Cực trị của các đa thức đối xứng ba biến
Mọi đa thức đối xứng ba biến F(x, y, z) đều biểu thị đợc qua các đa thức
đối xứng cơ bản s
1
=x+y+z, s
2
=xy+yz+zx, s
3
=xyz. Vấn đề đặt ra: Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của các đa thức đối xứng p
1
=F(x, y, z) khi biết giá trị của hai
trong ba đa thức đối xứng cơ bản: s
1
, s
2
, s
3
. Vậy có ba bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức đối xứng p =F(x,y,z) khi
biết:
(I)
x y z a
xy yz zx b
+ + =


+ + =


với a, b cho trớc thỏa mãn

+ =


= = +

Ta phải có điều kiện
2
4s p
( )
2
2
4( )a x x ax b +
2 2
3 2 4 0x ax b a +
2 2
2 3 2 3
;
3 3
a a b a a b
x

+ 2 3 2
3 3
( ) ( )s xyz x x ax b s g x x ax bx= = + = = +

3
(I)
1
x y z
xy yz zx
+ + =


+ + =

.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
1
= x
4
+y
4
+z
4
Ta có
4 2 2
1 1 1 2 2 1 3
4 2 4P s s s s s s= + +
. Vì
1 2
3, 1,s s= =
nên
1 3 3
( ) 47 12P f s s= = +
,

3
x

+




1
Khảo sát hàm số
3 2
3
( ) 3s g x x x x= = +
với
[
3 24
0;
3
x

+



Thật vậy
2
3 6
'( ) 3 6 1 0
3
g x x x x

0
9
s


Chú ý: Có thể rút ra kết quả về tập giá trị của s
3
nh sau:
s
3
là giá trị của biểu thức xyz khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thực
3
3
1
0 , , 3
x y z
xy yz zx
xyz s
x y z
+ + =


+ + =


=





3
'( )g t
+ 0 _ 0 +
y
4 6 9
9

3
0
4 6 9
9

2
Kết quả
3
4 6 9
0
9
s


1 3 3
( ) 47 12P f s s= = +
,
3
4 6 9
0;
9
s


chẳng hạn tại
3 24 6 24
,
3 6
x y z
+
= = =
Ví dụ 2: Cho x,y,z là các số thực không âm
0x y z+ + >
thỏa mãn
2 2 2
7( )x y z xy yz zx+ + = + +
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
4 4 4
4
( )
x y z
Q
x y z
+ +
=
+ +
Ta có
1 1
( , , ) ( , , ), 0Q F x y z F ax ay az a= =
. Tính thuần nhất của
1
F
cho phép ta thêm
giả thiết

1 47
.47
3 81
Q = =
4 5
1 105 16 6 105 16 6
( )
3 3 3
MaQ
+ +
= =
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ( nếu có) của đa thức đối xứng
1
( , , )P F x y z=
biết
x y z a
xyz b
+ + =


=

với a, b cho trớc,
0b

Ta có s
1
=a, s
2
=b nên P

3+ 6
3
3- 6
3
-4 6 -9
9
4 6 -9
9
0
3
3
2
2
( ) ( )
b b
s xy yz zx x y z yz x a x x ax
x x
= + + = + + = + = + +
B ớc 2 : Khảo sát hàm số
2
2
( )
b
s g x x ax
x
= = + +
với
x A

để tìm tập giá trị của nó

4 2 2
1 1 1 2 2 1 3
4 2 4P s s s s s s= + +
,
1 3
4, 2s s= =
nên
2
1 2 2 2
( ) 2( 32 144)P f s s s= = +
Ta có:
2
2
2
( ) 4s xy yz zx x y z yz x x
x
= + + = + + = + +

4
2
( )
0 4
y z x
II yz
x
x
+ =




ta đợc
[
2
5 5 1
5;
2
s





Khảo sát hàm số
2
1 2 2 2
( ) 2( 32 144)P f s s s= = +
với
[
2
5 5 1
5;
2
s





Ta có:
2 2 2

4 4 4
4
( )
x y z
Q
x y z
+ +
=
+ +
ta có:
( , , ) ( , , ), 0Q h x y z h ax ay az a= =
nên ta có thể chỉ xét
4x y z+ + =
. Bài toán
quy về: Tìm Min, Max của
4 4 4
4
4
x y z
Q
+ +
=
biết
4
2
0, 0, 0
x y z
xyz
x y z
+ + =

0b

Vì s
1
=a, s
3
=b nên P
1
= F(x,y,z)=f(s
1
)
Từ (III) ta có
1
( )
b
y z a
x x
b
yz
x

+ =




=


phải có điều kiện

1
. Cuối
cùng khảo sát hàm số P
1
=f(s
1
) với
1
s D
để suy ra kết quả
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
4 4 4
1
P x y z= + +
biết
8
4
0, 0, 0
xy yz zx
xyz
x y z
+ + =


=


> > >


4 4 1 0 ( 1)( 3 1) 0x x x x x x + +
. Kết hợp với
0x >
ta đợc
3 5
0
2
x

<
hoặc
3 5
1
2
x
+

1
2
8 4
s x y z x
x x
= + + = +
với
[ [
3 5 3 5
0; 1;
2 2
x


's
+ + 0 - 0 + +
1
s
1 5 5
2

5 5 1
2
5 5 1
2


5 5
5