Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Ph ầ n A: Gi ả i Tích
1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản :
( )
0
/
=C
( )
1
/
=x
( )
x
x
2
1
/
=
( )
1
/
−
=
nn
nxx
 2) Các quy tắc tính đạo hàm :
( )
//
/
vuvu +=+
( )

v
v
−=






2
/
/
.
v
v
k
v
k
−=






( )
///
/
uvwwuvvwuwvu ++=
2

u
k
u
/
/
=






,
Rk
∈
xux
uyy
///
.=
(Đạo hàm của hàm số hợp )
3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số hợp (
( )
xuu =
( )
1
/
.
−

−=






( )
x
x
2
1
/
=
( )
u
u
u
2
/
/
=
( )
xx cossin
/
=
( )
uuu cos.sin
/
/

/
tan1
cos
tan +==
( )
( )
x
x
x
2
2
/
cot1
sin
1
cot +−=−=
( )
( )
uu
u
u
u
2/
2
/
/
cot1.
sin
cot +−=−=
( )

u
u
u
/
/
ln =
( )
ax
x
a
ln.
1
log
/
=
( )
au
u
u
a
ln.
log
/
/
=
 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số :
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba :
dcxaxaxy +++=
23



lim
x
y
→+∞
= −∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
nếu
0
<
a
- Lập bảng biến thiên ( xét dấu đạo hàm
/
y
) , kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến , điểm
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
cực đại , cưc tiểu của hàm số.
- Cho điểm đặc biệt :
+ Cho hai điểm lân cận của điểm cưc đại , cực tiểu .
+Tính đạo hàm
//
y
; giải phương trình
0
//

có 2
nghiệm phân biệt
21
; xx
+ Hàm số có hai cực trị
+ Hàm số có 1 điểm uốn

y

2
x

1
x

x

y

2
x

1
x

x
Nếu phương trình
0
/
=y

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn :
cbxaxy ++=
24

( )
0≠a
- MXĐ :
RD =
- Tính đạo hàm
/
y
; giải phương trình
0
/
=y
tìm
yx ⇒
- Tính giới hạn :
lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
nếu

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn:
cbxaxy ++=
24

( )
0≠a
Nếu
0
>
a
Nếu
0
<
a
O
O
O
O
O
O
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Nếu phương trình
0
/
=y
có 2
nghiệm phân biệt
321
;0; xxx =
.

+ Hàm số có không có cực trị

y

x

y

x
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0 ≠−≠ bcada
- MXĐ :






−=
c
d
RD \

c
→+∞
=

lim
x
a
y
c
→−∞
=
c
a
y =⇒
là tiệm cận ngang
Nếu
c
d
xy −≠∀> ;0
/
thì
+∞=
−
−→
c
d
x
ylim
và
−∞=

xy −≠∀> ;0
/x
∞−

c
d
−

∞+

/
y
+ +
y

∞+

c
a
c
a

∞−


c
d
xy −≠∀< ;0
/
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng






+∞−∪






−∞−
;;
c
d
c
d
và không có cực trị .
- Cho điểm đặc biệt :
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho
d
b
yx =⇒= 0

d
I ;

+ Ta vẽ hai đường tiệm cận trước ,chấm giao điểm của hai đường tiệm cận , rồi sau đó
vẽ hai nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua giao điểm
I
của hai đường tiệm cận
Các dạng đồ thị của hàm phân thức :
dcx
bax
y
+
+
=
,
( )
0,0 ≠−≠ bcada
x
∞−

c
d
−

∞+

/
y

y

( )
xfy =
là đồ thị
( )
C
đã vẽ và

BAmy +=

( )
d
là đường thẳng song song hoặc trùng với trục
Ox
.
+ Số nghiệm của phương trình
( )
∗
là số hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C
và
( )
d
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp )
Chú ý : Khi biện luận chỉ dựa vào
CĐ
y
và
CT
y

d
x −=
O
c
a
y =
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
( )
xfy =
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
Cách giải :
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
tại điểm
( ) ( )
CyxM ∈
00
;
có
dạng :
( )( )


( )( )
00
/
0
xxxfyy −=−

( )
∗
Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên
( )
/
0
f x k=
, giải phương trình này tìm được

( )
000
xfyx =⇒
.Kết luận phương trình tiếp tuyến .
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
biết tiếp tuyến song
song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Cách giải :
Gọi

xfyx =⇒
.Kết luận phương trình tiếp tuyến .
 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
baxyd +=:
thì

( ) ( )
a
xfaxf
1
1.
0
/
0
/
−=⇔−=
, Giải phương trình này tìm được
( )
000
xfyx =⇒
.
Kết luận phương trình tiếp tuyến .
e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
xfy =
trên đoạn
[ ]
ba;
:
Cách giải :

;
axf ; ;
a b
x Max f a f x f b
M
=

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
0
;
inf ; ;
a b
M x Min f a f x f b
=
f) Tìm tham số
m
để đồ thị
( )
C
của hàm số
( )
xfy =
hoặc tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang
đi qua điểm
( )
00
; yxM
cho trước :

đứng rồi sau đó thế điểm
( )
00
; yxM
vào tiệm cận đứng , ta tìm được
m
 Nếu tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
( )
xfy =
đi qua điểm
( )
00
; yxM
thì ta tìm tiệm
cận ngang rồi sau đó thế điểm
( )
00
; yxM
vào tiệm cận ngang, ta tìm được
m
g) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
có cực trị (cực đại, cực tiểu ):
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
/
y

0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
+ Hàm số đạt cực trị tại
0
xx =
( )
mxf
⇒⇔
0
/
i) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
đạt cực đại tại
0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy

( )
xfy =
đạt cực tiểu tại
0
xx =
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=

+ Tính đạo hàm
( )
xfy
////
=
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
0
xx =

( )
( )
{
m
xf
xf
⇒⇔
=

hoặc
/
∆
của
/
y
.
+ Hàm số
( )
xfy =
đồng biến trên
D
{
mDxy
a
⇒⇔∈∀≥⇔
>
≤∆
0
0
/
0
+ Hàm số
( )
xfy =
nghịch biến trên
D
{
mDxy
a

xx
AB
−
−
=
−
−
:
l) Tìm tham số
m
để hàm số
( )
xfy =
đạt cực trị tại
0
x
và giá trị cực trị bằng
0
y
:
Cách giải :
+ Tính đạo hàm
( )
xfy
//
=
+ Theo đề bài ta có
( )
( )
{

====
−−

n−
0;0
0
không có nghĩa . 
nnn
abba =.

n
n
n
b
a
b
a
=

aa
n
n
=
khi
n
lẻ

kn
n
k

a
−
=

( )
nm
n
m
aa
.
=

( )
nm
n
m
aa
.
=

m
m
m
b
a
b
a
=



+ Nếu
−
∈ Z
α
hoặc
0
=
α
thì
{ }
0\RD =
+ Nếu
Z∉
α
thì
( )
+∞= ;0D

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lũy thừa
α
xy =
( SGK trang 58-59 )
c) Hàm số lôgarit :
 Tập xác định :
xy
a
log=
xác định
{
10

α
α
=
a
a
log
 Quy tắc :

( )
2121
loglog.log bbbb
aaa
+=

21
2
1
logloglog bb
b
b
aaa
−=









α
α
=b
n
b
a
n
a
log.
1
log
=

 Công thức đổi cơ số :

a
b
b
c
c
a
log
log
log
=

a

b b=
d) Hàm số mũ
x
ay
=
:
 Tập xác định :
RD =
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ
x
ay
=
( SGK trang 73-74 )
e) Hàm số
xy
a
log=
:
 Tập xác định :
( )
+∞= ;0D
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
xy
a
log=
( SGK trang 75-76 )
Hàm số
( )
xfy
a

log=⇔=
.
 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :
( ) ( )
( ) ( )
xgxfaa
xgxf
=⇔=
+ Đặt ẩn phụ :
( )
xf
at =
ĐK:
0>t
Giải phương trình mới theo
t
, tìm được
0>t
, rồi tiếp tục giải
( )
xf
at =
tìm được
x
+Phương pháp logarit hóa hai vế :
b) Phương trình logarit:
 Phương trình logarit cơ bản:
b
a

a
log
=
tìm được
x
+ Phương pháp mũ hóa hai vế :
 8) Bất phương trình mũ ,bất phương trình lôgarit:
a) Bất phương trình mũ:
 Bất phương trình mũ cơ bản: Nếu
1>a
thì
bxba
a
x
log>⇔>

ba
x
>

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log<⇔>

Nếu
1>a

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log≤⇔≥

Nếu
1>a
thì
bxba
a
x
log≤⇔≤

ba
x
≤

Nếu
10 << a
thì
bxba
a
x
log≥⇔≤
 Cách giải một số bất phương trình mũ đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :


<<
a

( ) ( )
xgxf ≥⇔
nếu
1
>
a

( ) ( )
xgxf
aa ≥

( ) ( )
xgxf ≤⇔
nếu
10
<<
a

( ) ( )
xgxf ≤⇔
nếu
1
>
a

( ) ( )
xgxf

bx
a
>log

Nếu
10 << a
thì
b
a
axbx <<⇔> 0log
Nếu
1>a
thì
b
a
axbx <<⇔< 0log

bx
a
<log

Nếu
10 << a
thì
b
a
axbx >⇔<log
Nếu
1>a
thì

axbx ≥⇔≥log

 Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản:
+ Đưa về cùng cơ số :
+ Đặt ẩn phụ :
( )
xf
a
t log=
ĐK:
( )
0>xf
Giải bất phương trình mới theo
t
, kết hợp điều kiện
( )
0>xf
rồi tiếp tục giải tìm
được tập nghiệm của bất phương trình đã cho .
 9) Nguyên hàm ,tích phân và ứng dụng của tích phân:
a) Nguyên hàm :
Định nghĩa : Hàm số
( )
xF
là nguyên hàm của
( ) ( ) ( )
xfxFxf =⇔
/
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
Họ nguyên hàm ( tích phân bất định ) :

+
=+
+
C
a
bax
dxbax
1
1
α
α
α
∫
+= Cxdx
( )
∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
ln
11
∫
+
+
=
+
C

( )
∫
+=
+
+
C
a
a
a
dxa
bax
bax
ln
1
∫
+= Cdx
xx

( ) ( )
∫
++=+ Cbax
a
dxbax sin
1
cos
∫
+= C
a
a
dxa

+−= Cxxdx cossin
( )
( )
∫
++−=
+
Cbax
a
dx
bax
cot
1
sin
1
2
∫
+= Cxdx
x
tan
cos
1
2
( ) ( )
∫
++−=+ Cbax
a
dxbax cosln
1
tan
∫

−=
//
hay :
∫∫
−= duvvudvu
b)Tích phân:
Định nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( )
aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
,
( )
xF
là một nguyên hàm của
( )
xf

 Tính chất :

( ) ( )
∫∫
=
b
a
b

 Phương pháp đổi biến số:
( ) ( )
[ ]
( )
dtttfdxxf
b
a
/
ϕϕ
β
α
∫∫
=
, với
( ) ( ) ( )
batx
===
βϕαφϕ
,,

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Phương pháp từng phần :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dxxvxuxvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a

( )
xP
và
( )
xQ
không liên quan với nhau về mặt đạo hàm thì ta sử dụng phương pháp tích
phân từng phần .
- Các dạng thường gặp và cách đặt của tích phân từng phần :
1. Dạng 1:
( )
( )
( )
dxxPI
nmx
nmx
nmx
b
a













( )
dxvdxdv
nmx
nmx
nmx
nmx
nmxnmx
∫














=⇒








a
duvvudvu
Dạng 2 :
( ) ( )
dxnmxxPI
b
a
+=
∫
ln.
;
( )
xP
là một đa thức theo
x

Đặt :
( ) ( )
[ ]
dxnmxdunmxu
/
lnln
+=⇒+=

(Lấy vi phân )

( ) ( )
dxxPvdxxPdv
∫
=⇒=

Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường:

Hai đường
( ) ( )
xfyC
11
: =
và
( ) ( )
xfyC
22
: =
Hai đường thẳng
bxax == ;

Ta có :
( ) ( )
dxxfxfS
b
a
∫
−=
21
2
c
) Thể tích của khối vật thể tròn xoay:
 Thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng
( )
H

và
( ) ( )
xfyC
22
: =
Trục hoành :
0=y

Hai đường thẳng
bxax == ;
Quay quanh trục
Ox
Ta có :
( ) ( )
2 2
1 2
b
a
V f x f x dx
π
= −   
   
∫

 10) Số phức :
a) Số
i
:
2
1i = −

.
Ta có môđun của số phức
z
là
2 2
z a b= +
e) Số phức liên hợp : Cho số phức :
z a bi
= +
Ta có số phức liên hợp của số phức
z
là :
z a bi= −
f) Phép cộng, trừ, nhân và chia số phức : Cho 2 số phức :
1
z a bi= +
;
2
z c di= +
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
z z a bi c di a c b d i+ = + + + = + + +

( ) ( ) ( ) ( )
1 2
z z a bi c di a c b d i− = + − + = − + −

( ) ( ) ( ) ( )
1 2

( ) ( )
2
2 2
1 1 a bi a bi z
z a bi a bi a bi a b
z
− −
= = = =
+ + − +

h) Phương trình bậc hai với hệ số thực :
2
az 0bz c+ + =
;
2
4 0b ac∆ = − <
;
2
1i = −
Phương trình có 2 nghiệm phức :
1 2
;
2 2
b i b i
z z
a a
− + ∆ − − ∆
= =
Ph ầ n A: Hình H ọc
I.Hình h ọc không gian cổ điển :

d ) Hình nón :
Diện tích hình tròn đáy của hình nón:
2
S r
π
=
(
r
là bán kính đường tròn đáy)
Diện tích xung quanh của hình nón :
xq
S rl
π
=
(
l
là độ dài đường sinh )
Diện tích toàn phần của hình nón :
dtp xq ay
S S S= +

Thể tích của khối nón :
1
.
3
V B h=
(
B
là diện tích mặt đáy ,
h

=
(
B
là diện tích mặt đáy ,
h
là chiều cao )
II.Hình h ọc không gian tọa độ :
1) Tọa độ của các véctơ đơn vị và véctơ
0
r
:
( )
1;0;0i =
r
;
( )
0;1;0j =
r
;
( )
0;0;1k =
r
;
( )
0 0;0;0=
r
2) Phương trình của các mặt phẳng tọa độ : mặt
Ox : 0y z =
; mặt
Oyz : 0x =


4.1 )
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b+ = + + +
r r
;
( )
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b− = − − −
r r

4.2 )
( )
1 2 3
. ; ;k a ka ka ka=
r
;
1 1 2 2 3 3
; ;a b a b a b a b
= ⇔ = = =
r r

4.3)
a
r
cùng phương
3
1 2
1 2 3


Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
4.6) Độ dài của véctơ :
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
. Bình phương vô hướng của
a
r
:
2
2 2 2
1 2 3
a a a a= + +
r
4.7) Góc giữa 2 véctơ
a
r
và
b
r
:
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
os ,
.
a b a b a b

x x y y z z
x y z
+ + +
= = =
5.2) Nếu
( )
; ;
G G G
G x y z
là trọng tâm của tam giác
ABC
thì :

; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
+ + + + + +
= = =
5.3) Độ dài của đọan thẳng
AB
( hay khoảng cách giữa 2 điểm
A
và
B
) :
( ) ( ) ( )
2 2 2

ABCD ABC
V S AH=

(
( )
( )
,AH d A BCD=
,
AH
là đường cao của tứ diện
ABCD
kẻ từ
A
)
5.7) Để chứng minh 4 điểm
, , ,A B C D
là 4 đỉnh của tứ diện thì ta đi chứng minh 4 điểm
, , ,A B C D

không đồng phẳng tức chứng minh điểm
( )
D mp ABC∉
hoặc
( )
A mp BCD∉

6) Mặt Cầu : Phương trình mặt cầu
( )
S
tâm

b) Nếu mặt cầu cho dạng tổng quát :
2 2 2
2ax 2 2 0x y z by cz d+ + − − − + =
thì ta chia hệ số của

; ;x y z
trong phương trình đề bài cho – 2 để tìm
; ;a b c

⇒
Tâm
( )
; ;I a b c
và tính bán kính

2 2 2
r a b c d= + + −
6.2) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
r
và chứng minh mặt
cầu
( )
S
cắt mặt phẳng

S
có tâm
( )
; ;I a b c
và đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
:
 Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0 0
r IM x a y b z c= = − + − −
uuur
 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
6.4) Viết phương trình mặt cầu

 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c r− + − + − =
6.5) Viết phương trình mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
α
:
 Mặt cầu
( )
S
có tâm
( )
; ;I a b c
và bán kính
( )
2 2 2
Aa+Bb+Cc+D
;r d I
A B C

S
ta được 1 hệ gồm 4 phương trình 4
ẩn
, , ,a b c d
, giải phương trình này tìm được
, , ,a b c d
 Thế vào phương trình mặt cầu
( )
S
:
2 2 2
2ax 2 2 0x y z by cz d+ + − − − + =
7)Mặt phẳng :
7.1)Kiến thức cơ bản :
a) Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng :
n
α
⊥
r
;
0n ≠
r r
b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng
α
là :
0Ax By Cz D+ + + =
; vtpt :
( )
; ;n A B C=
r

r uuur uuur
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.3) Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và song song với mp
β
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và có vtpt
n n
α β
=
uur uur
( Do
/ /
α β
)
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0

α
đi qua 2 điểm
,A B
(hay chứa đường thẳng
AB
) và song song
đường thẳng
CD
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
A
và có vtpt
;n AB CD
α
 
=
 
uur uuur uuur

 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.6) Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua 2
,A B
điểm (hay chứa đường thẳng

:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
1 1
M d∈
và có vtpt
1 2
;n u u
α
 
=
 
uur ur uur

 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
7.8) Viết phương trình mặt phẳng
α
là mặt phẳng trung trục của đoạn
AB
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
; ;
2 2 2
A B A B A B

; ;I a b c
( hay
α
là tiếp diện
của mặt cầu
( )
S
) tại điểm
M
:
 Mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và có vtpt
n IM
α
=
uur uuur
(Do
IM
α
⊥
)
 Thế vào phương trình mặt phẳng :
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
8) Đường thẳng :
8.1) Kiến thức cơ bản :

= +


= +

 Phương trình chính tắc :
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
(
; ; 0a b c ≠
)
c) Véctơ chỉ phương của các trục tọa độ : Trục
Ox
có vtcp
( )
1;0;0u i= =
r r
Trục
Oy
có vtcp
( )
0;1;0u j= =
r r
Trục
Oz
có vtcp
( )

đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
/
d d
u u
=
r r
 Thế vào phương trình tham số
d
8.4) Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và vuông góc với mặt phẳng
α
:
 Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
d
u n





⇒
Tọa độ giao điểm của đường thẳng
d
và mặt phẳng
α
.
8.6) Tìm tọa độ điểm
/
M
đối xứng với điểm
M
qua mặt phẳng
α
:
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mặt phẳng
α
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh
 Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua điểm
M
và vuông góc với mặt phẳng

α
nên
H
là trung điểm của
/
MM
:
Ta có :
/
/
/
/
/
/
2
2
2
2
2
2
M
M
H H M
M
M
M
H H M
M
M
M

M
đối xứng với điểm
M
qua đường thẳng
d
:
a) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên đường thẳng
d
:
 Viết phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
M
và vuông góc với đường thẳng
d
:
 Giải hệ
0
0
0
Ax+By+Cz+D=0
x x at
y y bt
z z ct
= +


/
/
2
2
2
2
2
2
M
M
H H M
M
M
M
H H M
M
M
M
H H M
M
x x
x x x x
y y
y y y y
z z
z z z z
+

= ⇒ = −


;
By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
9.2) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song
α
và
β
:

( ) ( )
; ;d d M
α β β
=
; (
M
α
∈
)
9.3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
∆
và
α
:

( ) ( )

2 2 2
; ; 0A B C ≠
Trường THPT Trà Cú Kiến thức cơ bản ôn thi tốt nghiệp THPT. Môn Toán 12(CB)Năm 2010 GV Soạn : Trần Phú Vinh

1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
α β
∩ ⇔ ≠ ≠

Đặc biệt :
1 2 1 2 1 2
. 0 0n n A A B B C C
α β
α β
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
r r
11) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
0
0
0
:
x x at
d y y bt
z z ct
= +


= +

( )
; ;u a b c=
r
Đường thẳng
/
d
đi qua điểm
( )
/ / / /
0 0 0
; ;M x y z
và có vtcp
( )
/
/ / /
; ;u a b c=
r

(
)
/ /
/
/
/ / cp
/ /
u u u u
d d
M d



/
/ /u u
d d
M d


≡ ⇔

∈


r r
( )
/
/ / /
/ / /
/
, , 0 hay ( = k. )
a b c
a b c u u
a b c
M d

= = ≠

⇔


∈


( )
/
/ / /
/ / /
/ / /
0 0
/ / /
0 0
/ / /
0 0
, , , 0 hay ( k. )
VN
a b c
a b c u u
a b c
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t

≠ ≠ ≠ ≠



+ = +


+ = +


+ = +