THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

1

TRƯỜNG ðHSP HÀ NỘI
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN I NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
– ðHSP Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao ñề
========================================== Câu 1. ( 2,0 ñiểm )
Cho hàm số y = 2x
3
+ 9mx
2
+ 12m
2
x + 1, trong ñó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số ñã cho khi m = - 1.
2. Tìm tất cả các giá trị của m ñể hàm số có cực ñại tại x
Cð
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
x
2

ñể thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
6
2
3
a
.
Câu 4. ( 2,0 ñiểm )
1. Giải bất phương trình: (4
x
– 2.2
x
– 3). log
2
x – 3 >
2
1
4
+x
- 4
x
.
2. Cho các số thực không âm a, b.Chứng minh rằng:
( a
2
+ b +
4
3
) ( b
2
+ a +

2
sao cho
OM
+ 4
ON
=
0
. ……………………………… Hết…………………………………
THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

2

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010

1
12
−
−
x
x
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) của hàm số.
2. Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( C ) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy
lần lượt tại các ñiểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.
Câu 2. ( 2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình:
x
x
xx
cos
sin
cossin
−
+
+ 2tan2x + cos2x = 0.
2. Giải hệ phương trình:





=−++++
=−++++
011)1(

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số a ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất:
log
5
(25
x
– log
5
a ) = x.
2. Cho các số thực dương a, b, c thay ñổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng :
.2
222
≥
+
+
+
+
+
+
+
+
b
a
ac
a
c
cb
c
b
ba

=============================================
==============================================

7THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

8THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

9TRƯỜNG ðHSP HÀ NỘI ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN III NĂM 2010
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ðHSP Môn thi: TOÁN
_______________
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát ñề
==========================================
Ngày thi: 28 – 3 – 2010
Câu 1. ( 2,0 ñiểm). Cho hàm số y = x
4
+ 2m
2

∫
+
3
0
2
sin3cos
sin
π
dx
xx
x
.
2. Trong không gian, cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên
ñường thẳng d ñi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy ñiểm S sao cho mp( SBC) tạo
với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Câu 4. ( 2,0 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình:





+=+
+=+
)1(51
164
22
33

22
1
z
ty
txHãy tịm trên ñường thẳng d các ñiểm B và C sao cho tam giác ABC ñều.
2. Trong mặt phẳng Oxy cho elíp (E) có tiêu ñiểm thứ nhất là ( -
3
; 0) và ñi qua ñiểm
M ( 1;
5
334
). Hãy xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của (E).

Hết

D kin thi th ln sau vào các ngày 17,18 tháng 4 năm 2010.

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================







=−+
=
(*)012
0
23
xmx
x
ðặt g(x) = x
3
+ 2m
2
x – 1 ;
Ta có: g’(x) = 3x
2
+ 2m
2

≥
0 (với mọi x và mọi m )
⇒
Hàm số g(x) luôn ñồng biến với mọi giá trị
của m.
Mặt khác g(0) = -1
≠
0. Do ñó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0.

x – tan x
⇔
1 – sin2x = tanx ( sin 2x – 1)
⇔



−=
=
1tan
12sin
x
x⇔






+−=
+=
π
π
π
π
.
4

π
k+
. ( Thỏa mãn ñiều kiện (*) ).
2. Giải phương trình: 2log
3
(x
2
– 4) + 3
2
3
)2(log +x
- log
3
( x -2)
2
= 4 (2).
ðiều kiện:





≥+
>−
0)2(log
04
2
3
2
x

(x
2
– 4)
2
– log
3
(x – 2)
2
+ 3
2
3
)2(log +x
- 4 = 0

⇔
log
3
( x + 2)
2
+ 3
2
3
)2(log +x
- 4 = 0
⇔
(
2
3
)2(log +x
+ 4) (

1/ Biến ñổi : 2log
3
( x
2
– 4) = log
3
(x
2
– 4)
2
làm mở rộng tập xác ñịnh nên xuất
hiện nghiệm ngoại lai x = -2 +
3
.
2/ Nếu biến ñổi: log
3
( x – 2)
2
= 2log
3
( x – 2) hoặc log
3
( x+2)
2
= 2log
3
(x+2) sẽ
làm thu hẹp tập xác ñịnh dẫn ñến mất nghiệm ( Lỗi phổ biến của học sinh!)
Câu 3.
1. Tính tích phân: I =

sin3
cossin
+
.
ðổi cận: Với: x = 0 thì t =
3
; x =
3
π
thì t =
2
15

THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

11

I =
∫
+
3
0
2
.
sin3cos
sin
π
dx

1
(
4
1
2
15
3
−
−
+
∫
=
=
2
15
3
2
2
ln
4
1
−
+
t
t
=
)
23
23
ln

⇒
BC
⊥
SC ( ðịnh lý 3 ñường
vuông góc) . Hai ñiểm A,C cùng nhìn ñoạn SB dưới góc vuông nên mặt cầu ñường kính
SB ñi qua A,C. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu ñường kính
SB.
Ta có CA = CB = AB sin 45
0
= a
2
;
=
∠
SCA
60
0
là góc giữa mặt (SBC) và mp(ABC)
SA = AC.tan60
0
= a
6
.Từ ñó SB
2
= SA
2
+ AB
2
= 10a
2

Từ (2) suy ra y
2
– 5x
2
= 4 (3). Thế vào (1) ñược: x
3
+ (y
2
– 5x
2
).y = y
3
+ 16x
⇔

⇔
x
3
– 5x
2
y – 16 x = 0
⇔
x = 0 hoặc x
2
– 5xy – 16 = 0.
TH1: x= 0
⇒
y
2
= 4 ( Thế vào (3)).

x
4
– 32x
2
+ 256 – 125x
4
= 100x
2

⇔
124 x
4
+132x
2
– 256 = 0
⇔
x
2
= 1
⇔
x =
±
1.
Thế vào (4) ñược giá trị tương ứng y =
3
∓
.
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x;y) = (0;2) ; (0;-2); (1;-3); (-1; 3).
Chú ý: Nếu thay giá trị của x vào (3) ở trường hợp 2, sẽ thừa 2 cặp nghiệm!
2. Tìm GTNN của hàm số: f(x) =

≥
( Bất ñẳng thức Cosi cho hai số dương).
Dấu bằng xảy ra khi : x
2
– 2x + 2 =1
⇔
x = 1.
Vậy: min f(x) = 2 ñạt ñược khi x = 1.
Câu 5.
1. Tìm các ñiểm B,C?
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. H
∈
d
⇔
H ( 1-t; 2+2t;3)
⇔

AH
= ( 1-t; 1+2t; 0). Mà AH
⊥
d nên
d
uAH ⊥
( -1;2;0). Từ ñó có -1(1-t)+2(1+2t) =0
⇔

t = -1/5
⇔
H ( 6/5; 8/5; 3).
Ta có AH =

⇔
s =
5
31 ±−

Vậy: B (
)3;
5
328
;
5
36 ±∓
và C(
3;
5
328
;
5
36 ∓±
) ( Hai cặp).
2. Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của (E)?
THI THỬ TRƯỜNG CHUYÊN ðHSP HÀ NỘI 2009 - 2010
=============================================
==============================================

12

Theo bài ra có F
1
( -

2
= c
2

⇒
b
2
= a
2
– c
2
= 22. Vậy tọa ñộ các ñỉnh của (E) là:
A
1
( - 5;0) ; A
2
( 5;0) ; B
1
( 0; -
22
) ; B
2
( 0;
22
).

Hết
✤
✣
✜

√
x − 2y = x + 3y − 2
(Với x, y ∈ R).
2. Giải phương trình: sin 2x +
(1 + cos 2x)
2
2 sin 2x
= 2 cos 2x.
Câu III. (2 điểm)
1.Tính tích phân: I =

π

2
π

4
x cos x
sin
3
x
dx.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên (SBC)
vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc α. Tính thể
tích hình chóp S.ABC.
Câu IV. (2 điểm)
1. Tìm nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i)z
2
− 4(2 − i)z − 5 − 3i = 0.
2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:




x = t
y = −7 + 2t
z = 4
. Gọi ∆

là giao
tuyến của hai mặt phẳng (P ) : x −3y + z = 0, (Q) : x + y − z + 4 = 0. Chứng minh
rằng hai đường thẳng ∆ và ∆

chéo nhau. Viết phương trình (dạng tham số) đường
vuông góc chung của hai đường thẳng ∆, ∆

.
1HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 DHSP HÀ NỘI LẦN IV

Câu 1. 1. Tự làm.
2. Ta có y’ = 6x
2
– 6(2m+1)x + 6m(m+1)
Þ
y’ = 0 khi x
1
=m hoặc x
2

+ 3m
2

Þ
AB =
2
không đổi (đpcm!).
Câu 2.1. Giải hệ: Điều kiện: y
¹
0; x – 2y
³
0; x + 02 ³- yx .
Pt
Û
0622 = yyx
y
x
Û
6
2
2
2
-
-
-
-
y
yx
y
yx


Với
y
yx 2-
= -2
Û

î
í
ì
+=
<
yyx
y
24
0
2
thay vào pt(2) ta được nghiệm: x =12, y = - 2.
Vậy hệ có hai nghiệm(x;y) = (12;-2),(
9
4
;
3
8
).
2. Giải phương trình lượng giác:
Điều kiện: sin2x
¹
0. Pt
Û

1
.2
sin
cos
-
= 0
Û
cot
3
x – 2cot
2
x + 3 = 0
Û
(cotx + 1)(cot
2
x – 3cot x + 3)
= 0
Û
cotx = -1 ( Vì cot
2
x – cotx + 3> 0)
Û
x =
Zkk Î+- ,.
4
p
p
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm: x =
Zkk Î+- ,.

)
sin
1
(
2
1
p
p
x
xd
=
2
4
2
|
sin
1
.
2
1
p
p
x
x- +
2
4
2
4
2
|cot

(ABC) ( vì: (SBC)
^
(ABC) ).
Hạ HM
^
AB, HN
^
AC thì
Ð
SMH =
Ð
SNH =
a

Þ

D
SHM =
D
SHN
Þ
HM = HN
Þ
H là trung điểm của BC ( vì tam giác ABC đều)
Þ
HM =
4
3
2
ah

2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
Z
1
= i
ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
-=
-
-
=
+
-
=
+
+
-

Ta có:
22)(2
)(22)(
22
yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy
x
yx
xyyxx
yx
xyx -
=
+
-=
+
+
-³
+
-=
+
-+
=
+
-
(1)( vì

³
+
-
+
+
-
+
+
- xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
.Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
(đpcm!).
Câu 5. 1. Xác định tọa độ các đỉnh:
Đường thẳng AB đi qua M(2;-3) nên có phương trình: a(x – 2) + b(y + 3) = 0, ( a
2
+ b
2

¹
0).
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên:
22
0
.50
7

2
: 3x – 4y – 18 = 0.
+)Nếu lấy AB là d
1
: 4x + 3y + 1 = 0 thì AC// d
2
nên AC là:3(x -7) –4(y –7) = 0
Û
3x –
4y+7 = 0.
Hệ phương trình tọa độ A:
î
í
ì
=+-
=++
0743
0134
yx
yx

Û
A(-1;1)
Hệ phương trình tọa độ B:
î
í
ì
=-+
=++
0317

D
đi qua M(0;-7;4) và có VTCP ).0;2;1(
1
=u
Đường thẳng
D
’ đi qua N(0;2;6) có VTCP
2
u
= (
1 1
31
;
11
1 1
;
11
31 -

-
) = (2;2;4)
Ta có [
21
,uu
] = (8;-4;-2) và
)2;9;0(=MN
Þ
[
21
,uu

’.
Ta có: H=( t; -7+2t;4), K(s;2+s;6+2s)
Þ

HK
( s – t; 9 + s – 2t; 2 + 2s) cũng là VTCP của
d.
Suy ra :
1
22
2
29
4
-
+
=
-
-
+
=
-
ststs

Þ
s =
21
11
- , t =
7
23

23
.