Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”




 !"#$%&'$()*+$,-$.
"//*0 12.01345678
9:;"73#"3</"2=824/"2*
7%>;4$5"5?@.%A%B%'2/$ 6$C
18D!"1%E".13697F
.+CG808DH"136
9I:Kỹ năng quan sát, kỹ năng dự đoán, kỹ năng phân tích, tổng hợp,
kỹ năng ứng dụngJ"5*7KL464741
M8$,N=4@)$313" C
F;$$ 32.4.+73%7"
O$7<9P.$/$@%
!
G?2/QRSTU1*5V> *12
<W.X$,98Ymới được đưa vào chương trình năm 2008Z%E
#(.X8"2.8;[.139\3#"3"
].;"%^";V2<W.
?$1 1#$Yđiểm đặc biệtZ$C$O!"/Yđại lượng giữ
nhiệm vụ quan trọngZ"; 02<%"5/"7
39'2/QR#[1
"<$07"5?;M1=297!"%9
8"$975V2<W47$%7*7
6:$X#65!"71#$$C$O
!"/48$P@#"VW";313\
.JE2FX$!"10.X97F".=
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn

SBG..95+.33%
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
R
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
K@LM?NO
IPQ?RA
Sl#*$ 97Fa"7X013#"3<%
Sc2.$/.+7+!"3<.7.=m798%
S!"?45"C"C1.;"
13=G7.F4.;2.9]:9!"
.#/+.%
ScN3*5F/"7*7" 3%
STE@A
n>P;$??0M
MABTN$`GM89$/
C4 ";13\.N!"(C
41,7$4$C*5%M8 (5\
?#$"7,C"5$CO$13.X
b"98C$,9:"%
n*40"#$%%&'(%)*+,'.'/'01'
%%23%+45%&+.%63713839%:!7;%&<W4M
ABTN$`G
S'97FA13<$6b]9#$$C$O
!"/#*CF/M.MP.
4#"\.X$$,=4@$F " o$ 3CF
G%
S'9I:A137.#/.#2<3p
4b]9#$$C$O!"/.q.;!"7%
S$ Gb,.8"13,9:2

f
R
J%f

89$
Q
$
R
J%$

84 
Q
r

R
r
J%
n
r
,$ ;$w"xa%U#$#$!"
/0;$&b@yF
G
r
Y$
Q
z$
R
zJJ%%z$

Z{$

G
r
{i
∑
=⇒ i
ii
rm
i%%%%%%
RRQQ
=+++⇒
nn
GAmGAmGAm
SLưu ýE7"1M"?
i
g
{
j
g
59#$|,1
#$%
nlq,2<89^95
ρ

${
ρ
'{
ρ
}?9#$&b@yF
%
G G

R
i i
I m r=
∑
 , m
i
, r
i
 X9
90;$52,!"%
SLưu ý
z=CF/$C$O!"/@5M.;
8;";"
∑
/.#;/G*.X1
1#$@5%
z^C$O!"/8/ F$C$O!"/0$ 2
,$ !"?-+$C$O!"/02
,!"%
zcCFb/`OO 
R
G
I I md
∆
= +
,I
G
$C$O!"/0
2,!"!"9#$&02h
I

u
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
@'d'%g3%<%"
Z1 1#$0"D
h€/F5b/9#$&04#-$5w
zlq.Xp.#"q
8 9GF

%
% %
dl R d
dm R d
ϕ
ρ ϕ
=


=

Y'?9.#O"Z
z1 9#$&
R R R
R
R R R
R 3
Q Q
R
% 3 % 3 % 3 %
G

YzZ88@#$
d
ϕ
8
9GF$,
% % %
% % %
dS dl dr r d dr
dm dS r d dr
ϕ
ρ ρ ϕ
= =


= =

Y'?9.#O/Z
z1 9#$&
R
R
i
R
e% 3
Q
R
% % 3 %
d
R
G
R

v
w
~


•
~
•
w
c



‚
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
zlq.Xp.#;/'4
? .62#$^@w$ 
9 40 .O1
 *X
  h 
%r d
θ
h 
3 %r d
θ ϕ
  8  9  
GFdm,
R
R

R
G
R
R
r dr c d c d
R
x
R
r dr c d d
α α
α α
α α
α α
α
θ θ ϕ ϕ
α α
α
α
α α
θ θ ϕ
+ +
− −
+ +
− −
+
= = = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
z•.p?X"
d

R R
Q R Q R
Yiu Z Y Z Yiu Z
u
iQv
Qu Yiu Z Qe
G
a a a
m x m x S x S x
x a a
m m S S a a
+
+ +
= = = = ≈
+ + +
%>]DL9/~b9qJ
zE2$7?DX"3*
q.@$7?D4$7?D
9/,1#$FX&
Q

&
R

z1 w?„%1 1
#$0$7?D9/~
R R R
R
Q Q R R Q Q R R Q
Q

V R x R
π
= = −
h
R
R Q
Q
h
R
V R h x h
π
= =

i i
m V:
3
R R
Q Q R R Q Q R R
Q R Q R
dY R Z
eYR d Z
G
m x m x V x V x R h
x
m m V V R h
+ + − −
= = =
+ + +
Bài 2lb$C$O!"/
'/QcF$CF3"

,$902R9/0%
%cCF/$C$O!"/0]DL7",
!"!"1#$
R
Q
R
G
I mR=
,$902R9/
0]%
O%cCF/$C$O!"/09X"L,!"
!"1#$
R
R
u
G
I mR=
,$902R 9/9X"%
)e.f"Với bài toán này, GV nên yêu cầu và hướng dẫn học sinh
cách sử dụng phép tính tổng và cách phân tích các vi phân để sử dụng định
nghĩa tích phân trong tính toán.
@'d'%g3%<%"
%cF$b/`OO
z=b]$C$O!"/
,!",
R
…R
G k k
k k
I m r

R
G
I I md
∆
= +
Y.$Z
%cF$CF$C$O!"/0
R
Q
QR
G
I ml=
z&1

$ "589

m
d dx
ρ
=
P1#$&
0$ 4?$C$O!"
/0"5,
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
k
l

9
l
9

R R R
i i
Q Q
R R % %
QR QR
l l
I dI x dx l l ml
ρ ρ
= = = =
∫ ∫
Y.$ZY,
m l
ρ
=
Z
%cF$CF$C$O!"/0D
R
G
I mR=
zlqDL/89C
9;N1
R %m R
ρ π ρ
⇒ =

h &1$ "5
89
dm dx
ρ
=

%m R
ρ π ρ
⇒ =

h&1`$ "5]
89
% %dm dS r dr d
ρ ρ ϕ
= =

P1#$&0]$ 
4r?$C$O!"/0
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
Qi
‚

‚

3

^
c
w

}

&
&
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”

m R
ρ π ρ
⇒ =
h&1'$ "5;/8
9
R
3 % % %dm dV r dr d d
ρ θ θ ϕ
= =
Y?1
 0b/P'1 X"
3 % 3
%3 %3
3
x r c
y r
z r
θ ϕ
θ ϕ
θ
=


=


=

P1#$&09X"$ 4
?$C$O!"/0"5

QQ

Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
)e.f" Với bài toán này giáo viên cần hướng dẫn cụ thể cách sử
dụng linh hoạt công thức tính, tính chất cộng mô men quán tính, định lí Steiner
để xác định mô men quán tính của các vật rắn không có hình dạng cơ bản
nhưng được tạo ra từ các hình cơ bản.
@'d'%g3%<%"
%>]DL9/~b
9q)D9/J
z^C$O!"/0],
R e
Q Q
Q Q
R R
I m R R
ρπ
= =
z^C$O!"/0]\
R R e R R
R R R
Q Q
R R
I m r m a r r a
ρπ ρπ
= + = +
z^C$O!"/0.XD4
e e R R e e R R
Q R

I m R R
ρ π
= =
z^C$O!"/0!"X"),4@$PX"9/~
R R u u
R Q R
R R R e
Y Z
u u u d
I m R m r R r
ρ π
= − = −
z€
d d
Q R
e
Y Z
d
m m m R r
ρ π
= − = −
z
u u R R
R R
R
d d R R
R Y Z R
Y Z
u Y Z u
R r R r

dm dV dV
V R h
π
= =
z^C$O!"/
R d R
d
i i
Q
% R % %
R
R R
m
I dm r hr dr m R
R h
π
π
= = =
∫ ∫
G*q,?X"$\9/~8$C$O!"
/0?)9$9/~",!"
#$
R
%I m R=
%
K1'i‰#
'/Q" A  F o9
9C9;8|"%AX"
P,"D"7w
X"D4<,!"X"\89

f
w
x
a
y
a
G
a
Y
F
X
F
Q
P
&


w
w
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”





=++
=++
ZRYR
ZQY

ml
mgl
G
G
=⇔=⇔

w‹

{R$

hw‹

zR${R$

z^P9
yxG
aaa +=

AOB
∆
"5

{
R
G
a
h

{
&

RR
=+

',
F
.,.G$ 8
α
b@
α
{
x
y
F
F
{
dd
g
'/R"^ ?PL8
9$9/~$$O
!"/,!"#$Š
:9C5$P.y
58
α
%'2X"-
9C%
%cF\9#$0?";
 X"/08%
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
Qe
α

ω
⇒

s
mR
I
g
vmgs
R
I
m
v
%
Q
3
R3%ZY
R
R
R
R
R
+
=⇔=+
α
α
z^P9
R
{R%35{
R
Q

IMMM
amFNP
GFGNGP
Gms
ms
',E{$3
α
3"‹
ms
%~{Š
R
a

⇒
‹
ms
{
m
I
R
Ig
+
R
3%
α
z^P9‹
ms

$%ms
F≤

αα
≤
??:9C
7"
i
αα
>
??3„b75$P.y5
jGM?LECD
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
Qu
N
α
ms
F
P
&
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
C!"75F"5,.QR9f:$5
,"#$%%&'(%)*01'%%23%+45%&+.%637138
39%:!7;%&<=%C"$ 397!"83
O$;"2497F0
";313\.%
>;F$C$F3"
U7!"932/QRX":$0,.9f0
M%A%B%TN$`G:$RiQi.X2<%
r,.
`


QRf
j
eu v Qdd Qg dgj Qv duv v Qdd i i
QRf
k
ej j Qvg RQ edj Qg due R eQ i i
>F 97!"9;$|9?0:$157.,
,.XGG*49"%
E:$RiQi4O=2CF`&U:$RiQQ4O
;"2.CF/97!"8",;
@N134;$9\:$4N7"9q$$
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
Qv
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
9C9;%>"9yb/.|.03979$
$"$9XcC94O$
139\%
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
Qg
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
jO?Rk?"
jY%X;"
C!"?$;".#/97!"0F3979
$#$%%&'(%)*+,'-.'/'01'%%23%+45%&+.
%63713839%:!7;%&<= $ 3:$P5
.4$ @:$1RiQiSRiQQRiQQSRiQRC*2%
S >,53979$$ "!"1
C4 ";13\..X2<?88.

"/9O[5108G ;XC8;"
,"$P97F.G..4;|"
N5X$G%
5#N$ 39$3"]0#C8;D
97$9"7%~$ L91L.5F"
+3"8.a;G;69$0C*
3*8a]8/9%
Tôi xin chân thành cảm ơn!
l•cEAŒEc•f
A•~Ž•E&>•E'‘
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2013
C    $    #    `UUE  0
$?79C3q. "0
M9
.)m'7'Y%,.'Y1*
$n3o'[
Giáo viên: Phạm Thị Hiền – Trường THPT Bỉm Sơn
Qk
Phát triển tư duy học sinh khá, giỏi qua bài toán tìm tọa độ trọng tâm
và mô men quán tính của vật rắn”
Fpp
f% >PQ
T% &!"7Q
c% U7"2"Qu

1'X'q%3d
`9'2aQRSElTS&€SE:$Riij%
RuRG1SE"mfSElTS&€SE:$Riiv%
i";2.w$.diSeXF'ŠŠŠSE:$RiiRSElTS&€%
r";2.w$.diSeXFlŠSE:$RiidSElTS&€%