Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 6

3
ĐỘNG HỌC TAY MÁY
3.1 GIỚI THIỆU VỀ TAY MÁY
Chương này sẽ đưa ra một vài lý thuyết cơ bản về tay máy. Đầu tiên là
phần giới thiệu về các loại tay máy và nguyên lý làm việc của chúng. Sau đó,
chúng ta sẽ nói sơ lược cách tính toán động học tay máy.
Một tay máy thường gồm có 5 thành phần sau:
- Cánh tay cơ khí.
- Khâu tác động cuối. Nó có thể là một đầu hàn, một đầu phun sơn hay một
tay kẹp…
- Động cơ để di chuyển các khâu. Đa số là các động cơ điện servo hoặc các
động cơ thủy lực.
- Bộ điều khiển.
- Các cảm biến được gắn vào tay máy và được nối với bộ điều khiển, nó
tạo ra tín hiệu phản hồi giúp cho tay máy hoạt động chính xác hơn.
Với những thành phần trên, tay máy có thể hoạt động, và tùy theo chuẩn
động của tay máy mà người ta phân loại chúng.
3.1.1 Phân loại tay máy theo chuyển động
Để hiểu được cánh tay làm việc như thế nào thì ta phải biết cách nó di
chuyển. Có hai chuyển động cơ bản của một tay máy:
• Tònh tiến
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 7

• Quay
Ngoài ra người ta còn dựa trên số bậc tự do của tay máy để phân loại
chúng. Mỗi một chuyển động quay hay chuyển động tònh tiến có trong tay máy
là một bậc tự do được tính. Số bậc tự do của một tay máy là thước đo mức độ
phức tạp của tay máy cũng như khả năng điều khiển chúng. Nếu một tay máy

), gọi là tọa độ tuyệt đối của điểm M.
Tọa độ của một điểm M thuộc khâu thứ k được xác đònh bởi bán kính vectơ
Mk
r với các thành phần tương ứng của nó trong hệ tọa độ (Oxyz)
k
– gọi là tọa độ
tương đối của điểm M.
X
X
0
0
0
0
Y
k
r
M0
r
0
k
Mk
Z
0
M
Y
k
Z
k









=
k
M
k
M
k
M
k
M
z
y
x
r
Như vậy ta có thể coi tay máy là một chuỗi các hệ tọa độ liên tiếp có
chuyển động tương đối với nhau.
3.1.2.2 Chuyển đổi hệ tọa độ

Phép biến đổi hệ tọa độ được sử dụng để biến đổi các thành phần của
vectơ khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác.
Trong hệ tọa đô vuông góc (Oxyz) có các vectơ đơn vò lần lượt là i, j, k
tương ứng trên các trục x, y, z. Gọi hình chiếu của vectơ a theo hướng i, j, k lần

=
Khi biết được các thành phần của vectơ a theo các trục x, y, z ta có thể tính
thành phần của nó theo hướng u bất kỳ. Để làm điều này ta chiếu cả hai vế của
phương trình (3-1) lên hướng u ta được:

)z,u(Cos.a)y,u(Cos.a)x,u(Cos.aa
zyxu
++= (3-2)
Như vậy thành phần của vectơ a theo một phương bất kỳ có thể biểu diễn
qua các thành phần của nó trên các trục của một hệ tọa độ vuông góc và phép
biểu diễn này là tuyến tính.
Gọi ϕ là góc giữa các hướng của vectơ a và u, thế (3-1) và (3-2) ta được:
)z,u(Cos.)z,a(Cos)y,u(Cos).y,a(Cos)x,u(Cos.)x,a(Cos)u,a(Cos)(Cos ++==ϕ
Như vậy ta nhận được công thức của hình học giải tích cho cosin của góc ϕ
giữa các hướng a và u.

3.1.3 Phân tích động học tay máy bằng phương pháp ma trận
Trên cơ sở những kiến thức về phép chuyển đổi hệ tọa độ ở trên, phần tiếp
theo đây sẽ khảo sát cách thực hành để áp dụng phương pháp ma trận trong việc
khảo sát động học các cơ cấu tay máy. Có hai trường hợp là chuyển động tònh
tiến và chuyển động quay. Nhưng ở đây chúng ta chỉ khảo sát trường hợp hai hệ
tọa độ (Oxyz)
1
và (Oxyz)
0
có chuyển động tương đối là chuyển động quay.
Xét hai hệ tọa độ (Oxyz)
1
và (Oxyz)
0

y
1
z
1
O
1
x
1
y
0
z
0
0
x
Z0
a
x0
a
y0
O
0Gọi l=0
0
0
1
Ta xét hai trường hợp:
 Trường hợp l = 0
Lúc này 0

, a
z1
tìm được có quan hệ tuyến tính với các
thành phần hình chiếu a
x0
, a
y0
, a
z0
. Ngoài ra các hệ số ảnh hưởng của các đại
lượng này là tích vô hướng giữa các vectơ đơn vò trên các trục tọa độ(Oxyz)
0
và
(Oxyz)
1
và cũng là cosin của các góc tạo bởi các trục tọa độ tương ứng.
Từ (3-4) các thành phần trong hàng thứ nhất. )z,x(Cosk.i
)y,x(Cosj.i
)x,x(Cosi.i
0101
0101
0101
=
=
=
(3-5)
Biểu diễn hình chiếu của vectơ đơn vò



ba
kkjkik
kjjjij
kijiii
M

hay










=
)z,zcos()y,zcos()x,zcos(
)z,ycos()y,ycos()x,ycos(
)z,xcos()y,xcos()x,xcos(
ooo
ooo
ooo
ba
111
111
111






=
)(
z
)(
y
)(
x
)(
)o(
z
)o(
y
)o(
x
)o(
a
a
a
a;
a
a
a
a
1
1

, ta có:










=
101010
101010
101010
kkjkik
kjjjij
kijiii
M
ba

Do tính chất vô hướng của tích hai vectơ i
0
, i
1
ma trận M
ab
nhận được chính
là ma trận chuyển vò của ma trận M
ba

p

được biểu diễn thành (h
xp
, h
yp
, h
zp
) với h là một số tùy ý. Trong khảo sát động
học tay máy, h thường bằng 1, thể hiện sự không thay đổi về giá trò kích thước
của từng phần tử trong phép chiếu từ không gian n sang n+1 chiều, hoặc ngược
lại. Tọa độ được thêm vào h, được dùng như một hệ số tỷ lệ nhằm khắc phục
mức giới hạn trong đồ họa điện toán.
Các tọa độ thuần nhất có thể được xem như tọa độ thêm vào của mỗi vectơ
sao cho vectơ sẽ không thay đổi bằng cách cho các phần tử nhân với một hằng
số. Ví dụ vectơ
kcjbiav ++= sẽ được biểu diễn dưới dạng ma trận cột trong
tọa độ thuần nhất là:













a
w
cw
bw
aw
w
z
y
x
v với w=1
Để khắc phục một vấn đề nữa của phương pháp ma trận, người ta dựa vào
ma trận M
ab
(3x3) để đònh nghóa một ma trận chuyển đổi (4x4) mô tả đồng thời
các chuyển động quay và chuyển động tònh tiến giữa các hệ tọa độ như sau:












=
)11(
)31(

sẽ được biểu
diễn theo tọa độ thuần nhất là (x, y, z, 1)
T
trong không gian (R
4
)
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 12

Trên cơ sở, Denavit – Hartenberg đưa ra ý tưởng sử dụng tọa độ thuần nhất
để mô tả chuyển đổi hệ tọa độ khi khảo sát chuyển động hở trên tay máy, cho
nên các ma trận này gọi là ma trận DH.
3.1.4.2 Ma trận DH tuyệt đối

Trên tay máy gồm n khâu, ta xét chuyển động của khâu 1 so với hệ tọa độ
cơ sở, ta có:

(3-6)
1
0
110
r).t(A)t(c)t(r +=
Trong đó :









=
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
tc
tb
ta
tc
Chuyển vò tònh tiến góc 0
1
so với hệ tọa độ cơ sở.










=
)()()(
)()()(

1
1
z
y
x
r
Tọa độ của điểm đang xét trên khâu 1 so với hệ tọa độ (Oxyz)
1
tương
đối.
Từ (3-6) ta được: 

















1
1
1
111
111
111
z
y
x
tctbta
tctbta
tctbta
tz
ty
tx
zzz
yyy
xxx
o
o
o

Nếu gọi








Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 13

Và ma trận được gọi là ma trận DH tuyệt đối của khâu 1 cho phép mô
tả đồng thời chuyển động tònh tiến và chuyển động quay.
1
T
o
3.1.4.3 Ma trận DH tương đối

Ma trận DH tương đối ký hiệu là
để mô tả chuyển động tương đối giữa
hai khâu i và j. Nếu như xem khâu i là giá thì
là ma trận DH tuyệt đối của
khâu j.
i
j
A
i
j
A
Ta có mối quan hệ giữa ma trận tuyệt đối và tương đối.
k
k
n
k
n
o
AT
1
1

0cossin0
0sincos0
0001
),(xRot
 Trường hợp quay quanh trục y một góc ϕ 











ϕϕ−
ϕϕ
=ϕ
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
),(yRot
 Trường hợp quay quanh trục z một góc ϕ
thì ma trận DH để mô tả trong hệ tọa độ thuần nhất có dạng:
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 14













==
−
1000
p100
p010
p001
A)p,p,p(Trans
z
y
x
1i
jzyx

3.2 BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC THUẬN

rTA AAr ==
−
(3-7)
Trong đó












=
1
o
o
o
o
z
y
x
r
biểu diễn các thông số cần tìm của điểm p trong hệ tọa độ cơ sơ.û




Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 15

3.3 BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC NGƯC
Nội dung bài toán này được phát biểu như sau: “Cho trước số khâu, số
khớp, loại khớp, kích thước động di của các khâu thành viên, và cho trước vò trí,
hướng của khâu tác động cuối trong hệ tọa độ Descarters. Ta phải xác đònh vò trí
của các khâu thành viên thông qua các tọa độ suy rộng q
i
của chúng sao cho
khâu tác động cuối đạt được vò trí và hướng yêu cầu“.
Nếu như so với bài toán thuận có một đáp số duy nhất thì ngược lại bài toán
ngược có vô số đáp số, lý do là sự mô tả vò trí tương đối giữa các khâu thành
viên chỉ là ánh xạ theo chiều thuận mà không có chiều nghòch. Để giải quyết
vấn đề này nhằm chọn ra nghiệm tối ưu, người ta đưa ra các ràng buộc về động
học bên trong vùng không gian hoạt động của nó. Hoặc đặt vấn đề phải tối ưu
hóa hoạt động của tay máy theo một hàm mục tiêu cụ thể nào đó để chọn lời
giải tối ưu nhất. Để giải bài toán ngược trước tiên ta đưa ra bài toán mục tiêu và
giải bài toán đó với các ràng buộc.
3.4 KẾT LUẬN
Chương này chúng ta đã trình bày khái quát một số lý thuyết tính toán động
học cho tay máy. Và dựa trên những lý thuyết này, chương sau chúng ta sẽ tiến
hành việc tính toán cụ thể cho tay máy chế tạo.
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 16

4
THIẾT KẾ TAY MÁY
4.1 GIỚI THIỆU
Chương này sẽ giới thiệu về việc tính toán thiết kế tay máy.
Với những lý thuyết đã trình bày ở chương trước, chúng ta sẽ áp dụng để

Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 18

4.1.1 Các góc của tay máy
Để khâu tác động cuối (ở đây là đầu cây viết) đến được điểm có tọa độ
mong muốn, thì ta phải phối hợp chuyển động của các khâu. Cụ thể là ta sẽ phải
phối hợp chuyển động của các góc α, β, γ, θ (hình 4.4).

Hình 4.4 Các góc của tay máy

4.1.2 Các giới hạn của góc
Như đã giới thiệu về các tính năng kỹ thuật của động cơ ở chương 5, vì lý
do các bánh răng của các động cơ RC servo được làm bằng nhựa nên không thể
chòu tải trọng lớn, hạn chế về moment tối đa của động cơ, cũng như những hạn
chế về không gian chuyển động…, cho nên chúng ta phải giới hạn các góc quay
của các động cơ này trong một khoảng giá trò nhất đònh. Vấn đề này được đặt ra
nhằm giúp bảo vệ các động cơ không bò quá tải trong suốt quá trình hoạt động.
Sau đây là bảng giá trò giới hạn của các góc.
Bảng 4.2 Các giới hạn về góc
Góc nhỏ nhất Góc lớn nhất
Alpha (α) 34
0
105
0

Beta (β) 42
0
164
0
Gama (γ) 70
0






θθ
θ−θ
=
1000
5.25100
00cossin
00sincos
BMa trận DH của hệ trục thứ hai












αα
α−α


Ma trận DH của hệ trục thứ tư
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 20













γ−γ−
γγ−
=
1000
0cos0sin
0010
78sin0cos
EMa trận DH của hệ trục khâu cuối



333
222
111
=













B,C,D,E,F: các ma trận DH
(x
1
,y
i
,z
i
): tọa độ của khâu cuối trên hệ trục tọa độ cơ sở.
Ở đây, giải bài toán này rất phức tạp và khó khăn, nên chúng ta sẽ sử dụng
một phương pháp khác, đơn giản hơn nhưng vẫn bảo đảm tính tổng quát của bài
toán.
Chúng ta đặt khâu cuối (cây bút) luôn luôn vuông góc với mặt phẳng XY
và với vò trí đó thì chúng ta có thể vẽ được dễ dàng và chính xác.

x
y
arctan
(4-1)
Các chuyển động của tay máy được giới hạn trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng XY và hợp với trục X một góc là θ. Ta phải dời hệ tọa độ tuyệt
đối của khâu cuối về hệ trục tọa độ tương đối của tay máy để có thể xác đònh
được các góc còn lại.

C
2
C
2'
yxx += (4-2)

Hình 4.7 Kích thước các khâu
Trong hệ trục tọa độ mới, điểm C có tọa độ:
x
C
’’= x’ – s
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 22

z
C
’ = z – f – t (4-3)
Từ đó ta tính được các góc α và β bằng đònh lý hàm cos trong tam giác như sau:


−++
+






=α
ak2
b'z''xa
arccos
x
z
arctg
2222
(4-6)
Vì khâu cuối luôn vuông góc với mặt phẳng XY nên góc γ được tính như
sau:

β−α−
π
=
γ
5.1 (4-7)
Như vậy tất cả các góc đã được tính toán, chúng ta có thể sử dụng những
góc này để di chuyển khâu cuối đến bất cứ điểm nào trong mặt phẳng XY. Phần
sau đây sẽ trình bày phương pháp vẽ điểm trên một mặt phẳng nghiêng hợp với
mặt phẳng XY một góc bất kỳ.









δδ
δ−δ
1
z
y
x
1000
0cos0sin
0010
lsin0cos Tương tự như phần trước, chúng ta sử dụng đònh lý hàm cos trong tam
giác để tính toán các góc như sau:

δ= sin.cm

δ−= tg).lx(z






−
=α
ak2
bka
arccos
mx
c
arctg
22γ = 1,5π - α -β - δ

Với những góc đã tính, chúng ta có thể đưa khâu cuối đến một điểm có
tọa độ bất kỳ trong mặt phẳng không song song với mặt phẳng XY.
GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 24

Tiếp theo đây sẽ trình bày phương pháp di chuyển khâu cuối của tay
máy đến một điểm bất kỳ trong không gian làm việc.

4.2.3 Vẽ điểm trong không gian

β
α
γ










−+
+=α
ak2
bka
arccos
'x
'z
arctg
222

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN GIÁP SVTH: Nguyễn Nhật Tân-Nguyễn Lê Tùng
Thiết kế, chế tạo và điều khiển tay máy Trang 25 





