Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÔNG GIAN

I. Dạng toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau .
Bài toán : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
1 2
7 3 9 3 1 1
: , :
1 2 1 7 2 3
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
− −
.
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau
b) Viết phương trình đường vuông góc chung.
Lời gải:

( )
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
M(7;3;9) N(3;1;1)
) , 8;4;16
(1;2; 1) ( 7;2;3)
4; 2; 8 , . 168 0
qua qua
a d d u u

 
= =
 
uur ur uur
.
+Mặt phẳng (d1,d) qua M(7;3;9) và có VTPT
1 1
, 12(3; 2; 1)n u u
 
= = − −
 
ur ur uur
nên có
phương trình 3(x – 7) – 2(y – 3) – 1(z – 9) = 0
⇔
3x – 2y – z – 6 = 0
+Mặt phẳng (d2 , d) qua N(3;1;1) và có VTPT
2 2
, 4(5;34; 11)n u u
 
= = −
 
uur uur uur
nên có
phương trình 5(x – 3) + 34(y – 1) – 11(z – 1) = 0
⇔
5x + 34y –11 z –38 = 0 .
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (d1,d) và (d2 , d) nên các điểm
thuộc d có toạ độ thoả mãn hệ
3 2 6 0

4
x t
y t
z t

= +



= +


=



- 1 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
Cách 2:

1 2
7 3 7 '
3 2 , 1 2 '.
9 1 3 '
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = −
 
 

t A
AB u
t t
t t
t B
AB u


= ⇒
=
+ =

 
⇔ ⇔
  
+ =
= ⇒
=





uuur ur
uuur uur
.
Vậy phương trình đường vuông góc chung là AB:
7 3 9
2 1 4
x y z− − −

, (Q) là mặt phẳng qua A và chứa
d
2
. Suy ra d là giao tuyến của (P) và (Q), tìm một vectơ chỉ phương của d là
,
P Q
n n
 
 
uur uur

kết hợp với d qua A ta viết được phương trình tham số của d.
+mp(P) qua A và có VTPT
( )
1
3;1;1u =
ur
có phương trình
3 2 0x y z+ + − =
+mp(Q) qua A và có VTPT
( )
2 2
, 1; 1;1AM u
 
= −
 
uuuur uur
có pt
0x y z− + =
+ Đường thẳng d qua A và có VTCP

AB u t AB
− −
= ⇔ = − ⇒ = − = =
−
uuur ur uuur
.
III. Dạng toán: Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d
1
và song song với (P)
Bài toán: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua

- 2 -
Nguyễn Chơn Ngôn-THPT TX Quảng Trị
A( 3;-2;-4), cắt đường thẳng
1
2 3
: 4 2 vµ song song (P):3 2 3 7 0
1 2
x t
d y t x y z
z t
= +


= − − − − − =


= +

Cách1: Viết mặt phẳng (Q) qua A và chứa d

3 5
2 6
4 9
x t
y t
z t
= +


= − −


= − +

Cách 2: Gọi
(2 3 ; 4 2 ;1 2 ) M t t t+ − − +
là giao điểm của d với d
1

Sử dụng điều kiện

P
AM n⊥
uuur uur
ta có t = 2. Vậy d có phương trình
3 5
2 6
4 9
x t
y t


= −

Cách1: Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và vuông góc (P), mặt phẳng (R) chứa
d
2
và vuông góc (P). Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (Q) và (R).
+
( )
1
1
M 1; 1;0
( )
; (2;1; 3)
P
qua
Q
VTPT n u

−


 
= −

 

uur ur

P R
u n n
 
= =
 
uur uur uur
và d qua
điểm
6
5
6 7 7
; ;0 :
5 5 5
x t
A d y t
z t

= +


−

 
− ⇒ = +

 ÷
 

=


3 ' 2 2 '
3 ' 2 ; 2 ; ' . ( )
1 1 1
t t t t t
AB t t t t t d P
− + − − + − −
− + − − + − − ⊥ ⇔ = =
uuur
( )
7
7 6 1
5
1
; ;
6
5 5 5
5
:
58
9
'
1;1;1
1
5
5
5
x t
A
t
d y t

uuur

V: Dạng toán tìm điểm M trên đường thẳng d thoả mãn điều kiện cho trước:
Bài toán 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4)

và đường thẳng
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −


= − +


=

. Tìm M thuộc d sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Cách 1: Gọi I là trung điểm AB, ta có
2
2 2 2
2
2

 
= − + =
 
⇔ ⇒ −
 
= =
 
 
− − + = =
 
Cách 2: Gọi M(1 – t ; - 2 + t; 2t) thuộc d.
2 2 2
12 48 76MA MB t t+ = − +
.
MA
2
+MB
2
nhỏ nhất k.v.c.k t = 2 ( sử dụng cực trị của hàm số bậc hai).
Vậy M(-1;0;4)
Bài toán 2: Cho A(2;-1;1), B(-2;3;7) và đường thẳng
2 2 1
:
2 2 3
x y z
d
− − +
= =
− −
.

∩ = ⇒

= − −


− − + =

Cách 2 Gọi I( 2+2t; 2 – 2t; -1 - 3t) thuộc d.

( )
2
4 4 ; 2 4 ;10 6 68 136 120IA IB t t t IA IB t t+ = − − − + + ⇒ + = + +
uur uur uur uur

IA IB+
uur uur
nhỏ nhất k.v.c.k t = -1. Vậy I( 0;4;2)
Bài toán 3: Cho
2 2
: .
3 2 1
x y z
d
+ +
= =
−
Tìm toạ độ điểm A’ là hình chiếu của A
trên đườn thẳng d.
Cách1: Viết pt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d, tìm toạ độ giao điểm của d
và (P) ta có điểm A’


1
0
1
x
y
z
=


⇔ =


= −

. Vậy A’(1;0; - 1)
Cách 2: Gọi
( ) ( )
' 2 3 ; 2 2 ; ' 3 6;2 1; 2A t t t d AA t t t− + − + − ∈ ⇒ = − + − −
uuur
. A’ là hình chiếu
của A trên d k.v.c.k

( )
'. 0 3(3 6) 2(2 1) 1( 2) 0
1 ' 1;0; 1
d
AA u t t t
t A
= ⇔ − + + − − − =

=

= − = −
 
+ +
 
= − + = + = =
 
 
= − + = +
 
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng

2 4 1
3 2 3 7 0 vµ c¾t ®t
3 2 2
x y z
x y z
− + −
− − − = = =
−
Kq:
3 2 4
5 6 9
x y z− + +
= =
−
Bài 3: Tìm toạ độ hình chiếu H của A(2;-1;5) trên
4 2
: Kq: H(4;0;2)


= −

x t
y t
z t
.
Bài 5: Viết PTĐT qua M(2;-1;0), vuông góc và cắt
1
3
2
2 5
1
: 5 Kq: 1 3
2
0.
6
x t
x t
d y t y t
z
z t

= − +

= +


 
= − = − −


Lập PTĐT
∆
vuông góc (P),
∆
cắt cả
1 2
; .d d
Kq:
7
5
6
5
1
5
x t
y t
z t

= +



= − +



= +



qua A, vuông góc và cắt trung
tuyến xuất phát từ C.
Kq:
12
2
5
3
5
10
1
7
2
x t
y t
z t

= −



= −



= −


Bài 9:
Cho M(1;2;-1) và
1 2 2

- 8 -