Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
15
Chương 1
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
Động học là một phần của ngành Cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật
thể (vĩ mô) mà không chú ý đến nguyên nhân của chuyển động đó. Chương này
nghiên cứu các tính chất tổng quát về chuyển động của chất điểm. Vì thế khi nói
chuyển động của một vật hay vận tốc, gia tốc của vật, ta hiểu vật đó là chất điểm.

§1.1 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUYỂN ĐỘNG
1 – Chuyển động cơ học – Chất điểm:
Chuyển động cơ học (chuyển động cơ) là sự thay đổi vị trí của vật thể
trong không gian theo thời gian. Chuyển động của vật có tính tương đối. Vì, vị trí
của vật có thể thay đổi đối với vật này, nhưng lại không thay đổi đối với vật khác.
Nghiã là vật có thể chuyển động so với vật này, nhưng lại là đứng yên so với vật
khác. Ví dụ: Người ngồi trên xe lửa, đối với nhà ga thì người đó đang chuyển động
cùng với xe lửa, nhưng đối với hành khách bên cạnh, thì người đó lại không hề
chuyển động.
Khi ta nói “vật A đang chuyển động” mà không nói rõ chuyển động so với
vật nào thì ta ngầm hiểu là so với Trái Đất.
Mọi vật đều có kích thước xác định. Tuy nhiên, nếu kích thước của vật quá
nhỏ bé so với những khoảng cách mà ta khảo sát thì vật được coi như một chất
điểm. Vậy, chất điểm là một vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua so với
những kích thước, những khoảng cách mà ta khảo sát. Chất điểm là một khái niệm
trừu tượng, không có trong thực tế nhưng rất thuận tiện trong việc nghiên cứu
chuyển động của các vật. Khái niệm chất điểm cũng mang tính tương đối. Nghĩa là
trong điều kiện này vật được coi là chất điểm, nhưng trong điều kiện khác, nó lại
không thể coi là chất điểm. Ví dụ: Khi nghiên cứu chuyển động của Trái Đất quanh
Mặt Trời, ta có thể coi Trái Đất là chất điểm, nhưng nghiên cứu chuyển động tự
quay quanh trục của nó thì Trái Đất không thể coi là chất điểm.
2 – Quĩ đạo, quãng đường và độ dời:

.
Như vậy quãng đường s là một đại
lượng vô hướng luôn dương; còn độ dời là
một vectơ. Nếu vật chuyển động trên đường
cong kín hoặc đổi chiều chuyển động sao
cho vị trí đầu và cuối trùng nhau thì độ dời
sẽ triệt tiêu nhưng quãng đường là khác
không. Khi vật chuyển động trên đường
thẳng theo một chiều duy nhất thì quãng
đường vật đi được bằng với độ lớn của
vectơ độ dời.
3 – Hệ qui chiếu, phương trình chuyển
động – phương trình quĩ đạo:
Muốn xác định vị trí của
vật trong không gian, ta phải
chọn một vật làm mốc, gắn vào
đó một hệ tọa độ và một đồng hồ
để đo thời gian. Hệ thống đó
được gọi là hệ qui chiếu. Tại
mỗi thời điểm t, vị trí của chất
điểm M sẽ được xác định bởi
vectơ vị trí (hay vectơ tia, vectơ
bán kính):

→→
= OM)t(r (1.1)
Phương trình (1.1) cho phép ta
xác định vị trí của chất điểm ở
từng thời điểm, nên gọi là
phương trình chuyển động tổng

x
Hình 1.2: Vị trí của chất điểm M trong
hệ toạ độ Descartes
→
r

→
i

→
k

→
j
Quãng đường s
Độ dời
1 2
M M
uuuuuur

M
1
M
2
Hình 1.1: Quan hệ giữa
quãng đường và độ dời
A
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 17
(1.4) biểu diễn tất cả các vị trí mà chất điểm sẽ đi qua trong quá trình chuyển động
nên được gọi là phương trình qũi đạo của chất điểm.

a) ϕ
1
– ϕ
2
= k2π; b) ϕ
1
– ϕ
2
= (2k + 1)
2
π
.
Giải
a) Ta có ϕ
1
– ϕ
2
= k2π ⇒ ϕ
1
= ϕ
2
+ k2π
⇒ x = A
1
cos(ωt + ϕ
2
+k2π) = A
1
cos(ωt + ϕ
2

2
2
2
1
2
=+ ⇒ Qũi đạo là Elíp.
§1.2 – TỐC ĐỘ VÀ VẬN TỐC
1 – Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình:
Xét chất điểm M chuyển động trên quĩ đạo cong bất kì. Giả sử ở thời điểm
t
1
, chất điểm ở vị trí M
1
được xác định bởi vectơ vị trí
1
r
→
; ở thời điểm t
2
vật ở vị trí
M
2
được xác định bởi vectơ vị trí
2
r
→
. Gọi s là quãng đường vật đã đi và
s
O
M

, …, s
n
và thời gian tương
ứng để vật đi hết các quãng đường đó là t
1
,
t
2
, …, t
n
thì (1.6) được viết dưới dạng:

1 2 2
s
1 2 n
s s s
v
t t t
+ + +
=
+ + +
(1.7)
Đôi khi tốc độ trung bình còn được kí hiệu
bởi v
tb
hoặc
v
.
Vận tốc trung bình của một chất
điểm chuyển động trong khoảng thời gian từ t

1km / h m/s
18
=
.
Từ (1.8) suy ra, khi chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox thì ta có thể
tính được giá trị đại số của vận tốc trung bình theo công thức :

2 1
tb
2 1
x x
x
v
t t t
−
∆
= =
∆ −
(1.9)
Trong trường hợp tổng quát, ta có thể chiếu (1.8) lên các trục tọa độ cần thiết để
tìm các thành phần của vectơ vận tốc trung bình, từ đó tìm được độ lớn của vận tốc
trung bình.
Cần nhấn mạnh sự khác biệt của các công thức định nghĩa (1.6) và (1.8) là:
đối với tốc độ trung bình, ta quan tâm đến quãng đường s mà chất điểm đã đi và
thời gian t mà chất điểm dùng để đi hết quãng đường đó, không quan tâm đến thời
r
∆
r

M

là thời gian ôtô chuyển
động trên các đoạn AC, CB.
Tốc độ trung bình của ôtô trên
đoạn đường AB là :
1 2
s
1 2
3 3
1 2 1 2
1 2
3v .vs AC BC AB 3.30.40
v 36km/ h
AB AB
t t t 2v v 2.30 40
v v
+
= = = = = =
+ + +
+

Vì ôtô đến B đúng giờ qui định nên thời gian dự định bằng thời gian thực tế:
t
dđ
= t
ttế
⇒
2
3
2
1

cong thì chưa đủ dữ kiện để tính vận tốc trung bình.
Ví dụ 1.3: Một ôtô đi từ A đến B với tốc độ v
1
= 30km/h rồi quay về A với tốc độ
v
2
= 50km/h. Tính tốc độ trung bình và vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về.
Giải
Tốc độ trung bình trên lộ trình đi – về:

1 2
s
di ve 1 2 1 2
2v vs AB BA 2AB 2.30.50
v 37,5km / h
t t t AB/ v AB/ v v v 30 50
+
= = = = = =
+ + + +

Vận tốc trung bình trên lộ trình đi – về:

2 1 A A
tb
2 1 2 1
r r r r
v 0
t t t t
− −
= = =

tốc tức thời (hay vectơ vận tốc) là đạo
hàm của vectơ độ dời theo thời gian:

t 0
r dr
v lim
t dt
→
∆ →
∆
= =
∆
r r
(1.11)
Để hiểu rõ ý nghĩa của vectơ
vận tốc tức thời, ta xét chuyển động của
một chất điểm trên một quĩ đạo cong (C)
bất kì (xem hình minh họa 1.5). Giả sử ở
thời điểm t, chất điểm ở vị trí M được
xác định bởi vectơ vị trí
r
r
và ở thời
điểm t + dt, chất điểm ở vị trí M’ được
xác định bởi vectơ vị trí
r' r dr
= +
ur r r
.
Theo định nghĩa (1.11), vectơ vận tốc luôn có hướng của độ dời

có đặc điểm:
- Phương: là tiếp tuyến với qũi đạo tại điểm khảo sát.
- Chiều: là chiều chuyển động.
- Độ lớn: bằng đạo hàm của quãng đường đối với thời gian.
- Điểm đặt: tại điểm khảo sát.
dr
r

M

M’

Hình 1.5
r
r

ds
r'
ur

O
v
→

(C)
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 21
Tốc độ tức thời là đại lượng vô hướng không âm, đặc trưng cho mức độ
nhanh, chậm của chuyển động tại mỗi điểm trên quĩ đạo; còn vận tốc tức thời là đại
lượng vectơ, đặc trưng cho cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động
tại mỗi điểm trên quĩ đạo. Khi nói vật chuyển động với tốc độ không đổi, ta hiểu

= (v
x
, v
y
, v
z
) (1.14)
trong đó: 'z
dt
dz
v;'y
dt
dy
v;'x
dt
dx
v
zyx
====== (1.15)
Suy ra, độ lớn của vectơ vận tốc:
2
z
2
y
2
x
vvvvv ++==
→
(1.16)
4 – Quãng đường vật đã đi:

ng d
ự
a vào ý ngh
ĩ
a hình h
ọ
c c
ủ
a tích phân (1.17):
quãng đường vật đi được bằng trị số diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đồ thị v = v(t) với trục Ot
(hình 1.6)
.

S
t
v
t
t
o
Hình 1.6: Ý nghĩa hình học của
đường đi.
22 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Ví dụ 1.4: Vật chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:
)SI(
t5y
t15x
2



25,2t
2
t
10dt25,2t10vdts






++++=+==
∫∫

(Lưu ý:
2 2 2
u a
u adx u a ln | u u a | C
2 2
+ = + + + + +
∫
- toán cao cấp)
Thay số vào ta tính được quãng đường là:
s 37,4(m)
=
.
Ví dụ 1.5: Vật chuyển động trên đường thẳng với vận tốc biến đổi theo qui luật
cho bởi đồ thị hình bên. Tính quãng đường vật đã đi kể từ lúc t = 1s đến lúc t =
7,5s. Suy ra tốc độ trung bình trên quãng đường này và độ lớn của vận tốc trung
bình trong khoảng thời gian đó.
Giải

r
trị số diện tích hình thang ABCD – diện tích tam giác DEF
= 120 – 10 = 110m.
Suy ra độ lớn của vận tốc trung bình:
tb
2 1
| r | 110
v
t t 7,5 1
∆
= = =
− −
r
16,9m/s
t (s)
v (m/s)
- 20
30
2,5

0
1
6,5
7,5
A
B C
D
E
F
5

→→→
→∆
→
==
∆
∆
=
(1.20)
Vectơ gia tốc tức thời đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc ở từng
thời điểm; còn vectơ gia tốc trung bình đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận
tốc trong khoảng thời gian ∆t khá lớn.
2 – Biểu thức giải tích của vectơ gia tốc:
Trong hệ tọa độ Descartes, tương tự như vectơ vận tốc, ta có:

→→→→
++= k.aj.ai.aa
zyx
= (a
x
, a
y,
a
z
) (1.21)
với






y
y
2
2
x
x
a
(1.22)
Suy ra, độ lớn của vectơ gia tốc :
2
z
2
y
2
x
aaaaa ++==
→
(1.23)
Ví dụ 1.5: Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:
)SI(
t8y
t
3
4
t3x
32





b) s75,0t0t860a
=
⇔
=
−
⇔
=

Vậy lúc t = 0,75 giây thì gia tốc bằng không.
3 – Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến:
Trong chuyển động cong, ngoài biểu thức giải tích của vectơ gia tốc, người
ta còn mô tả vectơ gia tốc theo thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến với qũi đạo. Ta
biết vectơ vận tốc luôn nằm trên tiếp tuyến của qũi đạo, nên ta có thể viết:

→→
τ= .vv
(1.24)
trong đó
→
τ
là vectơ đơn vị nằm trên tiếp tuyến.
Suy ra:
d v d(v. ) dv d
a . v.
dt dt dt dt
→ → →
→ →
τ τ
= = = τ + (1.25)
Thành phần:

dt
d
→
→
τ
⊥τ⇒

Mà
→
τ
nằm trên tiếp tuyến nên vectơ
dt
d
→
τ
nằm trên pháp tuyến của qũi đạo.
Do đó, thành phần:
dt
d
.va
n
→
→
τ
=
(2.27)
nằm trên pháp tuyến qũi đạo nên được
gọi là gia tốc pháp tuyến.
Mặt khác, vectơ
→→→

→
τd
)
2
d
ϕ

Hình 1.8: Quan hệ giữa |
→
τd
| và d
ϕ
.
→
τ

→
τ
'

R
d
ϕ

→
τ'

→
τ
d

gia tốc
→
a
được phân tích thành hai thành
phần vuông góc nhau: thành phần tiếp
tuyến
→
t
a
và thành phần pháp tuyến
→
n
a .
Vậy ta viết:
→→→
+=
nt
aaa
(1.29)
trong đó:
dt
dv
a
t
= và
R
v
a
2
n

*
→→
↑↑ va
t
: chuyển động nhanh dần.
*
→→
↑↓ va
t
: chuyển động chậm dần.
Ví dụ 1.7: Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:
)SI(
t5t40y
t5010x
2



−=
+=

a) Nhận dạng qũi đạo.
b) Xác định tung độ lớn nhất mà vật đạt được.
c) Xác định các thành phần và độ lớn của vectơ vận tốc, gia tốc tại thời điểm
t = 2s. Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến và bán kính chính khúc
của qũi đạo lúc đó.
→
a

→

5
4
2
2
−+−=






−
−−
(m).
⇒ Qũi đạo là một phần Parabol với x
≥
10 (m).
b) y
max
khi v
y
=
dt
dy
= 40 – 10t = 0 ⇒ t = 4 (s) ⇒ y
max
= 40.4 – 5.4
2
= 80 (m).
c) Các thành phần của vectơ vận tốc lúc t = 2 (s):

xd
2
2
=
(m/s
2
) ; a
y
=
10
dt
yd
2
2
−=
(m/s
2
) ⇒ a =
10aa
2
y
2
x
=+
(m/s
2
).
Gia tốc tiếp tuyến lúc t = 2 (s):
(
)

Bán kính chính khúc của qũi đạo lúc t = 2(s):
===
3,9
8,53
a
v
R
2
n
2
311 (m).
§1.4 – VẬN TỐC, GIA TỐC TRONG CHUYỂN ĐỘNG TRÒN
Chuyển động tròn là chuyển động
có qũi đạo là một đường tròn. Khi chất
điểm chuyển động tròn quanh tâm O, ta
còn nói: “chất điểm quay quanh điểm O”.
1 – Tọa độ góc – góc quay:
Trong chuyển động tròn, vị trí của
chất điểm có thể xác định theo tọa độ góc:
ϕ =
)r,Ox(
→→
= góc định hướng giữa trục
gốc Ox với vectơ bán kính
→→
=
OMr

(xem hình 1.10). Nếu tại thời điểm t
0

→
v
của chất điểm trong chuyển động
tròn còn được gọi là “vận tốc dài”, để phân biệt với vận tốc góc
→
ω
.
2 – Vận tốc góc:
Khi chất điểm chuyển động tròn,
vectơ bán kính
→
OM
sẽ quay theo và quét
được một góc ∆ϕ nào đó. Đặc trưng cho sự
quét nhanh hay chậm của
→
OM
, ta dùng khái
niệm vận tốc góc. Vận tốc góc là đại lượng
đặc trưng cho sự quay nhanh hay chậm của
chất điểm, có giá trị bằng góc mà nó quay
được trong một đơn vị thời gian.
Ta có: - Vận tốc góc trung bình:
tb
t
∆ϕ
ω =
∆

(1.34)

”.
- Độ lớn: bằng đạo hàm của góc quay
theo thời gian.
- Điểm đặt: tại tâm qũi đạo.
Trong hệ SI, đơn vị đo góc là rad
(không thứ nguyên). Do đó, vận tốc góc có
đơn vị là rad/s hay s
– 1
.
* Quan hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc:
Ta có: ds = Rdϕ suy ra
dt
d
R
dt
ds
ϕ
=
hay v = ωR (1.36)
∆
ϕ

→
ω

Hình 1.11: Vectơ vận tốc góc.
O
M
M
o

2
2
n
ω==
(1.38)
Ví dụ 1.8: Một vật chuyển động tròn quanh
điểm cố định O với góc quay θ là hàm của vận
tốc góc ω:
a
o
ω
−
ω
=θ
. Trong đó ω
o
và a là
các hằng số dương. Lúc t = 0 thì ω = ω
o
. Tìm θ(t) và ω(t).
Giải
Ta có:
dt
a
d
dt
d
a
o
o

−
ω = θ = ω

3 – Gia tốc góc:
Tương tự như vectơ vận tốc
→
v
,
vectơ vận tốc góc
→
ω cũng có thể biến thiên
theo thời gian. Đặc trưng cho sự biến thiên
này, ta dùng khái niệm gia tốc góc. Gia tốc
góc là đại lượng đặc trưng cho sự biến
thiên của vectơ vận tốc góc, đo bằng tốc độ
biến thiên của vectơ vận tốc góc:
dt
d
t
lim
0t
→→
→∆
→
ω
=
∆
ω∆
=β
(1.39)

vận tốc góc và gia tốc góc khi
chất điểm quay chậm dần.
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 29
* Quan hệ giữa gia tốc tiếp tuyến và gia tốc góc:
Ta có: RR.
dt
d
dt
)R(d
dt
dv
a
t
β=
ω
=
ω
== (1.40)
Vì các vectơ
→→→
β R,,a
t
đôi một vuông góc
nhau nên ta viết (1.35) dưới dạng tích
vectơ:
[ ]
→→→
β= R,a
t
(1.41)

Lúc dừng: ω = 0 ⇒ t = 1s ⇒ β = β
1
= -12 rad/s
2
.
Góc mà chất điểm đã quay:
)rad(4dt)t66(dt
1
0
2
1
0
=−=ω=θ
∫∫

Vận tốc góc trung bình:
s/rad4
1
4
t
tb
==
∆
θ
=ω ;
Gia tốc góc trung bình:
6
1
60
t

Hình 1.15
: Quan hệ giữa vectơ gia
tốc tiếp tuyến và gia tốc góc.
30 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập 1: Cơ – Nhiệt – Điện
Ta có:
o o
o
r t t
t t
r
d r
v const d r v dt d r vdt v dt
dt
→
→
→
→ → → → → →
= = ⇒ = ⇒ = =
∫ ∫ ∫

V
ậ
y:
)tt(vrr
o
o
−+=
→→→
(1.42)
Nếu chọn trục Ox trùng với phương chuyển động thì ta có:

trong đó, x
o
là toạ độ ban đầu của vật, v là hình chiếu của vectơ vận tốc lên trục
Ox ; khi vật đi theo chiều dương của trục Ox thì v > 0, trái lại v < 0. Trong (1.46)
thì v là độ lớn vận tốc hay tốc độ của vật.
Ví dụ 1.10: Lúc 6 giờ, một ôtô khởi hành từ A chuyển động thẳng đều về B với
vận tốc 40 km/h. Lúc 7 giờ, một môtô chuyển động thẳng đều từ B về A với vận
tốc 50km/h. Biết khoảng cách AB = 220km.
a) Viết phương trình chuyển động của 2 xe.
b) Xác định vị trí và thời điểm 2 xe gặp nhau.
c) Xác định thời điểm 2 xe cách nhau 60km.
Giải

a) Chọn trục tọa độ Ox trùng với AB, gốc tọa độ tại A, chiều dương hướng về B;
gốc thời gian lúc 6 giờ. Ta có phương trình chuyển động của:
Xe ôtô: x
1
= x
01
+ v
1
(t – t
01
) = 0 + 40(t – 0) = 40t (đơn vị của t: giờ; x: km)
Xe môtô: x
2
= x
02
+ v
2

= 40km/h
v
2
= 50km/h
0

x

Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 31
⇒ t = 2h 20’ hoặc t = 3h 40’.
Vậy hai xe cách nhau 60km tại các thời điểm: 8h 20’ và 9h 40’.
2 – Chuyển động thẳng biến đổi đều :
Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động trên đường thẳng với gia
tốc không đổi (
→→
= consta
).
Với điều kiện đó thì:
)tt(avv
o
o
−+=
→→→
(1.48)
2
oo
o
o
)tt(a
2

) (1.53)
Công thức (1.53) thu được bằng cách khử tham số t trong (1.51) và (1.52). Trong
công thức (1.51) và (1.52), các giá trị v, v
o
, a là hình chiếu của các vectơ
→
v
,
→
o
v
,
→
a
lên trục Ox. Chúng có giá trị dương hay âm tùy theo các vectơ tương ứng của
chúng cùng chiều hay ngược chiều dương của trục Ox. Căn cứ vào các giá trị đại
số a và v ta sẽ suy ra tinh chất của chuyển động, cụ thể: Nếu a và v là hai số cùng
dấu (
→→
↑↑ va ) thì chuyển động là nhanh dần; Nếu a và v là hai số trái dấu
(
a v
→ →
↑↓
) thì chuyển động là chậm dần.
Trường hợp chất điểm chỉ chuyển động theo một chiều duy nhất, ta chọn
chiều đó là chiều dương của trục Ox, khi đó, ngoài các phương trình từ (1.50) đến
(1.53), ta còn có:
• Đường đi: s = x – x
o

Áp dụng công thức đường
đi (1.54), ta có:
2
1
2
110
at
2
1
at
2
1
tvOA =+=
(v
0
= 0; t
1
là thời gian đi từ O đến A)
2
1
2
110
)2t(a
2
1
)2t(a
2
1
)2t(vOB +=+++=
Mà OB – OA = AB = 20 m ⇒

+ at
1
= 8m/s.
b) OA =
m16at
2
1
2
1
=

c) Tốc độ trung bình trên đoạn AB:
s/m10
2
20
t
AB
v
AB/tb
===

Tốc độ trung bình trên đoạn OA:
s/m4
t
OA
v
1
OA/tb
==


v
B
= 12 m/s
20m
2s
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 33
• Thời gian rơi: t
r
ơ
i
=
g
h2
(1.57)
• Vận tốc ngay trước lúc chạm đất: v =
gh2
(1.58)
Trong đó, h là độ cao ban đầu của vật.
Ví dụ 1.12: Thả một vật từ đỉnh tòa tháp cao 20m thì sau bao lâu nó chạm đất? Lúc
chạm đất, vận tốc của vật là bao nhiêu? Bỏ qua sức cản không khí.
Giải
Thời gian rơi :
s2
10
20.2
g
h2
t ===

Vận tốc khi chạm đất :

π
ω
==
2
T
1
f
(1.64)
Trong hệ SI, chu kỳ có đơn vị là giây (s); tần số có đơn vị là Hertz (Hz).
Ví dụ 1.13: Trái Đất quay quanh trục của nó với chu kỳ 24 giờ. Hãy tính vận tốc
góc, vận tốc dài của một điểm ở xích đạo và điểm nằm ở vĩ độ 60
o
, biết bán kính
Trái Đất là R = 6400 km.
Giải
Vận tốc góc của Trái Đất:
==
π
=ω
3600
.
24
14,3.2
T
2
7,3.10
– 5
rad/s
Vận tốc dài của điểm M trên xích đạo: v
1

1
t β+ω+ϕ=ϕ

(1.67)
• Góc quay:

2
o
t
2
1
t
β+ω=θ
(1.68)
• Công thức độc lập với thời gian: ω
2
– ω
o
2
= 2βθ (1.69
)
Ví dụ 1.14: Một môtơ đang quay với vận tốc 480 vòng/phút thì bị ngắt điện. Nó
quay chậm dần đều, sau đó 2 phút, vận tốc còn 60 vòng/phút. Tính gia tốc góc, số
vòng quay và thời gian quay kể từ lúc ngắt điện đến lúc ngừng lại.
Giải
Ta có ω
0
= 480 vòng/phút = 8 vòng/giây = 16π rad/s
ω
1

Góc quay:
π=
π
−+π=β+ω=θ
10971,137).
60
7
(
2
1
1,137.16t
2
1
t
22
o

(rad)
Số vòng quay: N = 5,548
2
=
π
θ
vòng.
6 – Chuyển động ném xiên:
Chuyển động ném
xiên là một dạng chuyển
động dưới tác dụng của
trọng lực. Đây là một
chuyển động thường gặp

max
Hình 1.16: Chuyển động ném xiên.
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM 35
Bỏ qua ảnh hưởng của sức cản không khí, chọn hệ trục Oxy như hình vẽ,
gốc thời gian là lúc ném vật, thì chuyển động của vật có thể phân tích thành 2
chuyển động đồng thời:
* Theo phương Ox, vật chuyển động đều theo quán tính với:
• Vận tốc: v
x
= v
ox
= v
o
cosα (1.70)
• Phương trình chuyển động: x = v
x
.t = v
o
cosα.t (1.71)
* Theo phương Oy, vật chuyển động với gia tốc a = – g, nên ta có:
• Vận tốc: v
y
= v
o
sinα – gt (1.72)
• Phương trình chuyển động: y = v
o
sinα.t – ½ gt
2
(1.73)

g
2sinv
2
o
α
=
(1.76)
Từ (1.76) suy ra:
• Với cùng một vận tốc ban đầu v
o
, có 2 góc ném α
1
và α
2
, với α
2
= 90
o
- α
1
sẽ
cho cùng một tầm xa.
• Vật sẽ đi xa nhất nếu góc ném α = 45
o
. Khi đó:
2
0
max
v
L


Để bắn trúng tàu cướp thì:
800m x
max
=
α
=
g
2sinv
2
o

Suy ra: sin2α = 0,8 ⇒ α = 26
0
30’ hoặc α = 63
0
30’.
Vậy nòng súng phải nghiêng một góc 26
0
30’ hoặc 63
0
30’ thì bắn trúng tàu cướp.
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
37
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1.1 Trường hợp nào sau đây được coi là chuyển động của chất điểm?
a) Ô tô đi vào gatage;
b) Xe lửa từ Sài Gòn đến Nha Trang;
c) Con sâu bò trên lá khoai lang;
d) Trái đất chuyển động quanh mặt trời;

1.6 Một ôtô chuyển động từ A đến B. Nửa quãng đường đầu xe đi với tốc độ v
1
;
nửa sau với tốc độ v
2
. Tính tốc độ trung bình trên toàn bộ quãng đường. Áp
dụng số: v
1
= 90km/h; v
2
= 50km/h.
1.7 Một ôtô đang chuyển động với vận tốc v
0
thì hãm phanh, kể từ đó vận tốc xe
biến thiên theo qui luật v = v
0
– kt
2
(SI), với k là hằng số dương. Tính quãng
đường ôtô đã đi kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng lại và vận tốc trung bình
của ôtô trên quãng đường đó. Coi quĩ đạo của ôtô là đường thẳng.
1.8 Một chất điểm chuyển động theo chiều dương của trục Ox với vận tốc v =
b
x
, trong đó b là hằng số dương. Biết lúc t = 0, chất điểm ở vị trí x = 0.
Hãy xác định:
a) Vận tốc của chất điểm theo thời gian.
b) Vận tốc trung bình trên quãng đường từ x = 0 đến vị trí x.
1.9 Một chất điểm chuyển động có vectơ vị trí:
→→→→

a) Phương trình qũi đạo và vẽ đồ thị của nó.
b) Vận tốc
→
v
, gia tốc
→
a
của chất điểm ở thời điểm t = 0,25s.
c) Gia tốc tiếp tuyến a
t
, pháp tuyến a
n
và bán kính quĩ đạo lúc t = 0,25s.
d) Thời điểm t
o
mà
→
v
và
→
a
tạo với nhau một góc 45
o
.
e) Tính quãng đường vật đi kể từ lúc t = 0 đến lúc t = 0,25s.
1.13 Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng với gia tốc tiếp tuyến a
t
= c
và gia tốc pháp tuyến a
n

→→
j,i
là các vectơ đơn vị trên trục x, y. Hãy xác
định:
a) Phương trình qũi đạo y (x) và vẽ đồ thị của nó.
b) Vectơ vận tốc
→
v
, gia tốc
→
a
và góc α giữa chúng lúc t = 1s.
1.17 Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:
Chương 1: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
39
)SI(
)t1(t2y
t2x



−=
=
.
a) Xác định quỹ đạo của chất điểm.
b) Xác định vận tốc, gia tốc ở thời điểm t = 5s.
c) Tìm thời điểm mà vectơ vận tốc và gia tốc tạo với nhau một góc 45
o
.
d) Xác định gia tốc tiếp tuyến, pháp tuyến, bán kính qũi đạo lúc t = 5s.

tốc góc của chất điểm phụ thuộc vào góc θ như thế nào? Vẽ dạng đồ thị biểu
diễn sự phụ thuộc đó.
1.20 Một chất điểm quay chậm dần quanh trục cố định với gia tốc góc β tỉ lệ với
ω
. Biết lúc t = 0, vận tốc góc của nó là ω
o
. Tính vận tốc góc trung bình
trong khoảng thời gian chuyển động.
1.21 Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy với phương trình:
x = 8t – 4t
2
; y = 6t – 3t
2
(hệ SI). Chứng tỏ chất điểm chuyển động thẳng biến
đổi đều. Xác định vận tốc ở thời điểm t = 0 và ở thời điểm 5s. Tính quãng
đường vật đã đi trong khoảng thời gian đó.
1.22 Người ta thả một hòn bi từ đỉnh tòa nhà cao 10 tầng, mỗi tầng cao 4m. Bỏ
qua sức cản không khí, lấy g = 10m/s
2
. Tính thời gian hòn bi đi qua tầng trên
cùng và dưới cùng.
1.23 Một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng Oxy theo phương trình: x =
Asinωt; y = A(1 - cosωt) với A, ω là hằng số dương. Chứng tỏ vật chuyển
động tròn đều. Suy ra quãng đường vật đi trong thời gian t và góc tạo bởi
vectơ vận tốc, vectơ gia tốc.
1.24 Bánh xe đạp có đường kính 650mm bắt đầu chuyển động với gia tốc góc β
= 3,14 rad/s
2
. Sau giây đầu tiên thì: a) Vận tốc góc của bánh xe là bao nhiêu?
b) Vận tốc dài, gia tốc tiếp tuyến, pháp tuyến và toàn phần của một điểm trên