Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
MỤC LỤC

Trang
ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………………………… 3
CƠ SỞ LÝ LUẬN…………………………………………………………….4
CƠ SỞ THỰC TIỄN………………………………………………………….4
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI…………………………………… 5
A. Các dạng bài toán về hình chiếu vuông góc………………………………….5
Dạng 1:…………………………………………………………………….5
Dạng 2:…………………………………………………………………….6
Dạng 3:…………………………………………………………………….6
Dạng 4:…………………………………………………………………….7
Kết luận:……………………………………………………………… 7
Một số bài tập tham khảo……………………………………………………… 8
B. Các dạng bài toán về đối xứng:…………………….…………………………8
Dạng 1:…………………………………………………………………….8
Dạng 2:…………………………………………………………………….9
Dạng 3:…………………………………………………………………….9
Dạng 4:………………………………………………………………… 10
Kết luận:………………………………………………………………….11
Một số bài tập tham khảo……………………………………………… 11
C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:………………………… 12
Bài toán 1:……………………………………………………………… 12
Bài toán 2:……………………………………………………………… 13
Bài toán 3:……………………………………………………………… 14
Bài toán 4:……………………………………………………………… 14
Bài toán 5:……………………………………………………………… 15
1
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn

giáo khoa mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian
không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng" Tìm tọa độ các điểm. Viết
phương trình các đường thẳng trong không gian" chủ yếu sử dụng phương trình
tham số của đường thẳng.
Với suy nghĩ trên tôi xin được trình bày một số kinh nghiệm của mình
vể việc sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: "
Tìm tọa độ các điểm. Viết phương trình các đường thẳng trong không gian"
3
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
nhằm trao đổi với các thầy, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập
tốt và nâng cao chất lượng học tập.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ở phần phương pháp tọa độ trong không gian khi yêu cầu bài toán phải
đi “Tìm tọa độ một điểm hay viết phương trình một đường thẳng trong không
gian ”. Ngoài việc cần sử dụng các kiến thức đã được học ở sách giáo khoa ra ta
còn phải chú ý đến tính quan hệ vuông góc, song song và tính đối xứng của:
hai điểm, điểm và đường, đường và mặt rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo
phương trình tham số của đường vào bài toán. Khi đó ta áp dụng vào giải bài
toán hình học sẽ đơn giản và được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn
và cách giải bài toán gọn gàng hơn.
CƠ SỞ THỰC TIỄN
Sau khi nghiên cứu và áp dụng thực tế vào các tiết dạy học cho học
sinh. Tôi thấy học sinh rất hứng thú khi gặp những dạng toán này và đa số học
sinh biết cách vận dụng để giải các bài toán đó, đồng thời qua cách giải đó các
em còn có thể đưa ra các bài toán tương tự, các bài toán mới. Qua đó bồi dưỡng
cho các em niềm say mê học tập; khả năng tự học; phát huy được tính tích cực
học tập, khả năng sáng tạo của học sinh.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
4

thẳng d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
1
22
32

Nhận xét: Đối với bài toán này ta lấy H
∈
d, khi đó H là hình chiếu của
M trên đường thẳng d khi và chỉ khi
u
r
.
MH
uuuur
= 0 (
u
r
là VTCP của d)
Hướng dẫn giải:

Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Dạng 2: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; - 1; - 5) trên
mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Thực chất của bài toán này là viết phương trình đường thẳng d
qua điểm M và vuông góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và
mp(P)
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có
phương trình:





−−=
+−=
+=
tz
ty
tx
25
1
26

Gọi H = d
∩
(P). Ta có H
∈
d
⇒

khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song
song với d.
Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; - 1; - 5), có VTCP
u
= (4; - 2; 3)
mp(P) có VTPT
n
= (2; 1; - 2)

u
.
n
= 0 và M
∉
(P) nên: d // (P)
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; - 3; - 1) (Theo dạng 2)
6
d
P
M
H
d
H
M
(P)
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có
phương trình :

)( Rt ∈
trên mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy M
∈
d, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên
mp(P) là đường thẳng qua H và có VTCP
AH
.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: A
∈
d suy ra: A(6 - 5t; - 1 + 2t; - 5 + 5t)
Vì A
∈
(P)
⇔
2(6 - 5t) + (- 1 + 2t) - 2(- 5 + 5t) - 3 = 0

⇔
t = 1
Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; - 1; - 5)
∈
d
Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; - 3; - 1). (Theo dạng 2)
Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP
AH
= (1; - 4; - 1)
nên có phương trình :


Một số bài tập tham khảo và áp dụng:
Bài 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A(1; - 1; 3) trên
đường thẳng d :
2
3
2
x
y t
z t
=


= −


=


Bài 2: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; - 1; 2) trên
mặt phẳng (
α
) : 2x - y + 2z + 11 = 0.
Bài 3: Cho đường thẳng d :





+=

'
đối xứng với điểm M(6; - 1; - 5) qua
mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và
vuông góc với mp(P), lấy M
'
∈
d (M
'
≠
M)

, khi đó M
'
đối xứng với M qua (P)
khi và chỉ khi d(M/(P)) = d(M
'
/(P))
8
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có
phương trình:





−−=
+−=

3
189
3
18 +
=
t⇔
t = - 4
∨
t = 0 (loại)
Vậy M
'
(- 2; - 5; 3)
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:





+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
35

'
(- 2; - 5; 3). ( Theo dạng 1)
Đường thẳng d
'
qua M
'
và song song với d nên có phương trình:





+=
−−=
+−=
tz
ty
tx
33
25
42

9
M'
M
d
(P)
d'
M'
M

và có
VTCP
'
AM
.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Ta có: A
∈
d suy ra: A(6 - 5t; - 1 + 2t; - 5 + 5t)
A
∈
(P)
⇔
2(6 - 5t) + (- 1 + 2t) - 2(- 5 + 5t) - 3 = 0

⇔
t = 1. Do đó A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; - 1; - 5)
∈
d
Gọi M
'
đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M
'
(- 2;- 5; 3) ( bài toán5)
Đường thẳng d
'
qua M
'

=
−−=
+=
tz
ty
tx
2
1
21
10
A
M
'
d
M
d
'
(P)
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d, H là hình chiếu của A lên đường
thẳng d khi và chỉ khi
u
r
.
AH
uuur
= 0 (

2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0
⇔
t = -1
suy ra: H(- 1; 0; -2)
Ta có H là trung điểm của AA
/
nên:





=
=
−=
1
2
3
/
/
/
A
A
A
z
y
x
Vậy: A
/
(- 3 ; 2 ; 1).

∆
.
11
d
H
A '

A
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và hai
đường thẳng: d
1
:
1
3
1
2
2
2 −
=
−
+
=
− zyx
; d
2
:
1
1

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d
'
đối xứng với đường thẳng d:
1
4 5
2 2
x t
y t
z t
= +


= −


= −

qua mặt phẳng (
α
) : x + y + z - 1 = 0.
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng
d
1
:
2 6
2 5
1 4
x t
y t
z t

và d
2
.
b. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d
1
qua d
2
.

C. Các dạng bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:
Bài toán 1: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:
1
2 2
3 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

;
(P): 2x + z - 5 = 0
a. Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
b. Viết phương trình đường thẳng d
'

Vì A
∈
(P)
⇔
2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0
⇔
t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
b. d có VTCP
u
r
= (1; 2; 1); mp(P) có VTPT
n
r
= (2; 0; 1)
Đường thẳng d
'
⊂
(P) và d
'
⊥
d nên d
'
có véctơ chỉ phương
,v u n
 
=
 
r r r
= (2; 1; -4).

=
−
− zyx
và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0
a. Tìm tọa độ điểm I
∈
d sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết
phương trình đường thẳng
∆
nằm trong mp(P), biết
∆
đi qua A và vuông góc
với d. (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)
Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, câu a ta lấy I
∈
d và sử dụng công thức
khoảng cách, câu b cùng cách làm của bài toán 1.
Hướng dẫn giải:
a. Đường thẳng d có phương trình tham số:





+=
+−=
−=
tz
ty

⇔

622 =− t⇔




−=
=
2
4
t
t
Vậy có 2 điểm I
1
(- 3; 5; 7), I
2
(3; - 7; 1)
b. Vì A
∈
d suy ra: A(1 - t; - 3 + 2t; 3 + t).
Ta có A
∈
(P)
⇔
2(1 - t) + (- 3 + 2t) - 2(3 + t) + 9 = 0
⇔


+=
−=
=
tz
y
tx
4
1
Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng
∆
qua I(- 1; - 2; 4) vuông góc
và cắt đường thẳng d:





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
1
22
32

)( Rt ∈
Nhận xét: Bài toán này ta lấy H

H
∈
∆

⇔

u
r
.
IH
uuur
= 0
⇔
3(- 1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (- 3 + t) = 0
⇔
t = 1
suy ra H(1; 0; 2)
14
d
∆
H
I
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Đường thẳng
∆
qua I và có VTCP
IH
uuur
= (2; 2; - 2) nên có phương trình :

ty
tx
4
21
3

)( Rt ∈
và vuông góc với đường thẳng d
2
:





+−=
+=
+=
tz
ty
tx
5
3
41

)( Rt ∈

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H
∈
d

d
1
suy ra: H(3 + t; - 1 - 2t; 4 + t)
nên:
AH
uuur
=(1 + t; - 2 - 2t; 7 +t )
H
∈
∆

⇔

u
r
.
AH
uuur
= 0

⇔
4(1 + t) + (- 2 - 2t) + (7 + t) = 0

⇔
t = - 3 suy ra H(0; 5; 1)
Đường thẳng
∆
qua A và có VTCP
AH
uuur

cắt 2 đường thẳng d
1
:





+=
−−=
=
tz
ty
tx
1
32
; d
2
:





−=
+−=
+=
/
/
/

uuur
cùng phương (
u
r
là VTCP của d), đường thẳng
∆
qua A và có
VTCP
u
r

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP
u
r
= (3; 2; 1).
Gọi A
∈
d
1
suy ra: A(t; - 2 - 3t; 1 + t)
B
∈
d
2
suy ra: B(1 + 2t
/
; - 1 + 3t
/
; 4 - t

133
3
12
///
+−−
=
++
=
+− tttttt

⇔



=+
=+
1
825
/
/
tt
tt

⇔




=
−=

:
1
2
1
1
2
+
=
−
−
=
zyx
và d
2
:





=
+=
+−=
3
1
21
z
ty
tx


u
r
,
AB
uuur
cùng phương (
u
r
là VTCP của d); đường thẳng d
qua A và có VTCP
u
r
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d
⊥
(P) nên d có VTCP
u
r
= (7; 1; - 4).
Đường thẳng d
1
có phương trình tham số:





+−=
−=
=

- 1; t + t
/
; 5 - t
/
)
A, B
∈
d
⇔

u
r
,
AB
uuur
cùng phương

⇔

4
5
17
122
///
−
−
=
+
=
−− ttttt

u
r
= (7; 1; - 4) nên có phương trình :





−−=
=
+=
tz
ty
tx
41
72

Bài toán 7: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường
thẳng chéo nhau d:





=
+=
+=
tz
ty
tx

B
d
2
d
1
A
(P)
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy A
∈
d
1
, B
∈
d
2
; AB là đường vuông
góc chung của d và d
/
khi và chỉ khi
. 0
. 0
u AB
v AB

=


=

; 4 - t
/
)
nên:
AB
uuur
=(t
/
- 3t - 7; 3t
/
- t - 9; - t
/
- t + 4)
AB là đường vuông góc chung của d và d
/

⇔

. 0
. 0
u AB
v AB

=


=


r uuur





=
−=
3
1
/
t
t

suy ra: A(2; 1; - 1);
AB
uuur
=(- 1; 1; 2)
Đường vuông góc chung qua A và có VTCP
AB
uuur
= (- 1; 1; 2) nên có
phương trình :





+−=
+=
−=
tz

+−=
tz
ty
tx
41
1
23
,
Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua A, cắt và
vuông góc với đường thẳng d.
(Đề thi ĐHCĐ khối B năm
2004)
Bài 2: Cho hai đường thẳng: d
1:





−=
+=
+=
tz
ty
tx
8
25
8





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
3
2
1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d
'
.
b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d
'
.
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với mặt phẳng tọa
độ (Oxz) và cắt 2 đường thẳng d :





−=

Minh
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
∆
:
11
2
1
2
−
=
−
=
+ zyx
và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình
đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng
∆
(Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)
KIỂM NGHIỆM
Sau khi hình thành và đưa ra cách giải, tôi đã vận dụng phương pháp này ở
2 dạng A, B vào các bài dạy và kết quả bài kiểm tra 45' các lớp giảng dạy như
sau:
Lớp sử dụng phương pháp khác (2 lớp với 72 em)
Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến dưới 8 Điểm từ 8 đến dưới 10
33 25 14
Lớp sử dụng phương pháp được trình bày ở trên (2 lớp với 77 em)
Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến dưới 8 Điểm từ 8 đến dưới 10
15 32 30
Từ 2 bảng đánh giá kết quả trên cho ta thấy hai lớp sử dụng phương
pháp được trình bày ở hai dạng A, B trên thì tỉ lệ điểm dưới 5 giảm gần một nữa,
tỉ lệ điểm từ 5 đến dưới 8 tăng không nhiều nhưng tỉ lệ điểm từ 8 đến10 tăng gần

21
Trung tâm GDTX Ngọc Lặc GV: Nguyễn Văn
Minh
5. Bộ đề thi tuyển sinh đại học - Môn Toán của Bộ GD & ĐT.(Doãn
Minh Cường; Phạm Minh Phương - Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội năm 2007)
22