Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1992 – 1993
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức:
P =
3
2
1
2
)1(2
1
)1(2
1
a
a
aa
−
+
−
−
+
+
1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng
xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại
B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau
đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.







−
+
+








++
−
−
+
a
a
a
aa
a
a
a
1
1

) và (O
2
) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N,
D thẳng hàng.
Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:
01)2.(25
2
=+++− yyxx
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1995 – 1996
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức:
A =
2
232
−
−−
x
xx
; B =
2
22
3
+
−+−
x

điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
)(
2
1
199619952 zyxzyx ++=−+++−
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1996 – 1997
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
P =
1
2
1
1
2
2
393
−
+
+
−
−
−
−+
−+

2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Với ac < 0. Gọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và
phương trình (2), chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1997 – 1998
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức:
P =
1
2
2
3
2
)3(3
−
−
−
+
+
+
−+
−+
x

Bài 4 (1đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức:
( ) ( )( ) ( )
3243234732 −=+−+−
xx
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
P =








+
+
−
−
+
−




yx
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
(x + 1)
4
– (m – 1)(x + 1)
2
– m
2
+ m – 1 = 0 (*)
1, Giải phương trình với m = – 1.
2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi giá trị của
tham số m.
3, Tìm các giá trị của m để
2
21
=+ xx
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một
điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M
1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?
2, Cho AP = R
3
. Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn
(O; R).

+
+
+
xyy
xy
xyx
xy
yx
yxyxxy
22
:
22
1
1, Rút gọn A.
2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn
6=+ yx
Bài 2 (2,5đ):
1, Tìm m để phương trình sau:
x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 1 = 0
Có nghiệm x
1
, x
2
sao cho: x
1
2

> 90
o
). Qua B dựng một tia song
song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E
là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng:
1, Độ dài dây BC không đổi.
2, Điểm E cố định.
3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.
4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x
2
+ y
2
+ z
2
≥ 1. Chứng minh:

1
333
≥++
x
z
z
y
y
x
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT

1
, x
2
. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc và m.
2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ thức:
06
1
2
2
1
=++
x
x
x
x
Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
y = mx
2
+ 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và

24
=++ xx
Bài 2 (2đ):
Tìm tham số m để hai bất phương trình sau không có nghiệm chung:
mx + 1 > 4m (1) ; x
2
– 9 < 2 (2)
Bài 3 (3đ):
Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội
tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách từ O đến 3 cạnh BC, CA, AB.
1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d)
2, Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)
3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?
Bài 4 (1,5đ):
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau.
Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác
nhau.
Bài 5 (1,5đ):
Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3
đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi S
n
là số miền con
tìm được từ n đường thẳng đó.
1, Tìm S
3
, S
4
.
2, Chứng minh: S
n

Hãy tính giá trị của biểu thức:
P = 1 + a
4
+ b
4
+ c
4

Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
8273 −=−−+ xxx
2, Giải hệ phương trình:







=+
=+++
2
51
2
911
xy
xy
yx
yx
Bài 3 (1,5đ):

F
’
có bán kính không đổi.
3, Giả sử I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau.
Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M
’
E
’
N
’
F
’
có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (1,5đ):
Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =






+











+






+






+






+





1999
1
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số của:
n – a
n
+ 1
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
)3()2()1( +=+++ xxxxxx
2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
0
145
352)23(
22
=
−+
−−+−−
xx
nnxnx
Bài 3 (2đ):
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:

xx
xx
x
x
+
+
−
−
−
+
+ 1122
1, Rút gọn P.
2, So sánh P với 5.
3, Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng biểu thức
P
8
chỉ nhận một
giá trị nguyên.
Bài 2 (3đ):
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x
2
1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1
điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3, Tìm giá trị của tham số m để S
∆ABC
bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ
các tia Ax và By vuông góc với AB. Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N









−
+
−
−
+
−
+−
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x
x
x
x

.
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O
’
;
2
R
) tiếp xúc ngoài tại A. Trên đường tròn
(O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O
’
)
tại điểm thứ hai N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB tại Q và
cắt đường tròn (O
’
).
1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O
’
AN.
2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị
đó theo R.
Bài 4 (1đ):
Cho biểu thức:
A = – x
2
– y
2
+ xy + 2x +2y
Tìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 3 (3,5đ):
Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a. Trên đoạn AB lấy điểm M. Trong nửa mặt
phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho góc AMx = góc Bmy = 30
o
.
Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng tròn tại F. Kẻ EE
’
, FF
’
vuông góc
xuống AB.
1, Cho AM =
2
a
Tính diện tích hình thang vuông EFE
’
F
’
theo a.
2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định.
Bài 4 (1,5đ):
Giả sử x, y, z là các số thực khác không thoả mãn hệ đẳng thức:





=++
−=+++++
1

Năm học 1998 – 1999
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho - 1 < x < 0. Hãy rút gọn biểu thức:
A =
4
4
3
12
48
3
2
2
+






−−+
x
x
x
x

Bài 2 (2,5đ):
1, Giải và biện luận theo a hệ phương trình sau:



+ x
2
7
là một số nguyên & hãy phân tích số A thành các thừa số nguyên tố.
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT
Đề thi chung
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
1, Chứng minh hằng đẳng thức:
2
11
2
−








+=+
x
x
x
x
(với x > 0)
2, Xét biểu thức:

Cho hệ phương trình:



−=+
=−
mmyx
myx
3732
22
2
(I) (m là tham số)
1, Giải hệ phương trình khi m = - 1
2, Tìms m để hệ (I) có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức:
S = x – y + 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham số):
0)(4
2222
=++− baabxx
(1)
1, Chứng minh rằng vói mọi giá trị của a, b thì phương trình (1) không thể có hai
nghiệm phân biệt.
2, Tìm a và b để phương trình (1) có nghiệm kép = 1
Bài 4 (4đ):
Cho (O; 3cm) và hai điểm B, C nằm trên đường tròn sao cho góc BOC = 90
o
. Trên
tia đối của tia BC lấy điểm A bất kỳ (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với M, N
là hai tiếp điểm và M nằm trên cung nhỏ BC. Gọi I là trung điểm của dây BC, tia MI cắt

+
−






+
+ x
x
x
x
x
x
2, Xét biểu thức:
P =
( )
2
2
2
2
21
1
2
21





b, Tìm a và b biết rằng:
P(
2
) = P(
3
) = 0
2, Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x.(y + z) + y.(3z + 2x) + z
2
+ 2(x
2
+ y
2
)
Bài 3 (2đ ):
Cho hai đường tròn (O; R) và (O
’
; R
’
) tiếp xúc trong với nhau tại điểm A (R
’
< R).
Trên đường tròn (O; R) lấy 1 điểm B (B ≠ A), từ B kẻ tiếp tuyến BC với đường tròn (O
’
;
R
’
) (C là tiếp điểm). Đoạn thẳng AB cắt đường tròn (O
’
; R

Xét biểu thức :
A =
122
22
23
23
+−−
−−+
aaa
aaa
với a ≠
±
1 và a ≠
2
1
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tính giá trị của biểu thức A khi a =
2
2
3, Tìm các số nguyên a sao cho A nhận giá trị là số nguyên
Bài 2 (2đ):
Cho hệ phương trình:





−=−
+=+
573

Năm 2000 – 2001
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ ):
Cho biểu thức:
A =
5811541 −−++−−− xxxx
(với x ≥ 5)
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tính giá trị biểu thức A khi biết 9 ≤ x ≤ 21
3, Tìm x để A = 4
Bài 2 (2đ):
Tìm các số nguyên a, b, c (a ≠ 0). Biết rằng 4a + 2b + c = 3 đồng thời phương trình
bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm đều là số nguyên
Bài 3 (1,5đ):
Giả sử A =
2
2
1
x
x +
và B =
x
x
1
−
với x ∈ R và x ≠ 0 sao cho A, B nhận giá tri dương.
Hãy tìm x để
B







−
−
−
−
−
2
1, Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Bài 2 (2,5đ):
1, Cho phương trình:
x
2
+ (m + 1)x + m = 0 (1)
a,Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
b, Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Tìm m để biểu thức:
B = x
1
2
x

2, Chứng minh OA
⊥
MN
3, Với góc BAC = 47
o
. Xét vị trí tương đối của điểm O với đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BFEC.
4, Cố định BC = a < 2R. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có bán
kính không đổi khi A thay đổi trên cung lớn BC.
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT

Đề thi chung
Năm 2005 – 2006
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức:
B =
)
1
1
1
3
(:)
1
8
1
1
1
1

, x
2
với mọi m. Tính nghiệm kép của
phương trình (nếu có) và giá trị m tương ứng.
2, Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
a, Chứng minh : A = m
2
– 8m + 8
b, Tìm m sao cho A = 8
c, Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m
Bài 3 (2đ):
1, Vẽ đồ thị hàm số sau:
| y | + x = – 1
2, Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH và phân giác BE. Biết góc AEB = 45
o
.
Tính góc EHC.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), kẻ hai đưòng kính AB, CD cố định và vuông góc với nhau.
Những đường thẳng nối C và D với một điểm M chuyển động trên đường tròn lần lượt cắt
AB ở E và F.

Bài 2 (2đ):
1, Vẽ đồ thị hàm số:
y = |
212
2
−+− xx
|
2, Căn cứ vào đồ thị, hãy cho biết nghiệm của phương trình:
212
2
−+− xx
= 0 và
khẳng định lại kết quả bằng phép tính.
Bài 3 (2đ):
Giải các hệ phương trình sau:
1,



=++
=++
2
4
22
yxyx
yxyx
2,




MC
BB
MB
A
MA
2, Một đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác ABC cắt BC, CA, AB thứ
tự tại A
2
, B
2
, C
2.
Chứnh minh:
3
A
2
2
2
2
2
2
=++
GC
MC
GB
MB
G
MA
3, Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh BC kéo dài về
phía C và cắt cạnh CA, AB thứ tự tại các điểm A

2
333
−
+
+
−
−
−
−+
−+
aa
a
aa
aa
1, Rút gọn P
2, Tìm a để | P | = 1
3, Tìm các giá trị của a
∈
N để P
∈
N
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vượt
mức 5 ha so với kế hoạch, nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi
mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (3,5đ):
Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB.
Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại
D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp


+ = −

2, Giải phương trinh:
2
( 2) 4x x+ + =
Bài 2 (3đ):
1, Cho hàm số: y = f(x) = 2x
2
– x + 1
Tính f
1
2
 
−
 ÷
 
; f
( )
3
2, Rút gọn biểu thức sau:
A =
( )
1 1
.
1
1
x x x
x x
x

2, Chứng minh: HB
’
đi qua trung điểm của AC.
3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C). Chứng minh: H luôn nằm trên 1
đường tròn cố định.
Bài 5 (1đ):
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 (d) và điểm
A (- 2;3).
Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d đạt giá trị lờn nhất.
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an
Đề thi vào các trường THPT
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
Năm học 2002 – 2003
(150 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
A =
(
)
2
2 4 2 2 4 2
4 4
1
x x x x
x
x
+ − − + + + −
− +
1, Rút gọn biểu thức A.
2, Tìm các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị là một số nguyên.

2003
. b
2003
Chứng minh rằng phương trình x
2
+ 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ
Bài 3 (3đ):
1, Cho tam giác cân ABC, góc A = 180
o
. Tính tỉ số
BC
AB
2, Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với
nhau. Gọi I là trung điểm của OB, Phân giác của góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường
thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C.
Tính góc ACD.
Bài 4 (1đ):
Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2 2
a b a c b c+ − + ≤ −
Với a, b, c là các số thực bất kỳ.
Lª V¨n TuÊn Tr– êng THCS B¹ch Liªu ,Yªn thanh , nghÖ an