Kỳ THI THử CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH
NĂM HọC 2008 2009
MÔN TOáN LớP 12
Thời gian làm bài 180 phút
(không kể thời gian giao đh)
Bài 1: (3.0 điểm)
1. Giải phơng trình:
2
2 cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x)+ + = +
(1)
2. Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
1 1 1 1
tg B.tg C tg B.tg C tg C.tg A tg C.tg A tg A.tg B tg A.tg B 6
+ + =

Chứng minh tam giác ABC đu.
Bài 2: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy điểm N di
động sao cho
1 1 1
AM AN l
+ =
(không đổi).Chứng minh rằng đờng thẳng MN đi qua
một điểm cố đnh.i
Bài 3: (3.0 điểm)
1.Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau:
6 3 2 2 2 2 3
15 3 ( 5)x z x z x y z y
+ = +

ù
= -
ù
ù
+
ù
ợ
trong đ -1 <a < 0
1. Chứng minh rằng: - 1 < U
n
< 0 với
n" ẻ Ơ
và (U
n
) là một dãy số giảm.
2. Tìm Lim U
n
Bài 5: (2.0 điểm): Chứng minh bất đẳng thức sau:

3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
9
2 2
a b c a b b c c a
abc
c ab a bc b ac
+ + + + +
+ + +
+ + +
Bài 6: (3.0 điểm)

ữ ữ


2 2 cos 2x 6 cos x
3 6


+ =
ữ ữ

0.5

1 cos 2x 3cos x
3 6


+ =
ữ ữ


2
2 cos x 3cos x
6 6


=
ữ ữ


3

+ + =

Chứng minh tam giác ABC đu.
0.5
Trong mọi tam giác nhọn ta luôn c : tg A + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
1 1 1
1
tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB
+ + =
(1)
Đặt
1 1 1
x ,y ,z
tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB
= = =
thì t (1) ta c: x + y + z = 1 (2)
Mặt khác:
3 3
3 3
3 3 2 2
1
1 x x
tg B.tg C
1
tg B.tg C tg B.tg C 1 x y z
1
tgB.tgC
= = =
+


+ + +
+ + + + + +
+ + +

0.5
Cộng v theo v các bất đẳng thức trên ta đ ợc:

do(2)
1 1 1 1
P (x y z) (x y z) P
6 6 2 6
+ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1
x y z
3
= = =
Khi đ tg A = tgB = tgC hay ABC đu (đpcm).
3.0
Bài 2:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy
2
điểm N di động sao cho
1 1 1
AM AN l
+ =
(không đổi).Chứng minh rằng đờng
thẳng MN đi qua một điểm cố đnh.i
0.5
0.5

2
A
AI l =
(không đổi)
=> I cố đnh và MN
0.5
Vậy đờng thẳng MN qua 1 điểm cố đnh u.
3.0
Bài 3:
1.5
Bài 3.1.
Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng sau:
6 3 2 2 2 2 3
15 3 ( 5)x z x z x y z y
+ = +
0.5
0.5
áp Dụng BDT Cauchy cho 3 số; ta đc
Dấu xảy ra
0.5
T ph ơng trình:
( phơng trình ớc số; dễ dàng tìm đc rồi tìm ra )
Đ áp số : nghiệm phơng trình là
1.5
Bài 3.2. Chứng minh rằng:
2009 2007
2007 2009+
chia h t cho 8.
0.5
Ta c :

Do đ
2
1
0 1
1
n
n
U
U
+
< <
+
và
2
1
1 1 0
1
n
n
U
U
+
- < - <
+
tức là: - 1 < U
n+1
< 0
Vì - 1 < U
n
< 0 nên U

3
0.5
Đặt
2
1
1;
1
n n
V U q
a
= + =
+
ta c : 0 < q < 1, V
n
> 0
và
1
.
n n
V qV n
+
"Ê
0.5
Ta c :
2 1
. ( 1).V V q a q= +Ê

2
3 2
1

+
< + + "Ê
+
T đẳng thức (1) suy ra:
1
2
1
1 ( 1) (3)
1
n n
n
U U n
U
+
+ = + "
+
Vì U
n
là dãy giảm; -1 < U
n
< 0 với mọi n và U
1
= a nên:
1 0
n
U a- < <Ê
với
n"
t đ suy ra:
2 2

U U n
a
+
< + + "Ê
+
2.0
Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức sau
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
9
2 2
a b c a b b c c a
abc
c ab a bc b ac
+ + + + +
+ + +
+ + +
0.5
Ta c :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a
V T
bc ac ab
c ab a bc b ac
+ + +
= + + + + +
+ + +
0.5

3 9
2 2 2
2 2
a bc bc b ac ac c ab ab
V T
bc ac ab
a bc b ac c ab
+ + +
+ + + + + -
+ + +
+ + - =
Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c
3.0
Bài 6:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh AB và AD lần lợt lấy hai
điểm di động E, F sao cho: AE + EF + FA = 2a.
1.5
6.1. Chứng tỏ rằng đờng thẳng EF luôn ti p xúc với một đ ờng tròn cố đnh.u
0.5
A E B K

4
H

F
D C
0.5
Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF .
∆ DFC = ∆ DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 90
0

CEF
= S
CDFEB
⇒ S
CEF
= 1/2 ( a
2
– S
AEF
)
S
AEF
≥ 0 ⇒ S
CEF
≤ 1/2 a
2
. Dấu “=“ xảy ra “⇔ S
AEF
= 0
0.5
⇔ E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D .
Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì S
CEF
đạt giá trị lớn nhất .
3.0 Bài 7:
1.5
7.1. Cho các số 1,2,3,4,5,6,7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7
chữ số trên sao cho không tận cùng là chữ số 4
1.5
Kết quả: 14406