Đề số 5: Huế 2008- 2009
Bài 1: (3 điểm)
Cho phương trình
1 1
cos sin 0 (1)
sin cos
x x m
x x
- + - + =
a) Với
2
3
m =
, tìm các nghiệm của phương trình (1) trên khoảng
3
;
4 4
p p
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
.
b) Với giá trị nào của

3
log log
4
y
xy x y
x
x
y
ì
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
î

b) Giải bất phương trình:
2 3 2 3
4 4
1 3
log log 3 log log
2 2
x x x x+ > +
Bài 4: (2 điểm)

a) Tính tổng các số chẵn có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4.
b) Tìm hệ số của số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
Niu-tơn của
3
2
3
1
n
x x
x
æ ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
biết rằng tổng các hệ số của các số
hạng trong khai triển này là
0 1 2
4096
n
a a a a+ + + + =
Bài 6: (3 điểm)


a)
(1,5)
Đặt
cos sin 2 cos
4
t x x x
p
æ ö
÷
ç
÷
= - = +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
,
2 2t- ££
,
2
1
sin cos
2
t
x x
-
=

- - + +
- < - = < < > = >
Do đó phương trình (*) chỉ có một nghiệm
2 7
3
t
-
=
Suy ra phương trình (a) tương đương
2 7 2 7
2 cos cos
4 3 4
3 2
x x
p p
æ ö æ ö
- -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = + =Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Theo giả thiết:
3
0

2
2
(1) 2 2, 1
1
t
t m t t
t
+ = - - ±Û £ £ ¹
-
(2)
Nhận xét: phương trình
( )
2 cos 2, 1 cos
4 4
2
t
x t t t x
p p
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = ± + =£ Û
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
chỉ có một

÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
thì phương trình (2) có 2 nghiệm.
Xét hàm số
( )
2
2
( ) 2 2, 1
1
t
g t t t t
t
= + - ±££¹
-
.
( )
( )
{ }
2
2
2
2 1


2

g(t)
2-

- ¥

- ¥
0,5
Bài 2
(3đ)
a)
(1,0)

Ta có:
·
·
arccot 2 2 arct an 2
BI
A BI IA B
A I
a
= = = =Þ Þ
(không đổi).
Nếu đặt
A I a=
thì
3 3
3

đồng dạng F.
0,25
Tương tự, D là ảnh của C qua 2 phép biến hình liên tiếp: Phép quay tâm A, góc
a
và phép vị tự
tâm A tỉ số
3
2
k =
. Phép biến hình hợp thành của hai phép biến hình này là phép đồng dạng
F'
Vậy: D là ảnh của C qua phép đồng dạng F' tỉ
3
2
k =
.
0,5
0,25
Để xác định quỹ tích của B:
Ta chọn một điểm C trên (O), dựng trung điểm I của AC, dựng hình vuông AIKL, dựng đường
trũn tõm I bỏn kớnh IL ct trung trc on AC ti B. Dng hỡnh thoi ABCD. Dng ng trũn
tõm A bỏn kớnh AC ct tia AB ti M.
dng nh ca O l O' qua phộp quay Q(A,
a
-
): Dng trung im J ca AO, dng hỡnh
vuụng AJRS, dng ng trũn tõm J bỏn kớnh JS ct trung trc on AO ti P. Dng ng trũn
tõm A bỏn kớnh AO ct tia AP ti O'. Qua B k ng thng song song vi MO' ct tia AP ti
O".
Qu tớch ca B l ng trũn tõm O", bỏn kớnh R" = O"A

x y
x
y
y
ỡ
ỡ
ù
+ =
ù
=
ù
ù
ù
ù
ù ù
> > ạ
ớ ớ
ù ù
- =
=
ù ù
ù ù
ù
ợ
ù
ợ
0,5
t:
2 2
log ; logu x v y= =

ù ù
ổ ử
ạ ạ
ớ ớ
ữ
ỗ
ù ù
ữ
= +
ỗ
- =
ữù ù
ỗ
ữ
ỗ
ù ù
ố ứ
ù
ợ
ù
ợ
(2)
Nu
0u =
thỡ
0v =
trỏi vi iu kin. Do ú
0u ạ

Suy ra:

ù
ù
ữ ữ
ù ù
ỗ ỗ
-
ữ ữ
= - =ạ
ỗ ỗ
ớ ớ
-
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ù ù ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ù ù
- + =
= +
ù ù
ù
ợ
ù
ù
ợ
0,5
Do úh phng trỡnh ó cho cú hai nghim:
( ) ( )
( )
1

log 2 log 3 0
log 3 0 log 3 0
x x
x x hay
x x
ỡ ỡ
ù ù
- > - <
ổ ử
ù ù
ữ
ỗ
ù ù
ữ
ỗ
- - >
ớ ớ
ữ
ỗ
- > - <
ữ
ù ù
ữ
ỗ
ố ứ
ù ù
ù ù
ợ ợ
3
4

4
27
4
3 27
64
4 64
x
x
x
ỡ
ù
<
ù
ù
ù
< <
ổử
ớ
ữ
ỗ
ù
ữ
> =
ỗ
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ

Suy ra:

( ) ( ) ( )
2 (4 1 1) (4 1) (4 2 1) 2 4 3 (4 1) (4 7)k k k k k k
ộ ự ộ ự
+ - = - + + - + = - + +
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
1 1
4 3 4 1 4 7 4 1 4 3 4 7
2 2 2 2 2 2
k k k k k k
k k k k k k
- -
+ - + - + +
= + = -
0,5
0,5
Suy ra:
2 3 1
2 2 3 3 4 2 1 1
3 7 11 4( 1) 1 4 1

2
2 2 2 2
11 11 15 15 19 4 1 4 3 4 3 4 7
7
2 2 2 2 2 2 2 2 2
n
n n

0,5
Bài 5 (3 đ)
a)

(1,5đ)
Các số cần tính tổng có dạng
abcd
với
{ } { }
, , 1, 2, 3, 4 , 2, 4a b c dÎ Î
Ta có
3 2 3 2
10 10 10 10 10 10abcd a b c d abcd a b c d= + + + = + + +Þ
å å å å å
Có tất cả:
4 4 4 2 128=´ ´ ´
số chẵn gồm 4 chữ số được viết từ
{ }
1, 2, 3, 4
, trong đó:
mỗi chữ số
, ,a b c
xuất hiện
4 4 2 32=´ ´
lần
mỗi chữ số d xuất hiện
4 4 4 64=´ ´
lần.
Do đó:
( )

n
k
k
f x x x a x x
x
-
-
=
æ ö
÷
ç
÷
= + =
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
å
( )
12
0
(1) 1 1 2 4096 2 12
n
n
n
k
k
f a n

æ ö
÷ ÷
÷
ç ç
ç
÷ ÷
÷
ç ç
+ = = =
ç
÷ ÷
÷
ç ç
ç
÷ ÷
÷
ç
÷ ÷
ç ç
è ø
è ø è ø
å å å
Số hạng không chứa
x
ứng với
6 60 0 10k k- + = =Û
.
Vậy số hạng không chứa
x
có hệ số là:

ữ
ỗ
ố ứ
0,5
Khi th viờn bi vo thỡ nc dõng lờn va ph kớn qu cu, tc l mt nc tip xỳc vi mt cu.
Gi x l bỏn kớnh ca viờn bi, ta cú:
3
4
3
C
V x
p
=
.
Th tớch ca khi nún cha nc v qu cu l:
2 3
2
1
1 1 1
2
1 1
3 3
R h
V r h
h
p
p
= =
0,5
( )

p
= = + +
Ta cú:
( )
3 2 3 3
3
2 2
1 0
2 2
1 1 4
3 3 3
C
x R a x
V V V R R h
R h h
p p p
- = + + - =
( ) ( )
3 3
3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 3 3
4 4x R R h a R Rh x R R h Rh x a R
ộ ự
ờ ỳ
+ + - = + + - =
ờ ỳ
ở ỷ
Vi iu kin:
( )
3
2 2 2

R R h R h R R h
=
+ + - + +
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
I
S
( )
( )
( )
3
3
3 2 2 2
2 2 2
3
3
3
2 2
2 2
4
4
h R R h R h
h R R h Rh
a a
R R h
R R h

ù
ù
ù
ù
ớ
ì + + -
ù
ù
ù
< Ê
ù
ù
ù
+ +
ù
ợ
Vi iu kin ny, bỏn kớnh ca viờn bi l:
( )
3
2 2 2
3
4
aR
x
R R h R h
=
+ + -
a)
(1,5)
ã

2
3 tan
2 tan 4
a
r
j
j
=
+ +
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Bi 7
(3 )
b)
(1,5)
Mt phng (P) to bi AB v phn giỏc MT ca gúc
ã
SMO
j
=
, ct hỡnh chúp theo thit din l
tam giỏc cõn ABN (N l giao im ca tia phõn giỏc
MI v SC)
Gi H
1
v H

0,5
A
B
C
S
O
M
I
N
H
1
H
2
A
B
C
S
O
M
I
H
K
L