Chuyên đề: “Ứng dụng của đại lượng bất biến - Đa thức đối xứng”
LỜI NÓI ĐẦU
gười xưa làm ra binh pháp để áp dụng và giải quyết những cuộc chiến tranh, điển
hình nhất là bộ Binh pháp của Tôn Tử và bộ binh pháp của Tôn Tẫn. Trong từng thời
kỳ mà hai soạn giả trên đã trải nghiệm qua và áp dụng vào thực tiễn. Như ta đã biết Binh
pháp chỉ cần có 36 mưu kế mà hoá giải được hầu hết các tình thế của cuộc chiến tranh đặt
ra. Đặc biệt người nắm được Binh pháp và áp dụng nó vào thực tế như thế nào là một vấn
đề sáng tạo của từng người và từng thời đại. Có thể nói các phương pháp giải toán là
những mưu kế trong khi giải bài tập toán.
N
Trong chuyên đề này tôi xin đưa ra một số phương pháp giải toán và học toán mang
tên: “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI LƯỢNG BẤT BIẾN - ĐA THỨC ĐỐI XỨNG” hi vọng được các
đồng nghiệp ủng hộ, quan tâm đóng góp ý kiến và qua đây bản thân hoàn thiện dần bộ
“Toán pháp” cho mình và cho các em học sinh.
I- CƠ SỞ LÝ LUẬN
Chương trình toán học phổ thông (bộ sgk chương trình cũ) và nhất là trong sách Đại
số nâng cao 10 (chương trình phân ban) không ít các bài toán giải hệ phương trình, giải
phương trình, chứng minh BĐT ... có thể giải được nhờ sự ứng dụng của ĐẠI LƯỢNG
BẤT BIẾN - ĐA THỨC ĐỐI XỨNG. Với những học sinh yêu thích môn Toán ta có thể giới
thiệu sâu hơn cho các em trong các tiết tự chọn về vấn đề này ngay ở học kỳ 1 lớp 10.
Trong chuyên đề nhỏ này, tôi chỉ đề cập đến sự ứng dụng của đa thức đối xứng
trong giải toán ở lớp 10 ban KHTN, đây có thể coi là một bộ tài liệu tham khảo hữu ích
cho các em.
II- CƠ SỞ KHOA HỌC
1.Giới thiệu phương pháp đại lượng bất biến
Cho a, b, c là những số thực. Ta xét tổng S = a + b + c. Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho
c, c cho a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng này không thay đổi đối với
thứ tự phép cộng. Dù a, b, c có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không thay
đổi, nghĩa là S bất biến đổi với việc thay đổi các biến khác. Trong thực tế cũng như trong
toán học, rất nhiều vấn đề liên quan đến một số đối tượng nghiên cứu lại bất biến đối với
sự thay đổi của nhiều đối tượng khác.

n
với n
+
∈
*
Z
Mệnh đề: Mọi tổng luỹ thừa hai biến P
n
(x,y) = x
n
+ y
n
với n
+
∈
*
Z
ta có công thức
truy hồi P
n
=sP
n-1
-pP
n-2
và P
n
có thể biểu diễn dưới dạng đa thức của hai biến s và p. Trong
đó s = x + y, p = xy. (Ta có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp).
Áp dụng công thức trên để tính P
n


P
6
(x,y) = s
6
- 6s
4
p + 9s
2
p
2
- 2p
3
Các công thức trên sẽ được sử dụng nhiều trong các bài toán ở chuyên đề này.
III- ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỐI XỨNG ĐỂ GIẢI TOÁN
1.Giải hệ phương trình đối xứng
Ta thường gặp hệ phương trình hai ẩn mà các phương trình thành phần của hệ là những
đa thức đối xứng hai ẩn x và y. Ta thấy tính bất biến trong bài toán dạng này là tổng s =
x+y và tích p = xy. Trong trường hợp này ta chuyển hệ phương trình thành hệ những
phương trình ẩn s và p và giải hệ phương trình mới này, thường là những hệ phương trình
đơn giản hơn rất nhiều. Sau đó nhờ những giá trị của s và p ta đi tìm ẩn số x và y nhờ định
lý Viét thuận và đảo.
 Chú ý:
- Nếu đặt



=
=+
pxy

3
p + 5sp
2
(từ công thức (1))
Do đó, từ hệ (III), ta có hệ phương trình



=
=+
3
335sp p5s -s
235
s
⇔



=
=+−
3
0149p
2
s
p
Hệ (III) tương đương với (III.a)



=

=+
=+
3
111
12
22
yx
x
y
y
x
Lời giải:
Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0
Hệ phương trình đã cho là đối xứng với x, y. Ta quy đồng mẫu số hai phươg trình ta được
hệ (IV) ⇔



=+
=+
xyyx
xyyx
)(3
12
33
(IV.a)
Đặt s = x+y và p = xy với điều kiện s
2
≥ 4p (*)
Ta có: P

=
3
12
0
s
s
s

+ Với s = 0 thì p = 0 thoả mãn điều kiện (*) dễ thấy trong trường hợp này x = y =0 đây
không phải là nghiệm của hệ ban đầu.
+ Với s = 12 thì p = 36 thoả mãn điều kiện (*) ta được hệ



=
=+
36
12
xy
yx
khi đó x, y là nghiệm của phương trình z
2
-12z + 36 = 0 ⇔ (z - 6)
2
= 0 ⇔ z = 6
nên hệ đã cho có nghiệm (x;y) = (6;6)
+ Với s = -3 thì p = -9 thoả mãn điều kiện (*) ta được hệ




2
533 −−
),(
2
533 −−
;
2
533+−
)}
Vậy hệ pt tập nghiệm T(x,y) = {(6;6), (
2
533+−
;
2
533 −−
),(
2
533 −−
;
2
533+−
)}
Bài 3. Giải hệ phương trình (V)





=+
=+

=+
=+
5
9
22
33
vu
vu
đây là hệ đối xứng đối với u và v.
Đặt s = u+v và p = u.v với điều kiện s ≥ 0, p ≥ 0, s
2
≥ 4p, (*)
Theo công thức (1) ta có: u
3
+ v
3
= s
3
- 3sp; u
2
+ v
2
= s
2
- 2p
Từ hệ (V.a) ta được hệ (V.b)



=−

=
−−
=
=
2
333
2
333
3
s
s
s
+ Với s =
2
333−−
< 0 loại do điều kiện
+ Với s =
2
333+−
> 0 ⇒ p < 0 loại do điều kiện
+ Với s = 3, p = 2 thoả mãn điều kiện (*), vậy ta được



=
=
1
2
v
u

x
+ Với



=
=
2
1
v
u
⇒



=
=
64
1
y
x
Vậy hệ phương trình (V) có nghiệm



=
=
1
64
y

xyyx
xyyx
4
1
2
5
22

Lời giải:
Ta thấy phương trình thứ 2 của hệ không phải là một đa thức đối xứng đối với x và y.
Nhưng ta có thể nhận ra tính bất biến của bài toán là tổng s = x + (-y) và tích p = x(-y).
Vũ Thìn: Giáo viên Toán – Trường THPT Đa Phúc Trang: 4/11
Chuyên đề: “Ứng dụng của đại lượng bất biến - Đa thức đối xứng”
Hệ (I) ⇔







−−=−+
−−=−+
)(
4
1
)(
)(
2
5

szx
Ta nhận được hệ phương trình (từ công thức (1))







−=
−=−
ps
pps
4
1
2
5
2
2
giải hệ này ta được hai
nghiệm



=
=
0
0
p
s

4
3
3
z
x
;



=
−=
4
2
4
4
z
x
Thay trở lại biến x và y ta được nghiệm của hệ ban đầu:



==
==
0
0
21
21
yy
xx
;

=+
=+−
82
31
32
4
3
yx
xy

Lời giải:
Ta thấy phương trình trên không phải là một đa thức đối xứng đối với x và y. Nhưng
ta có thể tìm được tính bất biến của bài toán nếu ta đặt
xu =
và
4
3
1−= yv
với điều kiện
u,v ≥ 0.
Hệ phương đưa về dạng



=++
=+
82)1(
3
44
vu

=
8124
3
224
spss
s
Thay s = 3 vào phương trình hai của hệ ta được p
2
-18p = 0 phương trình này có hai
nghiệm p = 0 và p = 18.
+ Với s = 3, p = 0 thoả mãn điều kiện (*) nên u, v là nghiệm của phương trình
z
2
-3z = 0 ⇔



=
=
3
0
z
z
ta có nghiệm u, v là:



=
=
0




=
=
3
2
2
82
0
y
x

Vũ Thìn: Giáo viên Toán – Trường THPT Đa Phúc Trang: 5/11