Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
Các kiến thức Tốn cơ bản
LỚP 10
♦ HÌNH H ỌC PHẲNG
TỌA ĐỘ PHẲNG:
I. Đònh lý: Cho
A A B B
A(x , y ), B(x , y )
,
1 2
a (a ,a )=
r

1.
B A B A
AB (x x ,y y )= − −
uuur
; (ngọn – gốc).
2.
2 2
B A B A
AB AB (x x ) (y y )= = − + −
uuur
.
3.
2 2
1 2
a a a= +
r
II. Tính chất Vectơ: Cho
1 2

1 1 2 2
a.b a b a b= +
r r
9.
1 2 2 1
a k.b
acùng phương b
a b a b 0

=
⇔

− =

r r
r ur
10.
1 1 2 2
a b a.b 0 a b a b 0⊥ ⇔ = ↔ + =
r r r r
11.
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a b a b
a.b
cos(a;b)
a b
a a b b
+

4. M trung điểm AB:
A B A B
x x y y
M( ; )
2 2
+ +
5. M chia AB theo tỉ số k≠1:
A B A B
x kx y ky
M( ; )
1 k 1 k
− −
− −
6. Trọng tâm
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
G :
y y y
y
3
+ +

=



9. Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Giải hệ:
2 2
2 2
IA IB
IA IC

=

=

ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình đường thẳng:
1. Phương trình tổng quát ∆:



r
0 0
qua M(x ;y )
pvt : n = (A;B)
⇔ ∆:
0 0
A(x-x )+B(y-y ) = 0
⇔ ∆:
Ax+By +C = 0
2. Phương trình tham số ∆:
2



=
a a
II. Vi trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho
1 1 1 1
(D ): A x+B y+ C = 0
và

2 2 2 2
(D ): A x + B y +C = 0
1.
)∩ ⇔ ≠
1 1
1 2
2 2
A B
(D ) (D
A B
2.
1 1 1
1 2
2 2 2
(Δ )// (Δ )
A B C
A B C
⇔ = ≠
3.
1 1 1
1 2
2 2 2

⇒ ∆ =
+
Chú ý :
° Trục Ox có pttq :
0y =
° Trục Oy có pttq :
0x
=
° Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy :

0ax c+ =
( )
0b =
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010
Trang 1
A
C
F
B
E
Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
° Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox :

0by c+ =
( )
0a =
° Đường thẳng đi qua gốc tọa độ :
0ax by+ =
( )
0c =

: 0ax by c∆ + + =
có pttq là :

( ) ( )
0 0
0a x x b y y− + − =
° Đường thẳng d qua điểm
( )
0 0
;M x y
và vuông góc
với đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
có pttq là :

( ) ( )
0 0
0b x x a y y− − − =
° Cho
(Δ) : 0Ax By C+ + =
1.
( ) //(Δ) ( ) : 0⇒ + + =d d Ax By m
2.
( ) (Δ) ( ) : 0
⊥ ⇒ − + =
d d Bx Ay m
ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn:
1. P.trình chính tắc đ.tròn (C):


( ; )
: ( ; )= − −



uur
qua M x y
pvt IM x a y b

⇔ ∆:
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0
− − + − − =
x a x x y b y y
2. Điều kiện tiếp xúc:
( , )d I R∆ =
ELÍP
I. Đònh nghóa: Cho
1 2 1 2
F ,F cố đònh và FF = 2c (c > 0)

1 2
( ) 2 ( 0)M E MF MF a a c∈ ⇔ + = > >
II. Phương trình chính tắc:
2 2
( ) : 1 ( 0)
2 2
x y
E a b
a b

e
a
= <
.
8.Bán kính qua tiêu điểm :
1
2
= +
= −



M
M
MF a ex
MF a ex
9.Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở:
{
x a
y b
= ±
= ±
.
10.Phương trình đường chuẩn
2
a
x
c
= ±
V. . Phương trình tiếp tuyến của Elíp:

1.
( )// (Δ) : 0 ( ) : 0d Ax By C d Ax By m+ + = ⇒ + + =
2.
( ) (Δ) : 0 ( ) : 0d Ax By C d Bx Ay m⊥ + + = ⇒ − + =
♦ ĐẠI SỐ
•
∀
x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + <
⇔

0
0
a <


∆ <

•
∀
x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + ≤

x
∈
¡
,
2
0ax bx c+ + ≥
⇔

0
0
a >


∆ ≤

GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010
Trang 2
O
y
x
1
A
1
B
2
B
2
A
1
F

0,f x x⇔ < ∀ ∈¡
•

( )
0f x <
vô nghiệm
( )
0,f x x⇔ ≥ ∀ ∈¡
•

( )
0f x ≤
vô nghiệm
( )
0,f x x⇔ > ∀ ∈¡
Cho phương trình : ax
2
+ bx + c = 0
° Pt có 2 nghiệm phân biệt
0
0
a ≠

⇔

∆ >

° Pt có nghiệm kép
0
0

⇔ <
° Pt có 2 nghiệm cùng dấu
0
0P
∆ ≥

⇔

>

° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương
0
0
0
P
S
∆ >


⇔ >


>

° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
0
0
0
P
S

A B
≥


=




= −


•

A B<

⇔
(A – B) (A + B) < 0
•

A B<
⇔

0A
A B
≥


<


<
•

A
< B
⇔
A B
A B
<


> −


•

A B>
⇔
(A – B) (A + B) > 0
•

A B>
⇔
>


< −

•

A
> B
⇔
2
0
0
0
 <



≥



≥



>



B
A
B
A B
LỚP 11

1
1 cot k ,k Z
sin
B. Giá Trò Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
1. Cung – Góc đối nhau:
và −α α
:

( )
cos cos−α = α
; 
( )
−α = − αsin sin

( )
−α = − αtan tan
; 
( )
−α = − αcot cot
2. Cung – Góc bù nhau:
và π − α α

( )
sin sinπ− α = α
; 
( )
cos cosπ −α = − α

( )
π − α = − αtan tan

tan = cot
2
; 
π
 
− α α
 ÷
 
cot = tan
2
4. Cung – Góc hơn kém
:π

và π +α α

( )
sin sinα + π = − α
; 
( )
α + π = αtan tan


( )
cos cosα+ π = − α
;
( )
α + π = αcot cot

5. Cung – Góc hơn kém
2

2
; 
π
 
+ α = − α
 ÷
 
cot tan
2
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang 3
Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang 4
C. Công thức lượng giác
1. CÔNG THỨC CỘNG :
Với mọi cung có số đo a, b ta có:
 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
 tan(a – b) =
tan tan
1 tan .tan
−
+
a b
a b

 tan(a + b) =
tan tan
1 tan .tan

2
2tan
1 tan−
a
a

2
a 1
ot2a
2 a
cot
c
cot
-
=
3. Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina – 4sin
3
a
 cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
 tan3a =
−
−
3
2
3tana tan a
1 3tan a


1 cos2a

 sina.cosa
1
sin2a
2
=

3
sin3a 3sina
sin a
4
− +
=

3
cos3a 3cosa
cos a
4
+
=
5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t =tan
2
x
:
( Gsử: x
≠
2 ,k
π π
+

π
π
6. Công thức biến đổi tổng thành tích

a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   

a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
+ −
   
− = −
 ÷  ÷
   

a b a b
sina sin b 2sin cos
2 2
+ −
   
+ =
 ÷  ÷
   



sin( )
cot cot ( , , )
sin .sin
− +
− = ≠ ∈
a b
a b a b k k Z
a b
π

2 2
sin cos .sin( )+ = + +A x B x A B x
α
2 2
. s( )= + −A B co x
α
Với
2 2 2 2
s ; sin
= =
+ +
A B
co
A B A B
α α
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]

4 4
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
π π
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
π π
   
− = − − = +
 ÷  ÷
   
9. Phương trình lượng giác cơ bản :
sin x sin= α

x k2
,k
x k2
= α + π

⇔ ∈

= π − α + π

¢
cosx cos= α

2

= = +
sin x 1 x k2
2

= = +

sin x 0 x k= =
cosx 1 x k2= =
cosx 1 x k2= = +
cosx 0 x k
2

= = +
tan x 1 x k
4

= = +
tan x 0 sin x 0 x k= = =
cot x 1 x k
4

= = +

cot x 0 cosx 0 x k
2

= = = +
.

2
1 1
x x

=
ữ


'
2
1 u'
u u

=
ữ

.
5.
(sinx)' cosx=

(sin u)' u'.cosu=
.
6.
(cosx)' sinx=

(cosu)' u'.sinu=
.
7.
=
2

(e )' u'.e=
.
10.
1
(lnx)'
x
=

u'
(lnu)'
u
=
11. (log
a
x) =
1
x lna
(log
a
u) =
u'
u lna
12.
x x
(a )' a .lna=

=
u u
(a )' u'.a .lna
HèNH HC

= = = =
h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =
sin cos
b b
B C
=
, b = c. tanB = c.cot C
2.H thc lng trong tam giỏc thng:
* nh lý hm s Cụsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
* nh lý hm s Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
3. Cỏc cụng thc tớnh din tớch.
a/ Cụng thc tớnh din tớch tam giỏc:

1
2
S =
a.h
a

a
S
=
b/ Din tớch hỡnh vuụng : S = cnh x cnh
c/ Din tớch hỡnh ch nht : S = di x rng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa :
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
⇔ ∩ = ∅
a / / (P) a (P)
a

⊂ ⇒


∩ =

d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng
song song với đường thẳng đó.
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a
(Q) / /a

∩ =

⇒



a
d
Q
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song

(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)

⇒

⊂

a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) song song thì mọi mặt phẳng
(R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và
các giao tuyến của chúng song
song.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =

b
a
R
Q

d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho
đường thẳng a không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng b nằm trong
(P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để
b vuông góc với a là b vuông góc
với hình chiếu a’ của a trên (P).
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa :
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một
đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)

a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và A là một
điểm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ
nằm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)

⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng

P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
B
h
a
b
c
a
a
a
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:

góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong
2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến
tại 1 điểm
b
a
Q
P

P
Q
a
b
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích
của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện
tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
S' Scos= ϕ
trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (P),
(P’).
ϕ
C
B
A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h

3. T S TH TCH T DIN:
Cho khi t din SABC v A, B, C
l cỏc im tựy ý ln lt thuc SA,
SB, SC ta cú:

SABC
SA' B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
=
C'
B'
A'
C
B
A
S
4. TH TCH KHI CHểP CT:

( )
h
V B B' BB'
3
= + +

vi
B, B': dieọn tớch hai ủaựy
h : chieu cao


S phn t ca tp hp A = { a, b, c, d} l n(A) =
A
= 4
B = { a, c, g, h, k} l n(B) =
B
= 5

BA
= {a, c} l
2== BA)BA(n

BA
= { a, b, c, d, g, h, k } l
7== BA)BA(n
A\ B = { b, d } l n(A\B)= |A\B|
2. Quy t c c ng:
Quy tc cng cho cụng vic vi nhiu phng ỏn:
Gi s mt cụng vic cú th tin hnh theo mt trong k phng ỏn, mi phng ỏn cú th c thc hin
bi n
i
cỏch (i = 1,, k ). Khi ú cụng vic cú th thc hin bi n
1
+ n
2
+ + n
k
cỏch
Chỳ ý: Nu A v B l hai tp hp hu hn khụng giao nhau thỡ s phn t ca
BA
l

n
n p−
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
5.Hoán vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị
của n phần tử đó. Kí hiệu P
n
.Ta có công thức tính như sau: P
n
= n.(n- 1). . . .2.1= n! (n
∈
N
*
).
Chú ý : Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị
vòng quanh của n phần tử.
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Q
n
= (n – 1)!
6.Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, một tập con của A gồm k
(1 )k n≤ ≤
phần tử khác nhau và
được sắp xếp theo một thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử,
kí hiệu
k
n
A
, được tính theo công thức:
( 1).( 2) ( 1)
k

!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
(4)
Ta có các tính chất sau:

k n k
n n
C C
−
=

1
1 1
(0 )
k k k
n n n
C C C k n
−
− −
= + < <

0
1

+ Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n .
+ Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n
+ Các hệ số có tính đối xứng
k n k
n n
C C
−
=
( Hệ số các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau)
+ Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu là T
k + 1
, có dạng
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
, k = 0, …, n
(chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của số hạng tương ứng trong sự khai triển).
+ Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)
n
là :
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
♦ CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

UU
n
S +=
1
2
hay
( )
[ ]
dnU
n
S
n
12
2
1
−+=
♦ CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa : Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
* Số q được gọi là công bội
Ta có :
qUU
nn
.
1
=
+
với
*
Nn∈


121
−
−
=+++=
q
q
UUUUS
n
nn
LỚP 12
CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a ; b).
• Nếu f’(x) > 0 , ∀x∈(a ; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a ; b) .
• Nếu f’(x) < 0 , ∀x∈(a ; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a ; b) .
(Nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a ; b) thì định lý vẫn còn đúng).
§2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
- δ ; x
0
) ;f’(x) < 0 trên khoảng (x
0

x x
0
- δ x
0
x
0
- δ
y’ - +
y
Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x
0
và f’(x
0
) = 0, f''(x
o
) ≠ 0 thì x
o
là một
điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x
0
) > 0 thì x
0
là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x
0
) < 0 thì x
0
là điểm cực đại.
Nói cách khác: 1) f’(x

⇔

∃ ∈ =

Ký hiệu : M =
)x(fMax
D
Số m là GTNN của hàm số f trên D
0 0
f(x) m x D
x D :f(x ) m
≥ ∀ ∈

⇔

∃ ∈ =

Ký hiệu : m =
)x(fMin
D
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a ; b)
+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a ; b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
GTLN(GTNN) của hàm số trên (a ; b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a ; b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2
, , x

x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y = y
0
là tiệm cân ngang của đồ thị(C).
3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) : y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =
hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =
hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y = ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]

- Chiều biến thiên, cực trị
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặc biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c

x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị
y
I
x
y

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x dx
=
∫
( )
(I)
• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), (C’) : y = g(x) / [a;b]
→ Ta sử dụng công thức
b
a
S f x g x dx
= −
∫
( ) ( )
(II)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
b
a
V f x dx
π
=
∫
( )

giao điểm f(x) = g(x) (1)
Dạng 4: Cực trị của hàm số
 Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
 Hàm số bậc 3 : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
 Hàm số bậc 4 dạng : y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
 Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y
→ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
 Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+
→ không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.
 Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a ; b) và x
0
∈ (a ; b)

* Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
* Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x
0
) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Dạng 5 : Viết PTTT của đồ thị hàm số
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−

f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tốn3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x
A
;y
A
)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k có dạng : y – y
A
= k(x – x
A
) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.

a
a
5)
vuuv
aaa
loglog)(log +=
; 6)
vu
v
u
aaa
loglog)(log
−=
; 7)
bb
aa
loglog
α
α
=
Cho
a
> 0 , b > 0 ,
R
∈
βα
,
, m
∈
Z , n





a
b
b
a
; 4)
nk
n
k
aa
=
5)
( )
m
n
n
m
aa
=
; 6)
βαβα
+
= aaa .
7)
βαβα
−
=

12)
nnn
baab .
=
; 13)
nnn
baba ::
=
14)
a
> 1 thì
βα
aa >
⇔
βα
>
; 15) 0 <
a
< 1 thì
βα
aa
>
⇔
βα
<
16)
α
> 0 và
a
> b > 0 thì

bb
a
a
loglog
α
β
β
α
=
11)
bbahay
a
b
b
cac
c
c
a
loglog.log
log
log
log
==
; 12)
ac
bb
ca
loglog
=


>
; 17) 0 <
a
< 1 thì
vu
aa
loglog
>
⇔
vu
<
Vấn đề III : Hàm số Mũ và hàm số Lôgarit
Kiến thức cần nhớ
1) Cho
a
> 0 ,
a
≠
1 , x
∈
R . Hàm số mũ y = a
x
* Tập xác đònh R
* Tập giá trò
( )
∞+
,0
( tức là a
x
> 0 với mọi x )

1 , x
∈
R
+
. Hàm số lôgarit
y =
x
a
log
có :
* Tập xác đònh
( )
∞+
,0
* Tập giá trò R
* Khi a > 1 hàm số lôgarit luôn luôn đồng biến

∞+=∞−=
∞+→
→
+
xx
a
x
a
x
loglim;loglim
0
* Khi 0 < a < 1 hàm số lôgarit luôn luôn nghòch
biến

5 )
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
* Đạo hàm

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
au
u
u
au
u
u
ax
x

/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
==
==
==
==

Vấn đề IV : Phương trình Mũ và Lôgarit
Kiến thức cần nhớ
A) PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Phương trình mũ cơ bản a
x
= b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , phương trình vô nghiệm
Nếu b > 0 , phương trình có 1 nghiệm x =

Vấn đề V : Bất Phương trình Mũ , bất phương trình Lôgarit –Hệ phương
trình , hệ bất phương trình Mũ và Logarit
Kiến thức cần nhớ
A) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1) Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng 1 : a
x
> b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , bất phương trình có nghiệm x tùy ý
Nếu b > 0 và a > 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x >
b
a
log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x <
b
a
log
Dạng 2 : a
x

≥
b , (
10
≠<

log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x >
b
a
log
Dạng 4 : a
x

≤
b , (
10
≠<
a
)
Nếu b
≤
0 , bất phương trình vô nghiệm
Nếu b > 0 và a > 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
≤
b
a
log
Nếu b > 0 và 0 < a < 1 , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
≥

b
a
log
B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1) Bất phương trình lôgarit cơ bản

Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình có nghiệm 0 < x
≤

b
a
Dạng 3 :
x
a
log
< b , (
10
≠<
a
)
Nếu a > 1 thì bất ph/tr có nghiệm 0 < x <
b
a
Nếu 0 < a < 1 thì bất ph/tr có nghiệm x >
b
a
Dạng 4 :
x
a
log

≤
b , (
10
≠<
a

F x
là nguyên hàm của
( )
f x
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C
+
(
C
là hằng số) cũng là
nguyên hàm của
( )
f x
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C
+
mới là nguyên hàm của
( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C
+
là
họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là

= +
∫
.
3) Baûng nguyeân haøm:
0dx C=
∫
0du C=
∫
dx x C= +
∫
du u C= +
∫
1
x
x dx C ( 1)
1
α+
α
= + α ≠−
α+
∫
1
u
u du C ( 1)
1
α+
α
= + α ≠−
α+
∫

u
= +
∫

kx b kx b
1
e dx e C
k
+ +
+ = +
∫
u u
e du e C= +
∫
kx b
kx b
a
a dx C
k.ln a
+
+
= +
∫
(0< a≠1)
u
u
a
a du C
ln a
= +

∫
2
1 cot(kx b)
dx C
sin (kx b) k
+
= − +
+
∫
2
1
du cot u C
sin u
= − +
∫
Ghi nhớ:
- Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những
hàm số thành phần.
- Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm
của những hàm số thành phần.
- Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những
hàm số tìm được nguyên hàm.
§2. TÍCH PHÂN
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a

f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
e. TC5: Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b
≥ ∀ ∈
thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. TC6: Nếu
( ) ( )
[ ]
, ;f x g x x a b
≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
≥
∫ ∫
g. TC7: Nếu
( )
[ ]

∫ ∫
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường hợp
thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x
=

→ hoặc
sint p x q

= +

( )

,p q R

hoc
cos
n
t p x q
= +
nu nh biu thc
cosp x q
+
nm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x



.
t
lnt x
=


.
t
=
tant x

hoc
= +
tant p x q

( )

,p q R

hoc
= +
tan
n
t p x q
nu nh biu thc
+
tanp x q
nm trong du
n
.
e). TH5:
( )
2
1

.


( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=

(1)
2). Cỏc bc thc hin:
Bc 1:
( ) ( ) ( )
ẹaởt
( ) ( ) (nguyeõn haứm)
u u x du u x dx ẹaùo haứm
dv v x dx v v x

= =


p x
l hm s a thc, cũn
( )
q x
l hm
sin ( )x

hoc
cos ( )x

.
Trong trng hp ny ta t:
( )
( )
u p x
dv q x dx
=

=

 Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được
b
a
vdu
∫
phức tạp hơn
b
a
udv
∫

Tích phân hàm hữu tỉ :
- Nếu mẫu là bậc nhất thì lấy tử chia mẫu
- Nếu mẫu là bậc hai có nghiệm kép thì đưa về hằng đẳng thức
- Nếu mẫu là bậc hai có hai nghiệm thì đồng nhất thức
- Nếu mẫu là bậc hai vô nghiệm thì đổi biến số.
Tích phân hàm lương giác :
- Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn thì hạ bậc
2 2
1 cos2x 1 cos2x
sin x ;cos x
2 2
− +
 
= =
 ÷
 
- Nếu sinx,cosx có số mũ lẻ thì tách ra rồi đặt t
- Nếu có tan
2
x hoặc cot
2
x thì thêm bớt 1
- Nếu có tanx,cotx có thể đưa về sinx,cosx rồi đặt t
- Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb thì dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
-
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
: ; : ; ;C y f x C y g x x a x b

• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng
hình vẽ để khử dấu
GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.

c b c b
a c a c
S f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx = [f(x)-g(x)]dx [f(x)-g(x)]dx
= − + − +
∫ ∫ ∫ ∫
3). Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh
trục Ox:

( ) ( )
: ; ; ;C y f x Ox x a x b= = =
(trong đó hai đường thẳng
;x a x b= =
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a). Cơng thức:
( )
2
b
a
V f x dx
π
=  
 
∫
(3)
b). Các bước thực hiện:
• Bước 1: Nếu hai đường
,x a x b= =
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
( )
0f x =

1
2
y f(x)(C )
y g(x)(C )
x a
x b(a b)

=

=


=


= <

xoay quanh Ox → Thể tích cần tìm là :
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx
 
= π −
 
∫

x g(y)
x 0
y a

là môđun của số phức z , tức là
2 2
z OM a b
= = +
uuuur
* Số phức liên hợp của z = a + ib là
z
= a – ib
* Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z = a + ib ( với a
2
+ b
2

≠
0 ).
Thì z =
22
ba
+
.








+
+

2222/
.
ba
bcad
i
ba
bdac
z
z
+
−
+
+
+
=
* Chú ý : để tính
idc
iba
+
+
ta có thể nhân tử và mẫu với số phức liên hiệp của a + ib
Vấn đề III : Phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức
Kiến thức cần nhớ
* Các căn bậc hai của số thực
a
< 0 là
ai±
* Xét phương trình bậc hai :
0
2

2
∆±−
CHÚ Ý : Xét phương trình bậc hai : Az
2
+ Bz + C = 0 , với A,B,C ∈
£
Đặt
∆
= B
2
– 4AC và gọi
∂
là một căn bậc hai của
∆
. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x
1,2
=
B
2A
− ± ∂
CHUN ĐỀ 5 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
§1.
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa độ của véctơ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oyz
1).
1 2 3 1 2 3
a (a ;a ;a ) a a i a j a k
= ⇔ = + +

a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r
•
1 1 2 2 3 3
a b (a b ;a b ;a b )
± = ± ± ±
r r