SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 03/11/2009
Câu 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2
2
4
4
4 .
y x x
z y y
x z z

 

 


 

Câu 2. (4,0 điểm)
Cho hai dãy số
 
n
a
và

nguyên của số thực
x
). Chứng minh rằng dãy số
 
n
b
có vô số số hạng dương và
vô số số hạng âm.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho đa thức với hệ số thực
1
1 1 0
( )
n n
n n
P x a x a x a x a


    
có
n
nghiệm
thực phân biệt. Chứng minh rằng
 
2
1 1
2 1
. . , 1;2; ; 1 .
2 2
k k k

AB
và
AC
lần lượt tại hai điểm
Q
và
R
. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
PQR
đi qua trung điểm của cạnh
.BC
Câu 5. (4,0 điểm)
Gọi
n
S
là tập hợp tất cả các hoán vị
1 2
( , , , )
n
a a a
của tập hợp
 
1,2, ,n
sao cho
trong mỗi hoán vị có đúng một phần tử lớn hơn tất cả các phần tử đứng trước nó.
Tìm số phần tử của tập hợp
n
S
và tính giá trị trung bình cộng của các số
1