Chơng 2
dãy số và giới hạn
2.1 Khái niệm về d y sốã
1. Định nghĩa
Cho f là một ánh xạ từ N vào R xác định bởi:
a
n
=f(n) {n=1,2, }
khi đó tập a
1
, a
2
, , a
n
, đ ợc gọi là một dãy số và ký hiệu
{ }

=1n
n
a
hoặc {a
n
}. Các số a
1
, a
2
, , a
n
,
gọi là các số hạng của của dãy, còn biểu thức của a
n

2
a
n

Nếu trong các bất đẳng thức không có dấu = thì dãy tơng ứng đợc gọi là dãy tăng thực sự và
dãy giảm thực sự.
Ví dụ 2.1:
a. Dãy

=






+
1
1
n
n
n
có a
n
=
n
n 1+
là dãy bị chặn
b. Dãy


là dãy không bị chặn
c. Dãy

=






1
1
n
n
có a
n
=
n
1
là dãy giảm thực sự.
d. Dãy

=








nếu >0 (bé tuỳ ý cho trớc), n
0
sao cho:
0
, nnaa
n
<

Khi đó ta cũng nói dãy
{ }

=1n
n
a
có giới hạn hữu hạn a, hay a
n
hội tụ về a và viết a
n
a khi n.
Một dãy không hội tụ ta gọi là dãy phân kỳ.
Trong định nghĩa trên số n
0
phụ thuộc vào hay n
0
=n
0
(). Ta cũng thấy sự hội tụ của một dãy
không phụ thuộc một số hữu hạn các số hạng đầu của nó, vì khi đó ta chỉ cần chọn n
0
lớn hơn chỉ

1
1
+







thì với mọi nn
0
ta đều có:

<1
n
a
. Hay
1
1
lim =
+

n
n
n
. Trong đó





n
n
alim
- Dần đến + nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, tồn tại số n
0
sao cho:
0
, nnMa
n
>
, và
viết:
+=

n
n
alim
- Dần đến - nếu với mọi M>0 cho trớc lớn tuỳ ý, tồn tại số n
0
sao cho:
0
, nnMa
n
<
, và
viết:
=

n

n
nn
>=
+
+
>
+
+
2)1(2
)1(
12
)1(
Mn 2
>
. Chọn n
0
=
[ ]
12 +M
khi đó với mọi n>n
0
ta có:
M
n
nn
>
+
+
12
)1(

21 k
nnn
aaa
đợc gọi là dãy con của
{ }

=1n
n
a
.
Ta thấy một dãy có thể có nhiều dãy con.
Ví dụ 2.4: Xét dãy
{ }

=1n
n
a
=

=






+
1
1
n


1
12
2
k
k
k
b. Giới hạn riêng của dãy
Định nghĩa 3: Cho dãy số
{ }

=1n
n
a
. Số p gọi là giới hạn riêng của
{ }

=1n
n
a
nếu nó là giới hạn của
dãy con
{ }

=1k
n
k
a
nào đó của
{ }

0
nn
k
>
ta có:

< ax
k
n
nên
aa
k
k
n
n
=

lim
.
Ngợc lại, nếu mọi dãy con của {a
n
} đều có giới hạn a, vì {a
n
} cũng là một dãy con của chính nó
nên cũng có giới hạn a.
Hệ quả: Một dãy có hai dãy con có giới hạn khác nhau thì không hội tụ.
Ví dụ 2.5: Xét dãy a
n
=cos(n).
Với n=2k ta có

n
=1 hay a
n
1
Nếu q=1 ta có q
n
=1 do đó:
a
n
=1+1+ +1=n nên a
n
+ khi n.
Nếu q=-1 ta có



+=
=
=
121
21
kn
kn
q
n
Xét hai dãy con:
a
2k
=1+q+ +q
2k


q1
1
khi n, vậy dãy hội tụ.
Nếu
1>q
, q
n+1
khi n nên a
n
khi n, vậy dãy phân kỳ.
Định lý 2: (Nguyên lý Bolzano_Weirstrass)
Cho dãy giới nội {a
n
}, khi đó luôn trích đợc một dãy con {
k
n
a
} của nó hội tụ.
Chúng ta không chứng minh định lý này, tuy nhiên đây là một định lý quan trọng, nó giúp ta
chứng minh nhiều tính chất của hàm liên tục.
2.1 D y hội tụã
1. Một số tính chất của dãy hội tụ
Tính chất 1: Nếu dãy
{ }

=1n
n
a
có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

và
2
0
,
2
' nnaa
n
><

Khi đó với n>max(
),
2
0
1
0
nn
ta có:

<+<+= ''' aaaaaaaaaa
nnnn
Do >0 bé tuỳ ý nên a=a, hay dãy có giới hạn duy nhất.
Hệ quả:
aaaa
n
n
n
n
==

limlim

Vậy n>n
p
: p < a
n
.
Hệ quả: Nếu
aa
n
n
=

lim
>0 thì n
0
sao cho n>n
0
: a
n
>0.
Tính chất 3: Mọi dãy hội tụ đều giới nội.
Chứng minh: Cho
aa
n
n
=

lim
ta phải chứng minh: M>0:nN:
Ma
n

+ aaaa
n
, khi đó nN:
Ma
n
<
.
Tính chất 4: Cho hai dãy hội tụ
{ }

=1n
n
a
và
{ }

=1n
n
b

(i) Nếu n
0
sao cho a
n
=b
n
nn
0
thì:
n

thì:
n
n
n
n
ba

limlim
2. Các phép toán của dãy hội tụ
Định lý 3: Nếu
aa
n
n
=

lim
và
bb
n
n
=

lim
thì:
(i)
baba
nn
n
=


n
=

lim
và
bb
n
n
=

lim
nên với >0 bé tuý ý, ta luôn tìm đợc các số
1
0
n
và
2
0
n
sao cho:
1
0
,
2
nnaa
n
><

và
2

Hệ quả:

n
n
n
n
acca

= lim)(lim
Ví dụ 2.7: Tìm
n
n
n
1
lim
+

Ta có:
nn
n 1
1
1
+=
+
, đặt a
n
=1, b
n
=
n

Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
n
lim
a
n
=a, khi đó >0, n
0
:
a
n
-a<
2

, n n
0
Nh vậy n,mn
0
ta có:
a
n
-a
m
=a
n
-a+a-a
m
a
n
-a+a

Hay a
n
<a
n0
+1 n n
0
Đặt M=max(a
1
,a
2
, , a
n0
,a
n0
+1)
Khi đó: a
n
M hay dãy đã cho bị chặn. Theo nguyên lý Bolzano_Weirstrass dãy {a
n
} có
dãy con
{ }
k
n
a
hội tụ tới a nào đó. Chọn k
0
sao cho
0
0

Ví dụ 2.8: Chứng tỏ dãy a
n
=
1
1
+n
hội tụ.
Giả sử n m, xét biểu thức:

<<
+
+
+

+

+ mmnmn
2
1
1
1
1
1
1
1
1
Vậy nếu ta chọn n
0
=
1

knn
aa
mn
+
>
+
++
+
=
1

1
1
Chọn k=n và 0<<
2
1
ta có:

>=
+
>
2
1
2
nn
n
aa
nn
Tiêu chuẩn Côsi không thoả mãn, hay dãy đã cho không hội tụ,
b. Tiêu chuẩn kẹp

Trang 5
Chứng minh: Vì
n
lim
a
n
=
n
lim
c
n
=p nên >0, n
1
, n
2
sao cho:
n>n
0
=max(n
1
,n
2
) ta có:
p-<a
n
b
n
c
n
<p+

1
1
+
<

k
k
k
k
(k>1) nên:
0<a
n
<
n
annn
n
)12(
1
)12)(12 (5.3.1
2 6.4.2
+
=
+

12
1
0
2
+
<<

n
} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M thì nó hội tụ và có giới hạn không vợt
quá M. Nếu nó đơn điệu tăng và không bị chặn trên thì a
n
+.
(ii) Nếu {a
n
} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dới bởi M thì nó hội tụ và giới hạn không nhỏ hơn
M. Nếu nó đơn điệu giảm và không bị chặn dới thì a
n
-.
Ví dụ 2.11: ( Số e) Chứng tỏ dãy a
n
=
n
n






+
1
1
hội tụ.
Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có:
a
n
=















++






++
n
n
nnnn
1
1
2
1
1

+
++






+
++
1
1
1
1
1
)!1(
1

1
1
1
!2
1
1
1
1
n
n
nnn
Vì 0<

















++






++
n
n
nnnn
1
1
2

1

2
1
2
1
11
112
<+=+++++
nn
Do đó dãy bị chặn trên bởi M=3.
Vì dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M=3 nên dãy có giới hạn, và đặt:
e
n
n
n
=






+

1
1lim
3.
Ngời ta chứng minh đợc e là một số vô tỷ và:
e2,718281828459045

k-1
, khi đó theo quy nạp ta có:
a
k+1
=
kkk
aaa =+>+
1
22
Vậy a
n
>a
n-1
với mọi n>1, hay dãy đã cho đơn điệu tăng.
Ta có: a
2
=
12122222 +=++<+
Giả sử a
k
<
12 +
, khi đó xét:
a
k+1
=
1212221222 +=++<++<+
k
a
Vậy dãy đã cho bị chặn trên bởi

)1( +nn
b. 1
2
+2
2
+ +n
2
=
6
)12)(1( ++ nnn
c. 1
3
+2
3
+ +n
3
=(1+2+ +n)
2
=
2
2
)1(






+nn
d.

n
là các số cùng dấu lớn hơn 1.

2. Chứng minh rằng với n=1,2,
a. Nếu x> -1 thì (1+x)
n
1+nx
b. Với a+b>0, ab thì (a+b)
n
<2
n-1
(a
n
+b
n
)
3. Chứng minh các bất đẳng thức
a.
nia
n
aaa
aaa
i
n
n
n
,1,0,21

=
b.
1
1
2
+
=
n
x
n
c.
1
2
+
=
n
n
x
n
d.
n
n
n
x
2
=
e.
!
1
n

b.







++++

n
n
n
2
12

2
5
2
3
2
1
lim
32
c.






















222
1
1
3
1
1
2
1
1lim
n
n
6. Tìm giới hạn
a.
(



7. Chứng minh
a.
)0(1lim >=

aa
n
n
b.
1lim =

n
n
n
8. Chứng tỏ dãy
n
nx
n
)1(
=
không bị chặn nhng cũng không có giới hạn.
9. Cho dãy
1
1
1


+=
n

=2a
n-1
+3b
n-1
b
n
=a
n-1
+2b
n-1
Chứng tỏ dãy:
n
n
n
b
a
x =
là dãy đơn điệu và bị chặn do đó có giới hạn.
12. Cho hai số a, b thoả mãn: 0<a<b. Xét hai dãy:
11
.

=
nnn
yxx
và
)(
2
1
11

lim
Trang 8