ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
1
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ………………………………………………………….Trang 2
I. Lí do ch
ọn đề tài nghiên cứu…………………………………Trang 2
II. M
ục đích nghiên cứu ……………………………………… Trang 2
III. Khách th
ể và đối tượng nghiên cứu… …………………… Trang 2
IV. Nhi
ệm vụ nghiên cứu… ………………………………… Trang 5
V. Phương pháp nghiên cứu…………………………………… Trang 5
VI. Ph
ạm vi nghiên cứu………………………….….………….Trang 5
N
ỘI DUNG NGHIÊN CỨU……………………………….……… Trang 6
I. Bài toán xu
ất phát………………….…………… ………… Trang 6
II. Sai l
ầm trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình
nhân………………………………….……………………….Trang 6
III. Sai l
ầm trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình
c
ộng……………………………………………………….………….Trang 15
K
ẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………….…Trang 18
Các ph
ụ lục……………………………………………… ………Trang 19- 22.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG

d
ựa trên “ Kỹ thuật chọn điểm rơi” để giải bài toán.
III/
KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
1/
Khách thể nghiên cứu:
+ Th
ực tế việc giải bất đẳng thức các em đã làm từ cấp 2, chủ yếu là dạng
có sẳn. Lên lớp10 các em được trang bị kiến thức về bất đẳng thức kĩ lưỡng hơn,
đa dạng hơn nhưng cách giải cũng chủ yếu là dùng phương pháp biến đổi, bất
đẳng thức Cô
-Si.
2/
Đối tượng cần nghiên cứu:
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
3
Là học sinh lớp 10A8và 10D4, lớp 12 trong quá trình học chương bất đẳng
thức và học sinh luyện thi vào đại học, cao đẳng.
Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Phan Bội Châu có những điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng.
* Học sinh:
Chọn lớp 10A8 là nhóm thực nghiệm và 10D4 là nhóm đối chứng và tiến
hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của 2 lớp
trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có
s
ự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh
l
ệch giữa điểm số trung bình của 2 lớp trước khi tác động.
Kết quả:
Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

4
Tiến hành dạy thực nghiệm:
Chọn 2 lớp để khảo sát với nội dung đánh giá điểm và kiểm chứng T-Test
để chọn đúng 2 lớp tương đương.
Thời gian tiến hành thực nghiệm: Tổ chức các tiết dạy học theo như kế
hoạ
ch
4/
Đo lường
Đ
ánh giá học sinh sau tác động thông qua bài kiểm tra sau đó dùng phép
ki
ểm chứng
t-test
phụ thuộc và tính mức độ ảnh hưởng đối với nhóm thực nghiệm.
PHÂN TÍCH D
Ữ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Đối chứng
Thực nghiệm
ĐTB 6,1 7,4
Độ lệch chuẩn 0,97 1,45
Giá trị P của T- test 0,0001
Chênh lệch giá trị TB chuẩn
(SMD)
1,34
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm c
hứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả
p=0,0001, cho thấy sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối

thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp
đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là
1,34
SMD

.
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là
0,0001 0,001
p
 
. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm
không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.
IV/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1/
Cơ sở lý luận và thực tiễn:
1.1.
Cơ sở lý luận: Sách giáo khoa lớp 10, các tài liệu ttham khảo.
2.1. Cơ sở thực tiễn: Học sinh lớp10 và 12 trường THPT Phan Bội
Châu trong
các năm học vừa qua.
2/ Nh
ững định hướng đổi mới:
- Cho
học sinh làm một số dạng toán liên quan đến đề tài này.
- Khuy
ến khích các em tìm tòi một số bài toán liên quan đến đề tài này.
3/
Đánh giá thực trạng: Học sinh nhiều em chưa biết ứng dụng “ Kỹ thuật

.
2
MinA a b
  
* Nhận xét: Từ bài toán này có thể thay đổi miền xác định để có các bài
toán sau:
II/ SAI L
ẦM TRONG ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG
TRUNG BÌNH NHÂN.
A) B
ất đẳng thức Cô si:
1 2
; ; ;
n
Cho a a a
là các số không âm.
Ta có
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a
   
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a
  

a

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P a
a
 
.
1. Bài toán xuất phát:
, 0.
Cho a b

Tìm giá trị nhỏ nhất của
a b
P
b a
 
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
7
a 3 4 5 6 7 8 9 10 ……. 100
1
a
1
3
1
4
1
5
1
6

1
9
9
1
10
10
……
1
100
100
Ta thấy khi a tăng thì P càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán là khi
3
a

thì P
nh
ận giá trị nhỏ nhất.
Để dễ hiểu v
à tạo sự ấn tượng ta sẽ nói rằng
10
3
MinP  đạt tại « Điểm
rơi
:
3
a

»
Do b
ất đẳng thức xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,

1
a
m a

. Khi đó ta có sơ đồ
điểm rơi sau đây:
Sơ đồ:
3
1 3
3 9
1 1
3
3
a
m m
a m
m
a




     





. Vậy
9

2
1
P a
a
 
.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
8
1.1. Sai lầm mà học sinh thường gặp:
2 2 2
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 9
2 .
8 8 8 8 8 8 4
8 8.2
a a a a a
P a
a a a
a
 
           
 
 
9
4
MinP
 
khi
2
a


1 1
4
4
a
m m
a m
m
a




     





. Vậy
8
m

là hệ số điểm rơi.
1.4. Lời giải đúng:
3
2 2 2
1 1 6 1 6 3 6.2 9
3 . .
8 8 8 8 8 8 4 8 4
a a a a a a

2
1
3MinP a a
a
   
mâu thuẫn với giả thiết
1
0
2
a
 
Bài 3: Cho
1
0
2
a
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
1
2P a
a
 
.
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
9
1.3. Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của
2
1
; 2 ;

2
7
1
3
2
5
1
2
2
3
1
2
1
a
100
81
64
49
36
25
16
9
4
P
1
100
5
2
81
9

2
8
1 4
2 2
a
a m
m
ma m




     





. Vậy
8
m

là hệ số điểm rơi.
1.3.2 Lời giải đúng 1:
3
2 2 2 2 2 2
1 1 7 1 7 3 7 3 7.4
2 3 . . 5
8 8 8 8 2 8 2 8
P a a a a a



     





. Vậy
8
m

là hệ số điểm rơi.
1.4.2 Lời giải đúng 2:
3
2 2 2
1 1 1 1
2 8 8 14 3 8 .8 . 14 12 14 12 14. 5
2
P a a a a a a a a
a a a
 
            
 
 
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
10
Vậy
5
MinP

1
t
ab
 thì
1
P t
t
 
là biểu thức chứa một biến số. do đó khi đổi
biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là:
Đặt
1 1
t ab
ab t
  
và
2 2
1 1 1
4
1
2 2
t
ab
a b
   

   
   
   
* khi đó bài toán trở thành

1 1 15 1 15 2 15 2 15.4 17
2. .
16 16 16 16 4 16 4 16 4
 
           
 
 
t t t t t
P t
t t t
Bài 4: Cho
; 0
a b

và
1
a b
 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P ab
ab
  .
4
t

16

m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG

 
 
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b
Với
1 17
ì Min P =
2 4
 a b th
Bài 5. Cho
, 0
a b

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

a b ab
P
a b
ab
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
2. . 2 2
 
     
 
a b ab a b ab
P MinP



 



a b a
ma m
m ab
m
ab a
a b a
:Hệ số điểm rơi.
1.4. Lời giải đúng:
3( )
4 4
 
  
    
 
 
 
a b ab a b ab a b
P
a b a b
ab ab ab
3( ) 3 5
2 . 1 .
2 2
4 4

1 1 1
.
     
P a b c
a b c
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
6
1 1 1 1 1 1
6 . . . 6 inP=6
        P a b c abc M
a b c a b c
1.2. Nguyên nhân sai nhầm:
MinP = 6
1 1 1 3
1 3
2
           
a b c a b c
a b c
trái với giả thiết.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán MinP đạt tại
1
2
  
a b c
1.4. Sơ đồ điểm rơi 1:

1

6 . . . 3. . . 3
4 4 4 4 4
 
    
 
 
P abc
a b c a b c
abc

9 1 27 1 15
3 3 .
3
4 4 2
3 2
    
 a b c
Với
1 15
ì MinP =
2 2
  a b c th .
1.4.2. Sơ đồ diểm rơi 2:
4

m
1
2
  
a b c

 
              
 
 
       
P a b c a b c a b c
a b c a b c
P a b c a b c
a b c
Với
1 15
ì Min P=
2 2
  a b c th .
Bài 7. Cho
, , 0
3
2




  


a b c
a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2 2
1 1 1

9 1 1 1 1
2 2 2
4 4
       MinP a b c
a b c
3 3
1 3 3
2
2 2
        
a b c a b c (trái với giả thiết)
1.4. Phân tích và tìm lời giải:
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại
1
2
  
a b c
1.4.1. Sơ đồ điểm rơi:
1
2
  
a b c
4

m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
14

2 2 2
1

a b c
a b c
a b c a b c a b c
2 2 2
9 3
3
1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 9 9 1
9 . . . . . . 3 . . .
8 8 8 8 8 8 4 4 4
9 9 1 9 9 27
. .2
4 4 4 4 4
3
 
   
 
 
    
 
P a b c
a b c a b c a b c
abc
a b c
Với
1
2
  
a b c thì MinP =
27
4

       
a b c a b c
abc
mâu thuẫn với giả thiết.
1.3. Phân tích và tìm tòi lời giải:
Dự đoán điểm rơi của MinP là
1
3
  a b c , khi đó
1
3 3

abc
1.4. Sơ đồ điểm rơi:
1
2
  
a b c
8

m
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
15
1
3 3 3 1
3
1 3 3

  


BÌNH C
ỘNG:
Bài 1. Cho
, , 0
1



  

a b c
a b c
. Tìm GTLN của
3 3 3
.
     
P a b b c c a
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp:
3
3
3
3
3
3
( ) 1 1
( ).1.1
3
( ) 1 1
( ).1.1

ax S=
3 3 3
  
         
a b c
P a b b c c a M
1.2. Nguyên nhân sai lầm:
Max
 
1
8
1 2 3 2 3
3
1
 


           


 

a b
P b c a b c
c a
Vô lý.
1.3. Dự đoán điểm rơi của Max P: Do P là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên
MaxP
thường xảy ra với điều kiện:
1

a b
a b c
a b c b c
a b c
c a
1.4. Trình bày lời giải đúng:
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
2 2
( )
9 2 2 9
3 3
. ( ). . .
4 3 3 4 3
2 2
( )
9 2 2 9
3 3
. ( ). . .
4 3 3 4 3
2 2
( )
9 2 2 9

3 3 3 3
3 3
2 4
9 9 6
. . 18
4 3 4 3
  
         
a b c
P a b b c c a
Với
3
2 1
ên MaxP= 18
3 3
         a b b c c a a b c n .
Bài 2. Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn
1
a b c d
   
. Tìm giá trị lớn nhất của:
3 3 3 3
2 2 2 2
       
P a b b c c d d a
1. Nhận xét và lời giải:
1.1. Sai lầm thường gặp: Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3
3
3

   


  

   

a b
a b a b
b c
b c b c
c d
c d c d
d a
d a d a
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
17
3 3 3 3
3( ) 8 11 11
2 2 2 2 ax P=
3 3 3
   
          
a b c d
a b b c c d d a M
1.2. Ngyên nhân sai lầm:
Max
2 1
2 1
11


    

   

a b c d
a b c d
a b c d
3
2 2 2 2
4
        
a b b c c d d a
Trình bày lời giải đúng:
3
3
3
3
3 3
(2 )
3 3
4 4
(2 ). .
4 4 3
3 3
(2 )
3 3
4 4
(2 ). .
4 4 3




  

 


a b
a b
b c
b c
c d
c d
d a
d a
3 3 3 3
3
9 3( ) 6
. 2 2 2 2 3
16 3
   
 
         
 
a b c d
a b b c c d d a
3 3
3
9

Trong quá trình hoàn thành đề tài chúng tôi rất biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt
tình giúp đỡ, chúng tôi luôn mong muốn nhận được ý kiến đóng góp để sáng
kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích lớn cho các em học sinh. Trân trọng cám ơn!
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
19
Phụ lục 1. KIỂM TRA TÌM HIỂU THỰC TRẠNG.
Đề b
ài. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P x
x
 
. Biết
a)
0
x

b)
3
x

* Biểu điểm và đáp án:
) 0
a do x

áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có
1 1
2 . 2
P x x
x x

2 8
3 9
x
  1đ

2 8.3 10
3 9 3
   1đ
10
3
MinP
 
tại
3
x

………… ……… …………………. 1đ
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. GV: PHẠM THANH TƯỜNG
20
Phụ lục 2. KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG.
Bài toán Cho x, y, z là 3 số dương thỏa điều kiện
1
x y z
  
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
2( )
P x y z
x y z

z
z
  ………………2đ
mà
17( ) 17, (4)
x y z
    
………………………………………………… 1đ
Cộng (1), (2), (3), (4) ta có
19
P

.
Giá tr
ị nhỏ nhất của P bằng 19 khi
1
3
x y z
  
…………………………….1đ
TI SNG KIN KINH NGHIM. GV: PHM THANH TNG
21
Ph lc 3. Bng im
LP THC NGHIM
Stt Hoù vaứ teõn KT trc taực ng KT sau taực ng
1
Trng Tụ Võn Anh
4 7
2
Nguyn Hong Bo Chõu 6 6

13
Lờ Hoi Bo Khiờm
7 6
14
Nguyn Ngc ng Khoa
7 6
15
Nguyn Th Thanh Kiu
4 6
16
ng Khỏnh Linh
5 6
17
Trn Thi M Linh
6 10
18
H Th Kim Luyn
2 5
19
Nguyn Hng Hi Mi
4 7
20
Lờ Hoi Dim My
2 5
21
Nguyn Trn Ninh 8 8
22
Dng Vn Phong
6 7
23

Hong N Giỏng Tiờn
3 5
34
Hong Th oan Trang
4 10
35
Lng V H Trang
7 9
36
Lờ Th Tuyt Trm
4 6
37
Nguyn Ngc T Trinh
6 7
38
Trn Th c Trinh
6 6
39
Phm Kim Tuyn
6 8
40
Nghiờm Anh V 7 8
41
Nguyn Th Xuõn Xanh
5 8
42
Trn Th Yờn
6 8
TI SNG KIN KINH NGHIM. GV: PHM THANH TNG
22

Nguyn Qu Lõm
6 5
11
Nguyn Hoi Phng Linh
6 7
12
Trn Khc Linh
6 8
13
Nguyn Th Thanh Nga
4 6
14
Hunh Kim Ngõn 4 5
15
Vừ Hu Ngha
6 7
16
Nguyn Th Thỏi Ngc
5 5
17
Cao Xuõn Nguyờn
7 6
18
Trn Th Trỳc Nhó
6 7
19
ng Hunh Huy Nht
5 6
20
Cao V Qunh Nhi

5 5
31
Nguyn Th Thanh Trỳc
7 8
32
Lờ Dip Bớch Tuyn
4 6
33
Nguyn Hong Vit 4 7
34
Nguyn Huy Vit
6 5
35
Lờ Tng Vy
5 6
36
Lờ Nguyờn Hong V
6 5
37
Cao Nht Tng Yờn
5 5
38
Nguyn Phi Yn
5 7