CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản 2 biến :
 S = a + b , P = ab . Ta có bđthức liên hệ giữa 2 biểu thức là : (a + b)
2
≥ 4 ab hay S
2
≥ 4P ;
dấu "=" xảy ra ⇔ a = b .
 Mọi đa thức đối xứng 2 biến đều có thể biểu thị qua các đa thức đối xứng cơ bản S , P . Ta có
: a
2
+ b
2
= S
2
- 2 P ; a
3
+ b
3
= S
3
- 3SP
2/ Áp dụng chứng minh bất đẳng thức :
Ví dụ 1: Chứng minh với a ≥ 0 , b ≥ 0 ta có :
a
3
+ b
3
+ 2 ≥ 2ab + a + b (♦)
Ta đặt S = a + b ; P = ab . Ta có S ≥ 0 , P ≥ 0 và S
2

+ b
3
=2 , chứng minh :
a
2
+ b
2
≥
3
4
(• )
Ta có a ≥ 0 , b ≥ 0 va a
3
+ b
3
= 2 ⇒ S = a + b > 0 , P = ab ≥ 0 và S
3
- 3SP =2 ( )
Vt (• ) = a
2
+ b
2
= S
2
- 2P và ( ) ⇒ P =
S3
2S
3
−


S
2
.
S
2
S 3.
3
1
S
2
S
2
S
3
1
=≥






++=
( bđt Cô si )
Vậy (• ) được cminh . .
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b và S
2
= 2/S ⇒ a = b =
2
2

2
- 30S = 0 ⇒ S = 0 hay S = 10
S
0 10 +∞
f'(S) - 0 +
⇒ min f (S) = f (10 ) = - 500 ⇒ min A = - 500/4 = - 125 khi x = y = 5
@ Bạn tìm hiểu thêm : Các đa thức đối xứng cơ bản 3 biến và vận dụng cminh bđthức .