
=
D. Đáp số khác
Bài giải: Tại t=0 chất điểm ở vị trí M
0
tại VT x
0
=-2(cm) và đang chuyển động
theo chiều dơng xác định bởi phơng trình:
2
4.cos(0 ) 2( )
3
2 20 3.

6


6
+

O



H

K

p

L

3 2


3 2

A


A
+

O



= = =Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, khi vật cân bằng thì lò xo gin 3(cm).
Kích thích cho vật dao động tự do theo phơng thẳng đứng với biên độ A=6(cm).
Trong một chu kỳ dao động, thời gian lò xo bị nén là :
A.
2
3
T
B.
4
T
C.
6
T
D.
3
T

Bài giải: Trong một chu kỳ dao động thời gian lò xo nén bằng 2 lần thời gian vật
đi từ vị trí có li độ
1
3( )
x cm
=
đến
2

x cos t cm


=
. Gốc 0 trùng VTCB, trục toạ độ Ox trùng với
trục của lò xo, hớng lên. Khoảng thời gian vật đi từ thời điểm ban đầu lên độ
cao cực đại lần thứ nhất là :
. A.
1
( )
30
s
B.
11
( )
30
s
C.
1
( )
6
s
D.
7
( )
30
s

Bài giải: Tại t=o ta có :
6.cos(0 ) 3 3( )

O



M

N

3


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
12

1
3 3
x = đến
2
6( )
x cm
=
) thì vật quét đợc một góc :
6


=
nh hình vẽ. Vậy thời
gian cần tìm là :
2
3

1
( )
30
s
B.
3
( )
10
s
C.
4
( )
15
s
D.
7
( )
30
s

Bài giải: Ta có : độ biến dạng của lò xo tại VTCB :
2 2
2 2
. 0, 4 .10
. 0,04( ) 4( )
4 4.10
mg g T g
mg k l l m cm
k


Vậy PTDĐ của vật là :
. (5 )( )
2
x A cos t cm


=
.
Tại t=o vật đang ở vị trí M
0
xác định bởi toạ độ:
.cos(0 ) 0( )
2
5 .sin(0 ) 5 0
2
x A VTCB
v A A




= =




= = >


và

5
30
t s
T




= = =
Dạng bài tập dạng 1- loại 2:
Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình
5. (2 . )
6
x cos t


= +
(cm). Hỏi
vào thời điểm nào vật qua li độ x=2,5(cm) lần thứ hai (kể từ lúc t=0).
Bài giải : Xét chuyển động tròn đều tơng ứng với dao động điều hoà đ cho, ta
thấy lúc t=0 vật dao động có li độ x
0
ứng với vị trí M
0
của chuyển động tròn đều.
Lần thứ nhất vật có li độ
2,5


= =

Bài 2: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình
2. (2 . )
6
x cos t


= +
(cm). Hỏi
lần thứ 2007 vật m đi qua vị trí có li độ x=-1(cm) là vào thời điểm nào?
8


8
+

O


M

4


0

t


+
. Toạ độ góc của M
1
lần đầu tiên là :
2
3

. Lúc này vật qúet đợc
cung:
0 1 1 1
2 1
2 ( )
6 3 4
M OM t t s= = + = =
ở đây ta có công thức trắc nghiệm :
Thời gian để vật đi qua vị trí x
1
n lần là :
1
.
2

2006
n = và thay vào phơng trình suy ra
thời gian cần tính:
1
1 1
. 2006. 1003, 25( )
2 4 2
n
t t T s
= + = + =Dạng bài tập dạng 2:
Bài 1: Một con lắc lò xo vật m= 100(g) mắc với lò xo có k=160(N/m) dao động
điều hoà giữa các vị trí biên B và B' quanh VTCB O ( cho
' 16 2( )
BB cm
=
). Tính
qung đờng vật di chuyển đợc sau thời gian
( )
6, 4
t s

=
, nếu chọn gốc thời gian
t=0 lúc vật đi ngang qua VTCB theo chiều dơng.
HD: Tại t=0 vật đi qua VTCB theo chiều dơng nên :
.cos( ) 0 0
.sin( ) 0 sin 0

8 2. (40 )( )
2
x cos t cm

=
.
B

'
B

K

0
M

1
M

0

x



0
M
1
M
2


= = >


Nghĩa là lúc này vật đang ở VT
M
0
(VTCB) và đang chuyển động theo chiều dơng.
Còn tại
( )
6, 4
t s

=
vật ở vị trí M
1
nh hình vẽ.
áp dụng công thức
3,125
t
n n
T

= =( phần nghuyên n=3)
phân tích thành
1
.

6, 4
t s

=
là :
1 2
143,8( )
S S S cm
= + =

B

i 3: Mt lũ xo cú ủ cng K = 50 N/m ủt nm ngang, mt ủu c ủnh vo
tng, ủu cũn li gn vt khi lng m = 500g. Kộo vt ra khi v trớ cõn bng
mt khong x = cm v truyn cho vt mt vn tc v = 10 cm/s theo chiu
dng. Vit phng trỡnh dao ủng ca vt
.
Bi gii

Tn s gúc ca dao ủng ủiu hũa:
= = 10 rad/s
Biờn ủ dao ủng ca vt ủc tớnh bi cụng thc:

A
2
= x
2
+ v
2
/


Bài giải.

Dễ dàng nhận thấy, trong thời gian 1 chu kỳ T vật dao ñộng ñi ñược quãng
ñường 4A
Chu kỳ dao ñộng của vật: T = 1s (bạn ñọc tự tính)
Khoảng thời gian 3,75s = 3 chu kỳ T + 0,75s
+ Quãng ñường vật ñi ñược trong 3s = quãng ñường vật ñi trong 3
chu kỳ = 3 × 4A = 48
+ Quãng ñường vật ñi ñược trong 0,75s ñược xác ñịnh theo hình vẽ
dưới ñây:

S
0,75s
= AO + OB + BO + OC = AO + 4 + 4 + OC = 10 + 2
3
cm

trong ñó OA = 4. sin 30
0
= 2 cm và OC = 4 . sin 60
0
= 2
3
cm
Vậy tổng quãng ñường mà vật ñi ñược: S = 58 +
2
3
cm = 61,6 cm
Bµi5: Mét vËt dao ®éng ®iÒu hoµ theo ph−¬ng tr×nh

t n T t
= +
Với
1
( )
10
T s
=

Ta lập tỷ số :
31 1 1
. 5,16 5 ( )
60 1 6
*
0
t
n
T

= = = = +


Do n là phần nguyên nên lấy n=5
Suy ra :
1
5
6
T
t nT t T
= + = +

S OK OM cos cos cm

= = = =

Còn S
2
là qung đờng vật đi đợc
Trong 5 chu kỳ
2
5.4. 5.4.6 120( )
S A cm
= = =

Vậy tổng qung đờng cần tìm là :

S=S
1
+S
2
=3+120=123(cm) Dạng bài tập dạng 3:
Bài1 : Một vật dao động điều hoà với phơng trình
. (5 . )
x A cos t

= +
. Hỏi kể
từ thời điểm t=0, lần thứ 9 mà động năng bằng thế năng là vào thời điểm nào?

+

A


0



0
M

1
M

0

6
+

6




K

3 2

TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh


ng K = 50 N/m treo th

ng
ủ
ng,
ủ
u trờn c


ủ
nh vo t

ng,
ủ
u d

i g

n v

t m =0,5 kg khi
ủ
ú lũ xo gión ra m

t
ủ
o

n

ng t


trờn xu

ng. Vi

t ph

ng trỡnh dao
ủ
ng c

a v

t.
hd:

l = mg/K = 10 cm = A. ptd
ủ
: x = 10 cos(10t +

)

2) Lũ xo cú chi

u di ban
ủ
u l 30 cm,. Khi treo v


ng xu

ng. Vi

t ph

ng trỡnh dao
ủ
ng c

a v

t. L

y g =
10m/s
2
hd:

= = 10 rad/s, t

i VTCB v =

A

A = 4cm. ptd
ủ
: x = 4
cos(10t +


i

u ho d

c theo tr

c Ox v

i ph

ng trỡnh : x = 6sin(4

t +

/6 )cm. Quóng
ủ
ng v

t
ủ
i
ủ
c t

th

i
ủ
i



t(cm).
a) Hóy xỏc
ủ
nh quóng
ủ
ng di nh

t m v

t cú th


ủ
i
ủ
c trong kho

ng
th

i gian t = T/3 (trong
ủ
ú T l chu k

dao
ủ
ng c

a v


a v

t).

ủ
s: a) S = A
3
;
b) S = A

6) Cú hai dao
ủ
ng
ủ
i

u hũa cựng ph

ng, cựng t

n s

. T

i th

i
ủ
i


n
ủ
ng theo chi

u d

ng t

i v

trớ cú li
ủ
x = A
3
/2
. Hóy
xỏc
ủ
nh
ủ
l

ch pha c

a v

t 2 so v

i v

ủ
i

m M trờn qu


ủ
o
ủ
n v

trớ cõn
b

ng h

t 1/3 chu kỡ. Trong 5/12 chu kỡ ti

p theo v

t
ủ
i
ủ
c 15cm. V

t
ủ
i ti


ng
ủ
ng, dao
ủ
ng
ủ
i

u hũa v

i
chu kỡ 2s. Lỳc t=0, lũ xo cú l

c
ủ
n h

i c

c
ủ
i F
max
=9N.

v

trớ cõn b

ng lũ xo

c
ủ
n h

i c

c ti

u.

A. 0N, 0,75s B. -3N, 0,5s C. -3N, 1s D. 0N, 1s
Bi 9.
M

t v

t dao
ủ
ng
ủ
i

u hũa trong 5/6 chu kỡ
ủ
u tiờn
ủ
i t


ủ

1. Nguyễn cảnh Hoè, những bài tập hay và điển hiển Vật lý 12, nh xuất bản
ĐHQG Hà Nội.
2. Lê gia Thuận, 450 Bài tập trăc nghiệm Vật lý cơ học, nhà xuất bản ĐHQG Hà
Nội.
3. Phạm Thế Dân, 206 Bài toán dao động và sóng cơ học, nhà xuất bản ĐHQG
HCM.
4. Phan công Thành, Đề tài thạm luận sự tơng ứng giữa chuyển động tròn đều
và dao động điều hoà, trờng THPT Lý Tự Trọng Thăng Bình Quảng Nam.
5. Nguyễn Quang Lạc- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập VLPT- Dao động và sóng
cơ.
Mọi góp ý xin liên hệ : Email [email protected] hoặc 0904.727271